分形与小波理论在非线性图像处理中的应用

1、非线性信号与图像处理大报告分形与小波理论在非线性图像处理中的应用摘 要：基于小波的图像处理研究是项备受关注的研究课题，近年来，将诸如分形理论等的非线性处理技术引入该领域的研究已经成为一个发展方向。本文探讨了将分形这种信号处理中常用的非线性处理技术与小波变换相结合，在图像压缩编码、图像边缘检测、图像纹理分割以及其他领域的运用。关键字：小波 分形 图像压缩 纹理分割 边缘检测Fractal and Wavelet theory Theory in Nonlinear Image Processing Abstract :Wavelet is one of the most outstanding

2、techniques in image processing, and fractal signal processing is a new analysis method developed in past two decades.A study of combining those two methods of signal processing and applying them to image processing is the topic of this paper.Key words: wavelet fractal image compression texture segme

3、ntation edge detection1. 小波与分形基础理论介绍1.1 引言小波理论1(Wavelet Theory)被认为是近年来在数学分析和方法上的重大理论突破，在不同学科和领域的科学家的共同努力下，如今已经有了坚实的数学理论基础和广泛的应用背景。在数学界，小波分析被看作是傅里叶分析发展史上的里程碑，是为克服传统傅立叶分析方法的缺点而发展起来的，它在时域和频域同时具有良好的局部化性质，而且由于对高频成分采用逐渐精细的时域或空间域取样步长，从而可以聚焦到对象的任意细节，被誉为“数学显微镜"，是泛函分析、傅里叶分析、样条分析、调和分析、数值分析的完美结合。目前，小波变换被广泛

4、应用于信号处理的各个领域，例如如语音信号处理、数字图像处理、数字视频处理、非线性信号处理等。分形理论(Fractal Theory)是非线性研究的重要组成部分之一，非线性科学是近30年来在各门以非线性为特征的子学科研究基础上形成的，旨在揭示非线性系统的共同性质、基本特征和运动规律，是跨多个学科的综合性基础科学。分形理论是目前一门跨学科、非线性并且相当活跃的学科。分形几何学是由非线性信号与图像处理大报告Mandelbrot首先提出的，用来描述自然界中不规则、具有自相似结构的物体。在图像处理领域，分形理论在模拟自然景物生成、图像边缘检测、图像分割等方面上有很好地运用。非线性是指两个量之间没有象正比

5、那样的“直线”关系，自然界中的非线性是绝对的，线性是非线性的特殊情况。非线性科学研究包罗万象，但如果什么都研究，那反倒什么问题也解决不了，因此非线性的研究的重点在于研究各门学科中非线性的共性问题。数学领域非线性科学研究的三大重点包括：混沌(chaos)，分形(fractal)和孤立波(soliton)；技术工程领域非线性应用方法有神经网络23，矢量量化等。1.2 小波变换(1) 一维连续小波变换对于f(t)L2(R)，f(t)的一维小波变换定义为：-12+W(a,b)=<f(t),(t)>=|a|fa,b12-f(t)(t-b)dt,a0 (1.1) a(1.1)式中(t)=|a|

6、-(t-b)被称为母小波，(t)是(t)的复共轭转制。其a中a，b为实数，且a>0，a被称作尺度因子，反映了一个具体的基函数的伸缩尺度。b为时间中心函数，表示基函数的平移位置。小波逆变换可以看成原信号的重构，对于fL2(R)以及f的连续点xR有+f(x)=C-1-a,b(x)Wf(a,b)dbda (1.2)2|a|其中a,b(x)= t-a，式(1.2)称之为信号的小波重构。 a(2) 二维连续小波变换如果信号函数f(x,y)L2(R2)，(x,y)为二维小波母函数，其构造可由一非线性信号与图像处理大报告维母小波的张量积形成，也可以由非张量积的方法构造，则(x,y)的表达形式为：a,b

7、,c(x,y)=|a|-1(x-by-c,) ， a,b,cR,a0 (1.3) aa因为图像信号是二维信号，所以将一维小波扩展到二维情况便于后续使用和分析。Wf(a,b,c)=CWT(a,b,c)=|a|-1-+-f(x,y)(x-by-c,)dxdy (1.4) aa一维和二维小波变换除了连续变换之外还有离散变换的形式，这里不再赘述。(3) 多分辨分析多分辨分析(Multiresolution Analysis，MRA)是1989年由SMallat引入的，他从空间的概念上形象地说明了小波的多分辨特性，将在此之前所有小波变换理论统一起来。设(Vm,mZ;(t)是一个正交MRA，如果(t)=c

8、k(2t-k) (1.5)k那么，函数(t)=(-1)c1-k(2t-k)的伸缩、平移构成L2(R)的正交基。kk对于任意的fL2(R)，f可以表示为+f(x)=且其中部分和 k=-j=-ck,jk,j (1.6)fk(x)=j=-c+k,jk,jWk (1.7)因此fk(x)构成信号f在子空间Wk上的投影，也就是信号f分解到与频率k非线性信号与图像处理大报告相关的局部信息。综合式(1.6)和(1.7)得到信号f的另一种等价表示+fk(x)=k=-f(x) (1.8) k式(1.8)可以看做是信号的一种按频率的分解。更进一步的，如果只希望知道信号f不超过频率j相关的所有信息，则该信息的表达式为

9、+Fj(x)=k=-f(x) (1.9) k信号Fj(x)Vj=k=-W。 kj1989年，Mallat在小波变换多分辨分析理论与图像处理的应用研究中提出了信号的塔式多分辨分解与重构的著名算法，也称Mallat算法。一般认为，Mallat算法在小波分析中的地位类似于FFT在经典傅里叶分析中的地位。1.3 小波函数同传统的傅立叶分析不同，小波分析的基（小波函数）不是唯一存在的，所有满足小波条件的函数都可以做为小波函数，实际应用中，小波函数的选取是一个十分重要的问题，实际选取小波的标准主要有以下三种：（1）自相似原则：对二进小波变换，如果选择的小波对信号有一定相似性，也就是在下式的基础上：f(t)

10、=W(2jf )2jt( ) (1.10)jZ若2j(t)和f(t)有某种程度的近似，则变换后的能量就比较集中，可以有效减少计算量。（2）判别函数：针对某类问题，找出一些关键性的技术指标，得到一个判别函数，将各种小波函数代入其中，得到一个最优准则。（3）支集长度：大部分应用选择支集在59之间的小波，因为支集太长会非线性信号与图像处理大报告产生边界问题，支集太短消失矩太低，不利于信号能量的集中。实际工程应用中，第一条和第二条准则只有理论上的意义，因为信号含量很大，从中找到模式很困难，所以只有从实际经验中获取。1.4 分形理论简要介绍及其发展概况分形是非线性科学的一个分支，同时也是非线性科学三大理

11、论前沿（其它两个理论是混沌学(chaos)和孤立子理论(soliton)）之一，是一门涉及众多学科和工程技术的交叉学科4。与传统理论相比，分形理论的研究对象是自然界和非线性系统中出现的不光滑的和不规则的几何形体，因而它能够更为深入、准确地描述客观现象和事物，是一种探索复杂性的有效工具。分形由于既有深刻的理论意义又存在巨大的实用价值，因而吸引着人们不断寻求其中可能存在的新规律和新特征。目前，它的相关理论和方法大量应用于天气、水文、生物等许多领域。在计算机科学方面，分形的方法在模式识别、信号处理，以及图形图像的模拟领域都已取得了很多的成就。目前，世界上的物体一般可以分为人工制造的物体和自然界自然存

12、在的物体两大类。对人类设计并建造的物体进行描述的方法主要是传统的几何学，即欧几里德几何学，解析几何、微分几何等。这部分的研究对象主要是从现实物体中抽象出来的规则几何体，这些方面很早之前就得到了人们的重视，有了很多成就。而分形理论的研究对象曾长期被经典数学家们称之为“病态曲线5”和“妖魔曲线”，它们都被摒弃于传统数学研究对象之外，得不到重视也没有什么发展。但是随着人们对自然界研究和认识的深化，人们逐渐发现仅仅使用传统几何并不能描述大自然中的所有对象，如海岸线、云团、乃至雪花等人们日常接触的物体，还有水文测量中的水位变化曲线、股票的价格曲线等等，这些不规则的自然对象是不能用传统的欧几里德几何学来描

13、述的。针对这一状况，很多数学家都为此做出了相关研究并取得了一些成果，如K. T. W. Weierstrass提出了处处连续又处处不可微的魏尔斯特拉斯曲线，GFLP Cantor提出康托尔三分集，H. VonKoch构造了科赫雪花曲线等等6，但他们的努力并未被当时的数学界所接受。这一情况直到1967年B. B. Mandelbrot在科学杂志上发表了一篇“英国的海岸线有多长?统计自相似性与分数维数。”的论文才得到改善。他先后于1977年发表分形：非线性信号与图像处理大报告形，机遇与维数(Fractal: Form, Chance and Dimension)，1982年发表自然界的分形几何学(

14、The Fractal Geometry of Nature)，来进一步阐述他的观点。在这些文章及著作中，他用分形一词来描述那些没有特征长度，具有无限精细结构的图形、结构和现象，自此一门新的科学“分形学”形成了。目前分形学已经得到了迅猛发展，随着人们对分形理论研究及实践的深入，又发现仅仅使用分形维数来刻画分形对象的特征是不够的，于是提出了多重分形等其他进一步的概念，虽然目前这些理论还不完善，但它们的一些相关思想已被人们广泛接纳并尝试应用于实践中了。此外，人们对于分形理论与其他理论结合的研究也很重视，比如它与小波、混沌学等理论的结合，这是分形学发展的另一个新的趋势。1.5 分形理论分形理论的研究

15、对象是由非线性系统产生的不光滑和不可微的几何形体。如前所述，分形最早的定义是由Mandelbrot提出：“Hausdorff维数严格大于拓扑维数的集合称为分形”，但这个定义出于不够严格，也无操作性，所以后来Mandelbrot又提出了改进的定义7：“如果一个形体的组成部分以某种方式与整体相似就称为分形；分形具有非线性变换下的不变性，但我们首先研究的是在线性变换下不变的自相似性”。其实这个定义也不是十分完备。Falconer从其性质与特征去认识分形思路更容易让人理解8：分形是一些简单空间上“复杂”的点的集合，这种集合具有某些特殊性质，首先分形是所在空间的紧子集，并具有以下几何性质：（1） 分形集

16、在任意小尺度下有精细的结构；（2） 分形集不能用传统几何语言来描述，它既不满足某些条件的点的集合，也不是某些简单方程的解集；（3） 分形集具有某种自相似的形式，可以是近似的或统计的；（4） 分形的“分形维数”严格大于相应的拓扑维数；（5） 分形集在多数情况下可递归定义。非线性信号与图像处理大报告Mandelbrot认为分形有三大要素：形状(form)、机遇(chance)和维数(dimension)。首先，分形的形状是支离破碎、参差不齐和凹凸不平的不规则形状；其次，我们发现自然界中的海岸线与用来描述它的著名的科克分形曲线之间仍然有很大的不同，而这种差异是由于海岸线受到自然界随机因素的作用而产生

17、的，同时，Bamsely发现可以对一组给定的规则通过随机迭代而得到分形，因此随机性或者机遇仅仅是工具，而结果是确实确定的；第三，分形的维数可以是分数，称为分维。维数是几何对象的一个重要特征量。通常“维数”的概念，指的是为了确定几何对象中一个点的位黄所需要的独立坐标的数目。在这种意义下，它是一个整数。由于这种定义具有对几何对象在同胚变换下的不变性，因此称为“拓扑维”，记做DT。1919年，F. Hausdorf提出了维数不必限于整数，而可以是个实数的概念，这种维数称为Hausdorf维（豪斯多夫维），记做D。其他在分形经常用到的维数还有盒子维和相似维等，我们下面简单对这几种最常用的实数维进行介绍

18、。（1） Hausdorf维设U是n维欧式空间Rn中的非空子集。我们把U内任何两点间距离的最大值定义为U的直径，记做U。对于集合FRn，如果F可以被有限个直径不超过的集类Ui所覆盖，即F Ui,i且O<i<,i (1.11)则称Ui是F的一个-覆盖。设FRn，s是一个非负实数。对任何>0，定义sH(F)=infi:Ui为F的一个-覆盖 (1.12) i=1s其中要取便所有直径不超过的F的覆盖而取得下确界，且Hs当减小时增加。关于取极限，称非线性信号与图像处理大报告Hs(F)=limHs(F) (1.13)0为F的s维Hausdorf测度，对任何s，上述极限都是存在的，但通常是

19、0或者。Hausdorf测度推广了长度、面积和体积等概念。可以证明9，Rn中任何子集的n维Hausdorf测度与通常n维的体积，只相差一个常数倍（当n是整数时）。定义：集F的Hausdorf维为D=infs:Hs(F)=0=sups:Hs(F)= (1.14)所以，Hs(F)=00，或)当s<D时当s>D时 (1.15)当s=D时由式(1.15)分析得出，F的Hausdorf测度使得Hs(F)从跳跃到0的一个分界点。很显然D是非负实数，它不一定是整数，所以是一种分维。Hausdorf维数具有对任何集F都有定义的优点，而缺点是难以计算。但它仍然是各种分维定义中最重要的一种，也是最常用

20、的一种。DT与D的关系满足ESzpilrajn（苏比尔拉）不等式DDT，即任一集合（几何体）的Hausdorf维数总不小于其拓扑维数。（2） 盒子维定义：设集合FRn。记N(F)是可以覆盖F的边长为的n维立方体（记做n-立方体）的最少个数，则F的盒维DB定义为（当极限存在时）：DB=lim0logN(F) (1.16) -log所以，盒子维与Hausdorf维一样，也是考虑F的覆盖，只是可采用同样大非线性信号与图像处理大报告小的n-立方体，所以总有DBD成立。对于许多“规则”的集，有DB=D。由于盒子维的计算相对比较简单，因此应用十分广泛。（3） 相似维如果集合F具有“自相似”的子集（即这些子

21、集有着与集F相同的绱构，而且其大小是按照比例缩小的，缩小因子为r），而这些子集又依次具有相同比例的子子集，如此等等。假定每一个“母集”F有N个子集，而当每一个子集1中各点间的距离按照因子 增大时都恒等于该“母集”。如果规定初始尺度为r1，并取边长=rk，则覆盖F所需立方体的个数N=Nk。代入(1.16)有DB=limk-logrlog(Nk)k (1.17)即得到了一个十分简单的维数公式DB=logN (1.18) 1logr其中N是前一个“母集”按照比例r缩小后的子集个数，而取DB=D。我们把这种集合F称为严格的自相似集。按照式(1.18)算得的相似维经常就作为Hausdorf维数的估计值。

22、根据式(1.18)，一些比较著名的分形集维数分别为：康托集的Hausdorf维数为D=log2log4，科克曲线的Hausdoff维数为D=，西尔log3log3log3，皮雅诺曲线的Hausdorf维数为log2宾斯基三角形的Hausdorf维数为D=log4=2。 log2D=2. 分形和小波理论在图像压缩编码中的应用2.1 分形和小波理论在图像压缩中应用的简要介绍非线性信号与图像处理大报告分形图像压缩是通过发掘图像的自相似性去除冗余，实现压缩。它是在空间域上进行的基于块的编解码方法，其理论依据，同时也是分形图像压缩技术的核心是拼贴定理。一幅图像用使图像近似不变的压缩仿射变换（由一组刻画局

23、部自相似性的压缩仿射变换组成，即迭代函数系统）的量化参数来表达，只需存储压缩变换的量化参数而不是整幅图像，而存储仿射变换量化参数的比特数大大低于储存原始图像的比特数，因此实现了图像数据的高倍压缩。解码是新颖的快速迭代过程，表达图像的变换是压缩的，Banach不动点定理保证变换的不动图像是存在的且是唯一的，可以从任何初始图像迭代生成。从1989年Mallat首先将小波变换用于多分辨率图像的描述9时起，小波变换的编码方法迅速成为图像压缩领域的研究热点。其基本思想是把图像进行多分辨率分解，分解成不同空间、不同频率的子图像，然后再对子图像进行系数编码。系数编码是小波变换用于图像压缩的核心，压缩的实质是

24、对系数进行量化压缩。由于小波变换的特点，图像经过小波变换后能量主要集中在低频部分，而高频部分经过量化后系数大部分为零，这一特性使得对图像进行压缩成为可能。如今，在视频压缩国际标准MPEG-4以及静止图像压缩标准JPEG-2000中，小波算法已经成为核心算法10。基于小波的分形图像编码技术是最近出现的一种新兴方法。一些学者不断地在研究使用分形编码的一些方法来发掘和利用图像经小波变换后所表现出来的相似性11。1995年，Rinaid和Calvagno利用分形图像编码中的分形匹配方法，实现了用低分辨率子带图像来进行同方向高一级分辨率子带图像的预测。1998年，Davis把零树的概念引入到分形图像编码

25、，并把分形图像编码中的相似块和图像块扩大为相似树和图像树，从而使得相似块与和图像块之间的分形匹配转化为相似树与图像树之间的分形匹配，取得了很好的压缩效果。2.2 分形编码和小波编码的结合分形图像编码的多分辨分析是分形编码理论中最引人瞩目的成就，它不但能够推动分形编码器性能的改进，而且也能够使我们更好地理解分形编码的内在机理12。小波与分形图像编码的联系由许多学者独立发现。多分辨分析把小波的构造纳入统一的框架之中，同时也较好地指示了小波变换的显微能力。多分辨分非线性信号与图像处理大报告析把信号（含图像）分解为多种尺度分量，并相应采用粗细不同的时域（空域）取样步长，从而能够不断地聚集于任意微小的细

26、节。这种思想与我们对分形的观察与认识是一致的，体现了我们识别景物的渐进过程。例如，由远及近的观察一处海岸景色，我们会首先注意到作为景色最显著特征的轮廓（海岸线），再慢慢注意其结构（如礁石），最后逐步观察其细节或纹理特征（如绿草）。这种识别过程充分体现了一种从低分辨到高分辨的原理。对于一般分形，通过从大到小不同尺度的变换，我们可以在越来越小的尺度上明察越来越丰富的细节。尺度不变性(scale-invariant)既是小波的特征，又是分形的特征。因此，作为分析工具的小波分析与作为几何语言的分形理论具有深刻的内在联系，它们在尺度变换上具有惊人的一致性。由此可见，对源于分形的分形图像编码进行小波分析就

27、是自然而然的想法。2.3 小波域内的分形图像压缩编码小波变换编码的原理是利用小波变换将原图像分解成不同的频率区域，对不同的频率区域采用不同的压缩编码手段，从而使数据量减少。分形和小波结合主要从两方面进行：基于图像块小波分解特性的分形图像编码和基于小波变换域的图像编码。前者利用经过小波分解后，图像块所具有的独特空间：频率特性，可以构造较好的分类和搜索方法，从而大大加快了分形编码的速度；后者图像经过小波分解后，呈现出子图本身的相似性和同方向不同分辨率子图之间存在分形意义下的相似性，同时，在同分辨率不同方向子带图像中，其具有相同空间位置的小波系数之间尚存在较强的相关性，因此将分形编码和小波变换域的子

28、带图像编码相结合很有前景。Roberto Rinaldo和Giancarlo把分形和小波相结合，应用小波变换将图像解析成多分辨率的子图像，在相应尺度和方向的子图像上构造不同维数、不重叠的图像块，再下一级更低分辨率子图像上构造相似块。最低分辨率的子图像用PCM单独编码，其它和传统分形编码一样，用低分辨率的子图像上的定义域块来预测高分辨率子块中的值域块。这种预测方法简化了解码过程，一次就能恢复原图像。有人13曾提出一种基于小波分解的快速分形图像编码方法。该方法先对子图像块进行金字塔Haar变换；然后从低频段开始依次累加误差并与阀值比较，大于阀值结束匹配，由于各频段的数据量和能量分布不均匀，许多搜索

29、过程可以提前结束。试验表明在不影响图像质量的前提下，编码时间缩非线性信号与图像处理大报告短了100倍以上。多层小波分解的分形编码已有的方法包括预测法和零数法。（1） 分形压缩编码的预测法首先简要介绍一下小波变换编码，利用前面介绍过的二维小波变换（此处采用二维离散小波变换），以原始图像为初始值，不断地将上一级图像分解为四个子带。每级分解得到的四个子带图像，分别对应频率平面上不同的区域，它们分别含有上一级图像中的低频信息和垂直、水平及对角线方向的信息。从多分辨率分析出发，一般每次只对上一级的低频子图像进行再分解，如图2.1所示，其中LL为低频子带，HL，LH，HH为高频子带。图2.1分形压缩编码的

30、预测法，是指利用图像经小波分解后同方向相邻两个子带图像之间的相似性，用低分辨率的子带图像来进行同一方向高一级分辨率子带图像的预测。其实现方法为：在对图像进行多层小波分解后，对于最低分辨率的子带图像，由于是分形预测的基础，所以要采用无失真或失真较少的图像编码方法来编码，然后利用低分辨率的子带图像，对同方向高一级分辨率的子带图像进行分形预测编码。对一幅图像进行四级金字塔小波分解。四级金字塔小波分解如图2.2所示。按照小波理论，高层区域中的系数包含较多的原图像信息，低层区域中的系数包含的原图像的信息相对较少。除最高层的LLN外的区域都分成3个方向，即LHN-1，LHN-2，LHl均属于LH方向；HL

31、N-l，HLN-2，HLl均属于HL方向；HHN-l，HHN-2，HHl均属于HH方向。从小波变换过程知LHi(HLi或HHi)具有相似的频率特征，所以分别称它们是同类区域。非线性信号与图像处理大报告在进行块划分时，传统分形图像压缩中定义域块尺寸是序列块的4倍，通过先求相邻4个像素的亮度（算术）平均值，将定义域块收缩成与值域块相同尺寸后再与值域块比较，从而保证从定义域到值域块的映射是收缩的。这是因为像素亮度值都为正，定义域块中相邻4点的亮度平均值基本上能反映这4点的亮度特征。然而，小波域内系数的取值范围是整个实数轴，并且近一半的系数是负数。此时相邻4个系数的平均值不能反映这4个系数的大小特征，

32、显然，“均值块”与值域块间的相似关系，也不再能反映定义域块与值域块之间的相似关系。所以在小波域上，一般用相同尺寸的定义域块和值域块进行相似性比较。分形预测方法采用“自顶向下”的编码方法。对第N层到第一层区域采用类似传统分形的编码方法，即对第i层区域中的值域块(Ni1)，以其在第i+1层中的同类区域为定义域块池，并且对定义域块和值域块采用相同尺寸的块划分。由于第N层区域要为第N-l层区域提供定义域池，并且其中的系数包含了原图像的大量信息，为减少误差，对第N层区域采用直接编码。（2） 分形压缩编码的小波树法1998年Davis在总结前人经验的基础上提出了基于小波子树的分形图像编码方法1415，使得

33、小波域内的分形编码方法有了新的突破。分形编码小波树法，是把零权的概念引入分形图像编码，并把分形图像编码中的定义域块和值域块扩大为定义域树和值域树，从而使定义域块和值域块之间的分形匹配转化为定义域树和值域树之间的分形匹配。而多层小波分解的小波树法，则是把图像进行多次小波分解后所得的小波系数按照一定的方向在不同的分辨率上形成树形结构，来构成定义域树和值域树。基于小波子树的分形图像编码方法的基本思想是对于一个N×N的图像方块经过上述多分辨率小波分解后的小波系数分布在L=log2(N)个不同分辨率级的三个不同方向上，包括第L级的低频小波系数。对应于传统空域分形编码搜索域中的一个定义域块和一个

34、待编码值域块，在小波域的分形编码中定义域块被看作是从第P级(P<1)开始的小波树(DP)，值域块被看作从第P+1级开始的小波树(RP+1)。这样，传统空域分形编码算法中的图像块匹配问题就延伸为小波域非线性信号与图像处理大报告内小波树的匹配问题，既用某一个小波树DP。经过适当的仿射变换后近似另一待编码的小波树RP 1。在采用正交小波基的情况下，某一尺度下的小波系数与大一尺度的一组系数存在一一对应关系。每一个第N级分解后的高频变量，对应于邻近大一尺度(N-l级)的2×2小波系数组，递推下去对应于4×4和8×8小波系数组，它们具有相同的位置空间。这样，如果不考虑第

35、N级的垂直及水平方向的低通分量，其它三个高频子带，即垂直方向、水平方向和对角方向的高频子带中具有相同带内偏移位置的三个小波系数，加上与它们对应的较大尺度的2×2，4×4，8×8小波系数组。可以合并组成分层树状结构小波树D，以四层小波分解为例，大小为255。其中小波树D的最顶层的三个节点被称为根节点：每一个高于最底层的节点包含与它对应的邻近大一尺度的2×2的子节点，递推下去4×4的孙节点，是从小波分解的第三级开始，那么它构成大小为63的小波树冠R。很明显，如果原始图像的尺度为512×512，那么总共有1024个D及4096个R。这样的划

36、分类似于传统空域分形压缩算法中构造不相交的图像块和相应的搜索空间，注意这里的D所对应的空域中的图像块是互不重叠的。图2.2 小波分解与小波子树非线性信号与图像处理大报告3. 小波与分形理论在图像边缘检测中的应用3.1 分形在边缘小波基选取上的应用在小波基选取中，小波消失矩的选取是个非常重要的部分。小波消失矩特性为：满足xn(x)dx=0,n=1,2, ,k-1。小波消失矩越大，它的支撑长度就越大，对应的滤波器越平坦。越大的消失矩将使高频系数越小，小波分解后的图像能量也就更集中。但随着消失矩阶数的增加，在小波变换域中出现的极值点会成倍增加，从而增加噪声识别的困难。在检测边缘时，有时还会发生边缘偏

37、移现象。反之，如果小波函数具有低阶的消失矩，其紧支集较小，边缘偏移现象会大大减弱，但对一些大于消失矩阶数的细节变化将无法检测，而且原图像中的很多细节会在小波系数重构过程中丢失。因此，要选择适当的小波消失矩阶数。人们常常只重视用分形维表征图像特征，而忽略了分形常数。从物理意义的角度来看，分形维数只反映了物体表面的不规则程度，却没有反映表面变化的快慢。而分形常数则反映了物体表面变化的快慢。图像灰度曲面越粗糙，灰度变化越剧烈，分形常数就越大，在不同纹理灰度表面之间（即图像边缘处），分形常数值比较大。所以我们可以将分形常数作为图像边缘点的分形特征。如果小波有k阶消失矩，利用小波变换模的极大值，可以检测

38、出图像有k-1阶导数的边缘点。但如果选择具有较高消失矩的小波函数16，可能会由于过多的极大模值而引起边缘点的混淆，所以小波函数消失矩的阶数与所检测图像分形常数的大小有关。当待检测图像分形常数的大小为k时，则采用的小波函数应至少具有k阶消失矩。因此选择小波函数的原则就是根据实际图像的分形常数的大小，选择合适的小波消失矩。在满足能够检测到最大分形常数的前提下，选择具有最少消失矩的小波函数。3.2 小波边缘检测原理小波多尺度边缘检测就是在不同的尺度上平滑滤波原信号17，再由磨光的信号的一阶，二阶导数检测出原信号的剧变点。设(x)是磨光函数，它满足条件非线性信号与图像处理大报告+(x)dx=1- (3

39、.1) lim(x)=0x+设(x)二阶可导，定义：dx=(x)()dx (3.2) 2(x)=d(x)dx2结合(3.1)和(3.2)得到+(x)dx=0- (3.3) +(x)dx=0-可见，(x)和(x)都是小波。信号f(x)关于小波(x)和(x)在尺度s和位置x上的规范小波变化定义为：11+x-uWfx=f*x=fu()()()s dus-ss (3.4) W1f(x)=f*(x)=1+f(u)x-uduss -ssxx=-() ss其中(x)=-xs ss是尺度参数，且s=2j,-j+。同样的，对于低通平滑函数(x)也引入尺度参数s则有：s(x)= (3.5) ss1x非线性信号与图

40、像处理大报告由连续小波变化的定义式可得：dsdWfx=f*sx=s()()(f*s)(x)s dxdx (3.6) 22Wfx=f*sdsx=s2df*x( ()s)()s()dxdx通过式(3.6)可以看出，f(x)关于小波(x)和(x)的规范小波变换，变成了光滑函数s的卷积关于x的一、二阶导数乘以s和s2。这样一来，Ws1f(x)的局部极值对应Wsf(x)的零交叉点和f*s(x)的拐点。零交叉或局部极值是类似的方法，但在综合性能指标上局部检测优于零交叉检测。f*s(x)的拐点是一阶导数绝对值的最大值或最小值，f*s(x)的一阶导数最大值点是其剧变点而最小值对应于缓变点。用二阶导数来区分这两

41、种类型的零交叉点是困难的，而用一阶f(x)的局部最大求出剧变点及其sf(x)在该点的导数却很容易通过检测Ws值。当尺度s很大时，信号与(x)的卷积消去了信号中较小的变化，所以仅能检测出比较大的剧变点，这刚好就是对小波分解中低频信号的检测。因此，可以选择不同大小的s值就得到不同尺度下的剧变点，这就是多尺度边缘检测，相当于小波分解后对不同频带的信号进行检测。边缘检测推广到二维，求局部最大变成了求梯度向量摸的极大值。设(x,y)是光滑函数，则定义：(x,y)1x,y=()x (3.7) 2(x,y)=(x,y)y可见函数1(x,y)和2(x,y)是二维小波。其中1(x,y)用于检测图像的垂直边缘，2

42、(x,y)检测图像的水平边缘。取s=2j，记：非线性信号与图像处理大报告12j(x,y)=2j(x,y)=211xy j,j22j22(3.8)12xy j,j2j222则f(x)L2(IR2)关于1(x,y)与2(x,y)的规范小波变换具有两个分量：11Wfx,y=f*()(x,y)j22j(3.9) 22W2jf(x,y)=f*2j(x,y)表示成矩阵形式为：f*x,y()2j( Wf(x,y)jxj2=2=2(f*2j)(x,y) (3.10) (f*j(x,y)W2jf(x,y)2y12j其中表示梯度算子。以1(x,y)和2(x,y)为小波函数的小波变换相当于在尺度s下对于平滑滤波图像

43、f*2j(x,y)分别做梯度运算。定义模为：M2jf(x,y)= (3.11)幅角为：A2jf(x,y)=arctanW21jf(x,y)W22jfx,y (3.12)小波的模M2jf(x,y)正比于梯度向量(f*2j)(x,y)的模，幅角A2jf(x,y)是梯度向量(f*2j)(x,y)与水平方向的夹角，为图像边缘的方向。因此，只要找到梯度方向上的模的极大值点，就得到了图像的边缘点。由于小波变换位于各个尺度上，每个尺度上的小波变换都提供了一定的边缘信息，故称之为多尺度边缘。3.3 最佳边缘小波基的选取非线性信号与图像处理大报告尺度给定时，小波变换相当于对图像进行带通滤波，在一定程度上排除了噪

44、音的影响，但同时也去掉了一些模糊边缘，这就要求寻找一种具有好的去噪特性的小波函数，同时又能精确的提取边缘，反映图像灰度的变化。边缘在图像中表现为灰度值的突变，表现为高频信号；而在实际图像中占主导地位的一般是“直流”分量低频信号。为了提高边缘检测质量，有一下准则：（1）作为图像边缘检侧滤波器，基于边缘检测的小波应是高通（或带通）滤波器，其对“直流分量的滤波响应为零，对低频分量的响应受到抑制。当边缘信号为奇函数时，滤波器的脉冲响应的偶函数分量仅起着降低边缘检测质量的作用；同样可以证明，当边缘信号函数为偶函数时，滤波器的脉冲响应的奇函数也仅起着降低边缘检测质量的作用。（2）小波基函数应与被检测边缘函

45、数的奇偶对称性一致，检测阶跃边缘的小波应是奇函数。图像边缘点的灰度突变指的是局部范围内图像灰度有较大的起落。每一个孤立的边缘点对应于图像灰度变化函数的一次导数的极值点和二次导数的过零点都是针对图像局部范围来说的，为了检测图像灰度的这种局部变化，有准则（3）。（3）基于图像边缘检测的小波函数应是一个窗口函数，最好是紧支窗口函数。准则（1）事实上就是一个函数称为小波函数的必要条件，当选择小波函数作为图像边缘检测滤波器时，这一点自然满足。根据上述准则，选择的用于检测阶跃边缘的小波基应是一个紧支集的奇函数小波。3.4 边缘检测算子判定标准首先介绍两个概念：信噪比(SNR)、边缘定位精度(L)。信噪比S

46、NR=其中G(x)代表边缘函数，h(x)代表带宽为W的滤波器的脉冲响应，代表非线性信号与图像处理大报告高斯噪声的均方差。信噪比越大，提取边缘质量越高。边缘定位精度L=其中G'(-x)和h'(x)代表G(-x)和h(x)。L越大，定位精度越高。要保证对单边缘只有一个响应，检测算子的脉冲响应导数的零交叉点平均距离Dzoa(f')应满足：Dzoa(f')=其中h''(x)为h(x)的二阶导数。以上面的指标和准则为基础，利用泛函求导的方法可导出一个由边缘定位精度和信噪比乘积组成的表达式，这个表达式近似于高斯函数的一阶导数。3.5 边缘小波基滤波器系数的计

47、算利用二尺度方程、滤波器传递函数之间的关系和多分辨率分析理论，我们可以计算出边缘检测小波滤波器系数。为了计算的方便，我们以样条小波滤波器系数计算为例。设m次样条函数(x)的傅里叶变换是： sin 2()= 2所以 m+11，m为偶数-i (3.14) exp ,=20，m为奇数非线性信号与图像处理大报告H0()=COS2m+1-iexp (3.15)2在=0的领域内选取H1()=(m)，同时构造一个消失矩的小波。所得到的小波的傅里叶变换是：()=1 (3.16) 221+)它是在中心在x=(以得出二次样条和。的m+1次样条函数的一阶导数。当m=2时，可，取H =H，所以有= 和小波 。再由为了

48、设计样条对偶尺度函数00()H*()+H ()H*()=2可以推出 重构条件H0010()=H12-H0()H1*-im=- sincos (3.17) 22j=022j表3.1 二次B样条小波(m=2)相应滤波器系数非线性信号与图像处理大报告当m 2时有传递函数式(3.14)、式(3.15)、式(3.16)可以计算得到如表3.1所示的滤波器系数，这些滤波器生成小波函数和尺度函数。上述介绍了基于分形和小波变换运用于图像边缘检测的基本理论，结合分形和小波变换进行图像边缘检测有着良好的应用价值。4. 分形和小波理论在图像纹理分割中的应用图像特征提取是目前在国内外研究领域非常的活跃，但是因为图像中复

49、杂的纹理信息，使得特征提取存在不小的难度。事实上，图像的分形维数与人们所感觉的纹理粗糙度有很强的相关性。分形维数越大，对应的图像纹理越粗糙；反之，分形维数越小，对应的图像表面越光滑。因此，应用分形维数进行纹理图像特征提取，是很大的研究意义。我们已经知道，小波分析在时域和频域同时具有良好的局部化性质，而且由于对高频成分采用逐渐精细的时域或空间域取样步长，从而可以聚焦到对象的任意细节。利用分形和小波相结合提取数字图像特征，为问题的研究提供了新思路，为弥补单纯应用分形提取特征而产生的不足提供了新方法。4.1 结合小波提取图像的分形特征小波分析采用局部对整体依赖性的系统论方法，而分形理论则通过研究局部

50、信号来确定信号的整体特性。随着研究的深入，人们发现小波分析和分形理论之间有着密切的联系。某些函数当基的取值参数不同时，即有可能成为小波基，也可能成为分形函数。小波变换在时域和频域良好的局部化性质和多分辨率分析的特点使它适合对图像进行多级分解，正如前面提到的，每级分解都可以获得图像同一信息在不同方向、不同尺度和不同分辨率下的基本特征和细节；分形能从大量多变的细节中抽象出目标表面结构的规则程度。前面已经讨论过小波与分形相结合在图像处理领域表现出的一些优势。要想结合分形和小波来提取纹理特征，需要充分利用小波变换的多分辨率特性和图像纹理符合分形模型的特点，可以使得对图像纹理特征的描述更加丰富。由于纹理

51、图像的主要能量集中在中、高频，所以考虑先对图像进行一级小波非线性信号与图像处理大报告变换，获取各个频带上的子图像，在此基础上提取各子图像的分形维数，每一幅子图像都将得到一个分形小波维数向量，由此构成描述整幅图像的特征向量。4.2 差分盒子小波维算法这里简要介绍一下利用差分盒子小波维算法进行纹理分割的方法。差分盒维数法将图像表面视为三维空间，灰度值可视为三维空间中的z方向上的值，而x和y方向上的值表示图像的灰度值所在的坐标位置18。由于自相似性，可以用一定尺度的一叠盒子去覆盖相应区域，通过改变尺度来达到计算自相似性的目的。这里的一叠盒子的个数与灰度值有关。图4.1显示了该算法的流程图。图4.1差

52、分盒子小波维算法流程图差分盒子小波维数方法对于纹理图像，有良好的适用性。差分盒子小波维法非线性信号与图像处理大报告对于纹理图像的每一个子图像，得到的分形特征值具有很好的可区分度，差异性较大，有利于形成具有鲜明特征的特征向量，为后续的处理提供更可靠的依据。4.3 基于分形小波理论的纹理分割技术自然界中的大量形体和自然景物表面是错综复杂和不规则的，以至于无法用简单的结构元素来描述。而大量的研究表明：自然界的物体（如云雾、青山、湍流、凹凸不平的地面、风化而斑剥的岩石等等）大多具有比较强的分形特征，分形模型在一定的尺度范围内可以很好地与自然背景的表面和空间结构相吻合。这就是选用分形参数作为区分自然景物

53、与人造景物的主要原因。同时，选用分形维数作为分割依据的优势还有以下两点：（1） 分形维数是一种可以用实验手段定量估计的数值参数；（2） 图像分形维数的大小与人眼对物体表面粗糙度大小的感受密切相关。 在现实世界里，许多视觉差别大的图像却具有相同的分形维数。分形小波维数既考虑了图像高、中、低频的特征，也结合了图像的分形特点，对纹理的描述也更加细致。根据原图像的分形维数进行分类的问题被转化为4维模式空间的分类问题，虽然维数的增加导致计算量的增加，但比一维模式空间的分类更加准确可靠。具体的图像分割方法步骤为：（1） 读入原始图像，选择小波基对图像进行一次小波变换；（2） 选择分形小波维数，对小波变换后

54、的图像进行分形维数的计算，得到LL、HL、LH、HH四个分形小波维数向量组；（3） 根据分割要求，从上述四个分形维数向量组中选择一组作为分割依据，进行分割处理。5. 小波分形理论在其他领域的应用5.1 基于分形与小波理论对图像ROI的自动提取19在新一代静态图像压缩标准JPEG2000中提出了感兴趣区域(Region Of非线性信号与图像处理大报告Interest，ROI)编码技术20。ROI编码技术能够确保在低码率条件下，所关心的区域仍然具有较好的质量，在满足图像应用的同时，提高了整幅图像的压缩比。在ROI编码之前，必须将ROI分割出来。在远程监控等应用场合，由于人工不便参与ROI提取，因此

55、，研究ROI的自动检测就十分必要。目前ROI自动检测的算法有：基于图像分割的ROI自动检测2122，基于人眼视觉显著性的ROI自动检测，其中GBVS算法23是比经典的自底向上的ROI自动检测算法更优秀的方法。在很多应用场合，感兴趣区域是人造目标，需要将其从自然景物中提取出来。对于这类感兴趣区域提取，由于复杂自然背景对目标的干扰，基于图像分割的ROI检测方法不能有效提取ROI，而基于视觉特性的方法是从人眼特性出发，检测所得ROI，并不一定是我们所需要的目标。Pentland等众多学者的研究表明：大部分自然景物表面所映射成的灰度图像与人造目标具有不同的分形特征，根据分形特征上的差异就可将两者区分开

56、，同时分形特征大小与人眼视觉注意区域有一定的关系，分形为这类感兴趣区域的提取开辟了新途径。利用分形与小波理论对图像ROI自动提取的基本方法是：将原始图像通过小波二级或者三级分解后得到低频子带图像，该子图像可以看作是原始图像的近似。求取低频子图像的分形特征，便可以得到子图像的ROI，然后根据原始图像与子图像的坐标对应关系，可以提取原图像的ROI。这种算法能够有效地提取ROI，并减少计算时间。5.2 基于小波变换的分形编码数字水印算法数字水印(Digital Watermarking)技术是将一些标识信息（即数字水印）直接嵌入数字载体当中（包括多媒体、文档、软件等）或是间接表示（修改特定区域的结构），且不影响原载体的使用价值，也不容易被探知和再次修改。但可以被生产方识别和辨认。通过这些隐藏在载体中的信息，可以达到确认内容创建者、购买者、传送隐秘信息