上学期拓扑学考试试卷答案B

1、中南大学拓扑学考试试卷参考答案（B）2009-2010学年 二 学期 拓扑学 课程 48 学时，3.0学分，闭卷，总分100分，占总评成绩 70 %时间:100分钟, 专业年级：数学与应用数学2008级一、选择题 (将正确答案填入题后的括号内 ,每题3分，共15分)1、B 2、C 3、A 4、D 5、C二、简答题（每题4分，共20分）1、空间答案：一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基，则称这个拓扑空间是一个满足第一可数性公理的空间，简称为空间.2、空间答案：设是一个拓扑空间，如果中的任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点，则称拓扑空间是空间.3、列紧空间答案：设是一个

2、拓扑空间. 如果的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间是一个列紧空间.4、同胚映射答案：设和是两个拓扑空间.如果是一个一一映射，并且和 都是连续映射，则称是一个同胚映射或同胚.5、正则空间答案：设是一个拓扑空间，如果中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称是正则空间.三、判断，并给出理由（20分，每题5分，判断2分，理由3分）1、设是集合的两个拓扑，则不一定是集合的拓扑( )答案:×理由：因为(1)是的拓扑，故，从而；(2)对任意的，则有且，由于是的拓扑，故且，从而；(3)对任意的，则，由于是的拓扑，从而, ,故；综上有也是的拓扑2、从离散空

3、间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( ) 答案: 理由：设是离散空间，是拓扑空间，是连续映射，因为对任意，都有,由于中的任何一个子集都是开集，从而是中的开集，所以是连续的. 3、设为离散拓扑空间的任意子集，则 （ ）答案: 理由：设为中的任何一点，因为离散空间中每个子集都是开集，所以是的开子集，且有，即,从而 .4、若拓扑空间中存在一个既开又闭的非空真子集，则是一个不连通空间( )答案： 理由：这是因为若设是中的一个既开又闭的非空真子集，令，则都是中的非空闭子集，它们满足，易见是隔离子集，所以拓扑空间是一个不连通空间.四、证明题（共40分）1、设是空间的一个收敛序列,证明：的极限点唯一. (1

4、0分)证明：若极限点不唯一，不妨设,其中，由于是空间，故和各自的开邻域，使得. 因，故存在，使得当时，；同理存在，使得当时，.令,则当时，从而,矛盾，故的极限点唯一. 2、设为拓扑空间，证明是空间的充分必要条件是的每一独点集都为闭集.(10分)证明：（必要性）设，由为空间，故有y的开领域V，所以，所以为开集，从而为闭集。（充分性）设，由条件知,为闭集，故，所以为空间。3、设是两个拓扑空间，是一个连续映射.如果是一个紧致空间，证明是的一个紧致子集.(10分) 证明：设是的一个由中的开集构成的覆盖.对于任意，是中的一个开集，由于,从而有：所以是的开覆盖.由于是紧致空间，所以 有一个有限子覆盖，设为. 因为，从而，即是的一个子族并且覆盖，因此是的一个紧致子集. 4、 设为非空集合，令为试证：(1) 是一个拓扑空间；(5分)(2) 若为无限集，是连通空间；(5分)(3)是紧致空间。(5分)证明：(1)(2) 注意；(3) 对任意，则与分别为与的开邻域，且，因此，为空间。设为的任何开邻域，为的任何开邻域，则，其中，均