河南省郑州市高一上学期期末数学试卷

1、2016-2017学年河南省郑州市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. （5分）若1, 2?A? 1, 2, 3, 4, 5,则满足条件的集合A的个数是（）A. 6 B. 8C. 7D. 92. （5 分）设 a, bC R,集合 A=1, a+b, a , B=0,卜，b,若 A=B,贝 U b a a（ ）A. 2B. - 1 C. 1D, - 23. （5分）下列各组函数f （x）与g （x）的图象相同的是（）A.f（x）=x, g（x）= （Vx）2 B. f （x） =X2,g （x）= （

2、x+1）2C.f（x）=1, g（x）=x°D. f（x） =|x| , g （x）=4. （5分）下列函数中，既是偶函数又在（-8,0）内为增函数的是（）A. y=（卷）x B. y=x 2 C. y=4+1 D. y=log3 （ 一 x）士15. （5分）三个数a=0.32, b=log20.3, c=20.3之间的大小关系是（）A. a<c<b B. a<b<c C. b<a<c D. b<c<a6. （5分）下列叙述中错误的是（）A.若点PC % PC B且an闫，则PC lB.三点A, B, C能确定一个平面C.若直线an

3、b=A,则直线a与b能够确定一个平面D.若点 Al, B l,且 AC % BC a,则 l? a7. （5分）方程log2x+x=3的解所在区间是（）A. （0, 1）B.（1,2）C.（3,+8）D.2,3）8. （5分）圆x2+y2ax+2y+1=0关于直线x y=1对称的圆的方程为x2+y2=1,贝U 实数a的值为（）A. 0 B. 1C. ± 2 D. 29. （5 分）如图，在四边形 ABCD中，/DAB=90, /ADC=135, AB=5, CD=2 ,AD=2,则四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积为（）A. （60+4、匹）ttB. （60+8的）kC

4、（56+8、R）兀 D. （56+4、匹）兀10. （5 分）若直线 y=x+b 与曲线（x-2） 2+ （y-3） 2=4 （0<x<4, 1<y< 3） 有公共点，则实数b的取值范围是（）A. 1 -272, 3B. 1 - V2, 3 C. - 1, 1+2V2 D. 1-2阻 1+27211. （5分）如图，在透明塑料制成的长方体 ABCA A1B1C1D1容器内灌进一些水, 将容器底面一边BCEI定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列 四个说法：水的部分始终呈棱柱状；水面四边形EFGH的面积不改变；棱A1D1始终与水面EFGHff行；当EC AA1

5、时，AE+BF是定值.其中正确说法的是（）A. B. C. D.x>l12. (5分)若函数f (x) =广 且满足对任意的实数xwx2都有(4-77J i+2, K<1!->0成立，则实数a的取值范围是（A. （1,+8）B.（1,8）C.（4,8）D.4,8）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. （5分）在空间直角坐标系中，已知 P （2, 2, 5）、Q （5, 4, z）两点之间 的距离为7,贝U z=.14. (5分)已知函数 f(x)=ax2+(b 3)x+3,xC a22,a是偶函数，贝U a+b=.15. (5分)已知两条平行直线 3x+2

6、y 6=0与6x+4y 3=0,贝U与它们等距离的平 行线方程为.16. (5分)已知圆的方程为x2+y2+ax+2y+a2=0,要使过定点A (1, 2)作圆的切 线有两条，则a的取值范围是.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤)17. (10 分)已知全集 U=R,集合 M=x| -2<x< 5, N=x| a+1<x<2a+1.(I )若 a=2,求 M n ( ?rN);(H)若M UN=M,求实数a的取值范围.18. (12分)已知 ABC的顶点B (-1, -3),边AB上的高CE所在直线的方 程为4x+3y-7=0

7、, BC边上中线AD所在的直线方程为x-3y-3=0.(1)求点C的坐标；(2)求直线AB的方程.19. (12分)如图， OAB是边长为2的正三角形，记 OAB位于直线x=t (t> 0)左侧的图形的面积为f (t).试求函数f (t)的解析式，并画出函数y=f (t) 的图象.20. (12 分)如图所示，在直三棱柱 ABC- A1B1C1 中，/ABC=90, BC=CC, M、 N分别为BB、A1C1的中点.(I )求证：CB，平面ABC；(n)求证：mn /平面abg.21. (12 分)已知圆 C: x2+y2-4x- 14y+45=0 及点 Q ( 2, 3).(1)若M为

8、圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值；(2)若实数m, n满足m2+n2-4m- 14n+45=0,求k曰的最大值和最小值.nrF222. (12分)已知指数函数y=g (x)满足g (3) =8,又定义域为实数集 R的函 数f (x)=；，?是奇函数.1+晨 X)(1)讨论函数y=f (x)的单调性；(2)若对任意的tCR,不等式f (2t-3t2) +f (t2-k) >0恒成立，求实数k的取值范围.162016-2017学年河南省郑州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

9、1. （5分）若1, 2?A? 1, 2, 3, 4, 5,则满足条件的集合A的个数是（）A. 6B. 8 C. 7D. 9【解答】解：. 1, 2?A? 1, 2, 3, 4, 5,集合A中除了含有1, 2两个元素以外，至少必须含有另外一个元素，因此满足条件的集合 A 为1, 2, 3, 1, 2, 4, 1, 2, 5, 1, 2, 3, 4,1, 2, 3, 5, 1, 2, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5共 7 个.故选：C.2. （5 分）设 a, bC R,集合 A=1, a+b, a , B=0, b,若 A=B,贝 U b a a（ ）A. 2B. - 1 C. 1D,

10、 - 2【解答】解：a, bCR,集合人=1, a+b, a, B=0,上，b , A=B,afa+b=OLb=l '解得 a= - 1, b=1,b- a=2.故选：A.3. (5分)下列各组函数f (x)与g (x)的图象相同的是(K（K>0）A. f(x)=x, g(x)=()2B.f(x)=x2,g(x)=(x+1) 2C.f(x)=1, g(x)=x°D.f(x)=| x| , g(x)=【解答】解：对于A, f (x) =x (xC R),与g (x) = (Vx) 2=x (x>0)的定义域不同,.二不是同一函数，图象不同；对于 B, f (x) =

11、x2 (xC R),与 g (x) = (x+1) 2 (xC R)的对应关系不同，.二不是同一函数，图象不同；对于 C, f (x) =1 (xCR),与 g (x) =x0=1 (xw0)的定义域不同，.二不是同一函数，图象不同；对于D, f (x) =|x|="x”，与g (x)=" "可的定义域相同，-X, x<01-X, x<0对应关系也相同，是同一函数，图象相同.故选：D.4. (5分)下列函数中，既是偶函数又在(-8,0)内为增函数的是()A. y= () x B. y=x 2 C, y=/+1 D. y=log3 ( - x) 2【解答

12、】解：函数y=(之)x是非奇非偶函数，在(-8,0)内为减函数，故A不满足条件；函数y=x-2既是偶函数又在(-8,0)内为增函数，故B满足条件；y=x2+1是偶函数，但在(-8,0)内为减函数，故C不满足条件；y=log3 (-x)是非奇非偶函数，在(-8,0)内为减函数，故D不满足条件；故选：B5. (5分)三个数a=0.32, b=log20.3, c=20.3之间的大小关系是()A. a<c<b B. a<b<c C. b<a<c D. b<c<a【解答】解：由对数函数的性质可知：b=log20.3<0,由指数函数的性质可知：0&l

13、t; a< 1, c> 1 b< a< c故选C6. (5分)下列叙述中错误的是()A.若点 PC % PC B且 an B =J 则 PC lB.三点A, B, C能确定一个平面C.若直线an b=A,则直线a与b能够确定一个平面D.若点 AC l, BC l,且 AC % BC a,则 l? a【解答】解：在A中，若点PC a, PC B且aP 0=J则由公理二知PC l,故A正 确；在B中，三点A, B, C不共线时，能确定一个平面；三点 A, B, C共线时，不 能确定一个平面，故B错误；在C中，若直线an b=A,则由公理三知直线a与b能够确定一个平面，故 C

14、正 确；在D中，若点AC, BCl,且AC & BC &则由公理一知l? &故D正确. 故选：B.7. (5分)方程log2x+x=3的解所在区间是()A. (0, 1)B.(1,2)C.(3,+8)D.2,3)【解答】解：设f (x) =log2X+x-3,在(0, S 上单调递增. f (2) =1+2-3=0, f (3) =log23>0丁根据函数的零点存在性定理得出：f (x)的零点在2, 3区间内:方程log2x+x=3的解所在的区间为2, 3, 故选：D.8. (5分)圆x2+y2ax+2y+1=0关于直线x y=1对称的圆的方程为x2+y2=1,贝

15、U 实数a的值为()A. 0B. 1C. ± 2 D. 22【解答】解：圆 x2+y2- ax+2y+1=0 即(x-1) 2 (y+1) 2升，表示以 A (5,一 乙才占1)为圆心，以中为半径的圆. 二关于直线x-y- 1=0对称的圆x2+y2=1的圆心为(0, 0),-1-0故有X1 = -1,解得a=2,a -故选：D.9. （5 分）如图，在四边形 ABCD中，/DAB=90, /ADC=135, AB=5, CD=* ,AD=2,则四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积为（）A. （60+4/2） ttB. （60+8的）nC. 556+8/2）兀 D. （56+

16、4、八）兀【解答】解：四边形ABCD绕AD旋转一周所成的几何体，如右图：S表面 =S 圆台下底面 +S 圆台侧面 +S 圆锥侧面=冗22+冗（ri+r2）卜+九仙=兀 x 5?+冗 X（2+5）X5+兀 x 2X 板=（60+4万）阳 故选：A.10. (5 分)若直线 y=x+b 与曲线(x-2) 2+ (y-3) 2=4 (0<x< 4, 1<y< 3)有公共点，则实数b的取值范围是（）A. 1-2/2, 3 B. 1 - V2, 3 C. - 1, 1+2 页D. 1 - 2近，1+2<2【解答】解：由题意，圆心到直线的距离 d="H =2, b二

17、1±2近，V2（0, 3）代入直线y=x+b,可得b=3,.直线 y=x+b 与曲线（x-2） 2+ （y-3） 2=4 （0<x<4, 1<y<3）有公共点，实数b的取值范围是1 - 2近，3,故选A.11. （5分）如图，在透明塑料制成的长方体 ABCA A1B1C1D1容器内灌进一些水, 将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列 四个说法：水的部分始终呈棱柱状；水面四边形EFGH的面积不改变；棱AiDi始终与水面EFGHff行；当EC AAi时，AE+BF是定值.其中正确说法的是（A. B. C. D.【解答】解：水的部分始

18、终呈棱柱状；从棱柱的特征平面AAiBiB平行平面CCDiD即可判断正确；水面四边形EFGH的面积不改变；EF是可以变化的EH不变的，所以面积是改 变的，是不正确的；棱AiDi始终与水面EFGH¥行；由直线与平面平行的判断定理，可知AiDi / EH, 所以结论正确；当EC AAi时，AE+BF是定值.水的体积是定值，高不变，所以底面面积不变， 所以正确.故选：C.i2. （5分）若函数f （x）,x>l(43)k+2, x<1且满足对任意的实数Xi W X2都有J>0成立，则实数a的取值范围是（工厂2A. (i, +oo) B. (i, 8) C. (4, 8) D

19、. 4, 8)【解答】解：:对任意的实数Xi*X2都有J>0成立,町一功函数f（X）在R上单调递增%>14等02,a>4-y+2解得：a 4, 8),故选：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. (5分)在空间直角坐标系中，已知 P (2, 2, 5)、Q (5, 4, z)两点之间 的距离为7,贝U z= 11或-1.【解答】解：二.空间直角坐标系中，点 P (2, 2, 5)、Q (5, 4, z)两点之间的 距离为7,.一=7，即(z 5) 2=36.解得 z=11 或一1.故答案为：11或-1.14. (5 分)已知函数 f (x) =ax2+ (

20、b-3) x+3, xC a2 2, a是偶函数，贝 U a+b=4 .【解答】解：二,函数f (x) =ax2+ (b-3) x+3, x a2 - 2, a是偶函数a2 - 2+a=0； a=- 2 或 1a2 - 2<a a=1.偶函数的图象关于y轴对称，=0.b=32aa+b=4故答案为：4.15. (5分)已知两条平行直线 3x+2y- 6=0与6x+4y 3=0,贝U与它们等距离的平 行线方程为 12x+8y - 15=0 .【解答】解：两条平行直线3x+2y- 6=0与6x+4y-3=0,设与它们等距离的平行线的方程为：3x+2y+b=0,与它们等距离的平行线的方程为：12

21、x+8y - 15=0.故答案为12x+8y- 15=0.16. (5分)已知圆的方程为x2+y2+ax+2y+a2=0,要使过定点A (1, 2)作圆的切 线有两条，则a的取值范围是 (-9,正).332【解答】解：将圆的方程配方得(x+旦)2+ (y+1) 2=4一呼 ,圆心C的坐标为(- 24且，-1),半径 r=J±L,2V 4条件是4- 3a2>0,过点A (1, 2)所作圆的切线有两条，则点 A必在圆外，即呜产+(2+1产> 匡化简得a2+a+9>0.由 4-3a2>0, a2+a+9>0,解之得义叵<a<织3, aCR. 33故

22、a的取值范围是(-亚,2度).33三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤)17. (10 分)已知全集 U=R,集合 M=x| -2<x< 5, N=x| a+1<x<2a+1.(I )若 a=2,求 M n ( ?rN);(H)若M UN=M,求实数a的取值范围.【解答】解：(I)若a=2,则N=x|3<x<5,则?rN= x| x > 5 或 x< 3;贝U M n (?rN) =x| - 2<x< 3;(H)若 M UN=M,则 N? M,若N=？，即a+1>2a+1,得a<0

23、,此时满足条件,2a+l当 Nw?,则？两足“ 2a+l<5 ,得 0&a02,L a+1 ) -2综上a<2.18. (12分)已知 ABC的顶点B (-1, -3),边AB上的高CE所在直线的方程为4x+3y-7=0, BC边上中线AD所在的直线方程为x-3y-3=0.(1)求点C的坐标；(2)求直线AB的方程.【解答】解：(1)设 D (a, b),贝U C (2a+1, 2b+3),f 0 l4(2a+l)+3feb+3)-7=C解得、 .D (0, - 1), C (1,1);(2) .CELAB,且直线CE的斜率为 工,3直线AB的斜率为工，333、y=0直线A

24、B的方程为困二年(肝1),即3x- 4y-9=0.3x-4y-9=0 席万/日由、,解得，Lx-3y-3=0A (3, 0),直线AB方程为：上-3T - 3化简整理得，3x- 4y-9=0.19. (12分)如图， OAB是边长为2的正三角形，记 OAB位于直线x=t (t>0)左侧的图形的面积为f (t).试求函数f (t)的解析式，并画出函数y=f (t) 的图象.d两点，则|oq=t,又普若"CDIW,心心乙(2)当 1<t02 时， 如图，设直线x=t与4OAB分别交于M、N两点，则|AN|=2-t, 又镖彩号叵慌止回川| | | £Lf |1f(t)

25、二52赤4Ian |乙j匕(3)当 t>2 时，f(t)=V3-t)2=-y-t2+2V3t/3J号2, o<t<!综上所述f(t)二寿小l<t<2 t>220. (12 分)如图所示，在直三棱柱 ABC- A1B1C1 中，/ABC=90, BC=CQ, M、 N分别为BBi、A1C1的中点.(I)求证：CB，平面ABC；(II)求证：MN /平面 ABG.保【解答】解：（I）在直三棱柱ABC- A1B1C1中，侧面BBGC，底面ABC,且侧面BBGCn底面ABC=BC ./ABC=90, IP AB± BC,AB，平面BBQ（2分）. CB?平

26、面 BB1C1C, . AB,CB.（4分）. BC=CC, CCBC, . BCCBi 是正方形，CBXBCC,. ABn BG=B,.CB，平面 ABG.（n）取AG的中点F,连BF、NF.（7分）在AAG中，N、F是中点，NF/|aA1, =/又.正方形BCCB1中BM MAA1,NF/ BM,且 NF=BM-(8 分)故四边形BMNF是平行四边形，可得 MN/BF,。分)v BF?面 ABC, MN?平面 ABC, .MN /面 ABC (12 分)21. (12 分)已知圆 C: x2+y2-4x- 14y+45=0 及点 Q ( - 2, 3).(1)若M为圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值；(2)若实数m