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文档简介

1、精选优质文档-倾情为你奉上高二上期末数学试卷(及答案)一、填空题:(本大题共14小题,每小题5分,共70分)1直线xy+a=0(aR,a为常数)的倾斜角是2命题“xR,ex=x1”的否定是3过点A(1,1)且与直线x+3y+4=0平行的直线l的方程为4已知一个物体的运动方程是s=1t+t2,其中s的单位是米,t的单位是秒,那么该物体在4秒末的瞬时速度是5“x0”是“x0”的条件;(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“非充分非必要”)6过点(2,)、(,)的椭圆的标准方程为7在正方体ABCDA1B1C1D1中,B1C与BD所成的角为8直线3x+4y=b与圆x2+y22x2y+1=0相交

2、,则b的取值范围为9若正四棱锥的底面边长为,体积为4cm3,则它的侧面积为cm210下列命题,其中正确的是(填写序号)若m,mn,则n;若mn,m,n,则;若直线mn,则直线m就平行于平面内的无数条直线;若ABC和A1B1C1的边ABA1B1,ACA1C1,则ABC=A1B1C111椭圆+=1的左焦点为F1,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点M在y轴正半轴上,那么以线段F1P为直径的圆的标准方程为12已知双曲线的中心是原点,焦点到渐近线的距离为2,一条准线方程为y=3,则其渐近线方程为13定义在R上的函数f(x)满足f(x)1,且f(1)=2,在不等式f(x)x+1的解集为14已知动点A、B分

3、别在图中抛物线y2=4x及椭圆的实线上运动,若ABx,点N的坐标为(1,0),则三角形ABN的周长l的取值范围是二、解答题:本大题共7小题,共90分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15已知圆C:(x1)2+y2=9内有一点P(2,2),过点P作直线l交圆C于A、B两点(1)当l经过圆心C时,求直线l的方程;(2)当弦AB被点P平分时,写出直线l的方程;(3)当直线l的倾斜角为45时,求弦AB的长16如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是平行四边形,BAD=45,AB=2,AD=,PA平面ABCD,E是PC的中点,F是AB的中点(1)求证:BE平面PDF;(2)求证:平面P

4、DF平面PAB17抛物线y=x2上有一点A的横坐标为a,其中a(0,1),过点A的抛物线的切线l交x轴及直线x=1于B,C两点,直线x=1交x轴于D点(1)求直线l的方程;(2)求BCD的面积S(a),并求出a为何值时S(a)有最大值18(文科班选做此题)已知a0,命题p:x1,x+20恒成立,命题q:点P(1,1)在圆(xa)2+(ya)2=4的外部,是否存在正数a,使得pq为真命题;pq假命题,若存在,请求出a的范围;若不存在,请说明理由19求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值;(2)求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值20已知函数f(x)=(m,nR)在x=1处取到极值2()求f

5、(x)的解析式;()设函数g(x)=axlnx若对任意的,总存在唯一的,使得g(x2)=f(x1),求实数a的取值范围21已知椭圆E: +=1(ab0)的短轴为2,离心率为,直线x=my1(mR)交椭圆E于A,B两点,O为坐标原点(1)求椭圆E的方程;(2)求OAB面积的最大值;(3)当mR时,判断点G(2,0)与AB为直径的圆的位置关系,并说明理由高二(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题:(本大题共14小题,每小题5分,共70分)1直线xy+a=0(aR,a为常数)的倾斜角是60【分析】根据题意,设直线xy+a=0的倾斜角为,由直线的方程可得直线的斜率k=,进而可得tan=,结合的

6、范围,即可得答案【解答】解:根据题意,设直线xy+a=0的倾斜角为,直线xy+a=0可以变形为y=x+a,其斜率k=,tan=且0180,则有=60,故答案为:60【点评】本题考查直线倾斜角的计算,掌握直线的倾斜角与斜率的关系是解题的关键2命题“xR,ex=x1”的否定是xR,exx1【分析】由题意,命题“xR,ex=x1”,其否定是一个全称命题,按书写规则写出答案即可【解答】解:命题“xR,ex=x1”是一个特称命题,其否定是一个全称命题所以命题“xR,ex=x1”的否定为“xR,exx1”故答案为:xR,exx1【点评】本题考查特称命题的否定,解题的关键是熟练掌握特称命题的否定的书写规则,

7、依据规律得到答案,要注意理解含有量词的命题的书写规则,特称命题的否定是全称命题,全称命题的否定是特称命题3过点A(1,1)且与直线x+3y+4=0平行的直线l的方程为x+3y2=0【分析】设与直线x+3y+4=0平行的直线l的方程为:x+3y+m=0,把点A(1,1)代入即可得出【解答】解:设与直线x+3y+4=0平行的直线l的方程为:x+3y+m=0,把点A(1,1)代入可得:1+3+m=0,解得m=2要求的直线方程为:x+3y2=0故答案为:x+3y2=0【点评】本题考查了相互平行的直线斜率之间的关系,考查了推理能力与计算能力,属于基础题4已知一个物体的运动方程是s=1t+t2,其中s的单

8、位是米,t的单位是秒,那么该物体在4秒末的瞬时速度是7米/秒【分析】据对位移求导即得到物体的瞬时速度,求出导函数在t=4时的值,即为物体在4秒末的瞬时速度【解答】解:s=1t+t2,求导函数可得s=2t1当t=4时,s=2t1=241=7,故物体在4秒末的瞬时速度是7米/秒,故答案为:7米/秒【点评】本题考查导数知识的运用,考查导数的物理意义,属于基础题5“x0”是“x0”的充分不必要条件;(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“非充分非必要”)【分析】将题设中的命题改写成命题的形式,分别判断它的真假及其逆命题的真假,再依据充分条件,必要条件的定义作出判断得出正确答案【解答】解:原命题

9、:若“x0”则“x0”,此是个真命题其逆命题:若“x0”,则“x0”,是个假命题,因为当“x0”时“x0”,也可能成立,故不一定得出“x0”,综上知“x0”是“x0”的充分不必要条件故答案为:充分不必要【点评】本题考查充分条件必要条件的判断,解题的关键是熟练掌握充分条件与必要条件的定义,本题是基本概念考查题,难度较低,在高考中出现的机率较小6过点(2,)、(,)的椭圆的标准方程为+=1【分析】设椭圆的方程为mx2+ny2=1,(m,n0且mn),再由点(2,)、(,)代入椭圆方程,解方程即可得到m,n,进而得到所求标准方程【解答】解:设椭圆的方程为mx2+ny2=1,(m,n0且mn),由题意

10、可得,解得,即有椭圆方程为+=1故答案为: +=1【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法,注意运用待定系数法,考查运算求解能力,属于基础题7在正方体ABCDA1B1C1D1中,B1C与BD所成的角为60【分析】连接B1D1和D1C,由BDB1D1,知D1B1C就是异面直线DB与B1C所成角由D1B1C是等边三角形,知异面直线DB与B1C所成角为60【解答】解:连接B1D1和D1C,BDB1D1,D1B1C就是异面直线DB与B1C所成角在D1B1C中,B1D1=D1C=B1C,D1B1C=60故答案为:60【点评】本题考查异面直线所成角的大小的求法,解题时要认真审题,仔细求解,注意合理地进行等价转

11、化8直线3x+4y=b与圆x2+y22x2y+1=0相交,则b的取值范围为(2,12)【分析】求出圆的标准方程,利用直线和圆相交的条件建立不等式关系进行求解即可【解答】解:圆的标准方程为(x1)2+(y1)2=1,则圆心坐标为(1,1),半径r=1,则若直线3x+4y=b与圆x2+y22x2y+1=0相交,则圆心到直线的距离d=1,即|b7|5,则5b75,即2b12,故答案为:(2,12)【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用,利用点到直线的距离与半径之间的关系是解决本题的关键9若正四棱锥的底面边长为,体积为4cm3,则它的侧面积为8cm2【分析】设出正四棱锥的底面边长为a=2,h为高

12、,运用体积公式求解得出h=1,求解斜高h=2,运用面积公式求解即可【解答】解:正四棱锥的底面边长为,体积为4cm3,a=2,h为高,即(2)2h=4,h=1,斜高为: =2,侧面积为:42=8故答案为:【点评】本题考查了三棱锥的几何性质,运用求解斜高,侧面积公式,属于中档题,关键是把立体问题,转化为平面问题10下列命题,其中正确的是(填写序号)若m,mn,则n;若mn,m,n,则;若直线mn,则直线m就平行于平面内的无数条直线;若ABC和A1B1C1的边ABA1B1,ACA1C1,则ABC=A1B1C1【分析】在中,由线面垂直的性质得n在中,与相交或平行;在中,直线m与平面有可能相交;在中,A

13、BC=A1B1C1或ABC和A1B1C1互补【解答】解:若m,mn,则由线面垂直的性质得n,故正确;若mn,m,n,则与相交或平行,故错误;若直线mn,则直线m与平面有可能相交,故错误;若ABC和A1B1C1的边ABA1B1,ACA1C1,则ABC=A1B1C1或ABC和A1B1C1互补,故错误故答案为:【点评】本题考查命题真假的判断,是中档题,解题时要认真审题,注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用11椭圆+=1的左焦点为F1,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点M在y轴正半轴上,那么以线段F1P为直径的圆的标准方程为x2+(y)2=【分析】先根据中位线定理可推断出PF2垂直于x轴,

14、根据椭圆的标准方程求出焦距,进而设|PF1|=t,根据勾股定理求得t和|PF2|,可得M的坐标,可得所求圆的标准方程【解答】解:O是F1F2的中点,M为PF1的中点,PF2平行于y轴,即PF2垂直于x轴,c=2,|F1F2|=4设|PF1|=t,根据椭圆定义可知|PF2|=8t,(8t)2+16=t2,解得t=5,|PF2|=3,可得M(0,),|PM|=,即有所求圆的方程为x2+(y)2=故答案为:x2+(y)2=【点评】本题考查椭圆的定义和方程的运用,考查圆的方程的求法,注意运用中位线定理和椭圆的定义,属于中档题12已知双曲线的中心是原点,焦点到渐近线的距离为2,一条准线方程为y=3,则其

15、渐近线方程为y=x【分析】双曲线的焦点在y轴上,且=3,焦点到渐近线距离为2,求出a,b,c,即可求出双曲线的渐近线方程【解答】解:一条准线方程为y=3,双曲线的焦点在y轴上,且=3,焦点到渐近线的距离为2,=2,b=2,a=2,c=4渐近线方程为y=x=x故答案为:y=x【点评】本题考查了双曲线的标准方程及其渐近线方程、点到直线的距离公式,属于基础题13定义在R上的函数f(x)满足f(x)1,且f(1)=2,在不等式f(x)x+1的解集为(1,+)【分析】由f(x)1,f(x)x+1可抽象出一个新函数g(x),利用新函数的性质(单调性)解决问题,即可得到答案【解答】解:设g(x)=f(x)(

16、x+1),因为f(1)=2,f(x)1,所以g(1)=f(1)(1+1)=0,g(x)=f(x)10,所以g(x)在R上是增函数,且g(1)=0所以f(x)x+1的解集即是g(x)0=g(1)的解集x1故答案为:(1,+)【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性,解决此类问题的关键是构造函数g(x)=f(x)(x+1),然后利用导数研究g(x)的单调性,从而解决问题,属于中档题14已知动点A、B分别在图中抛物线y2=4x及椭圆的实线上运动,若ABx,点N的坐标为(1,0),则三角形ABN的周长l的取值范围是()【分析】可考虑用抛物线的焦半径公式和椭圆的焦半径公式来做,先通过联立抛物线与椭圆方程

17、,求出A,B点的横坐标范围,再利用焦半径公式转换为以B点的横坐标为参数的式子,再根据前面求出的B点横坐标方位计算即可【解答】解:由得,抛物线y2=4x与椭圆在第一象限的交点横坐标为,设A(x1,y1),B(x2,y2),则0x1,x22,由可得,三角形ABN的周长l=|AN|+|AB|+|BN|=x1+x2x1+aex2=+a+x2=3+x2,x22,3+x24故答案为()【点评】本题考查了抛物线与椭圆焦半径公式的应用,做题时要善于把未知转化为已知二、解答题:本大题共7小题,共90分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15已知圆C:(x1)2+y2=9内有一点P(2,2),过点P

18、作直线l交圆C于A、B两点(1)当l经过圆心C时,求直线l的方程;(2)当弦AB被点P平分时,写出直线l的方程;(3)当直线l的倾斜角为45时,求弦AB的长【分析】(1)求出圆的圆心,代入直线方程,求出直线的斜率,即可求直线l的方程;(2)当弦AB被点P平分时,求出直线的斜率,即可写出直线l的方程;(3)当直线l的倾斜角为45时,求出直线的斜率,然后求出直线的方程,利用点到直线的距离,半径,半弦长的关系求弦AB的长【解答】解:(1)已知圆C:(x1)2+y2=9的圆心为C(1,0),因直线过点P、C,所以直线l的斜率为2,直线l的方程为y=2(x1),即2xy2=0(2)当弦AB被点P平分时,

19、lPC,直线l的方程为y2=(x2),即x+2y6=0(3)当直线l的倾斜角为45时,斜率为1,直线l的方程为y2=x2,即xy=0圆心到直线l的距离为,圆的半径为3,弦AB的长为【点评】本题是基础题,考查直线与圆的位置关系,计算直线的斜率,点到直线的距离;直线与圆的特殊位置关系的应用是本题的关键16如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是平行四边形,BAD=45,AB=2,AD=,PA平面ABCD,E是PC的中点,F是AB的中点(1)求证:BE平面PDF;(2)求证:平面PDF平面PAB【分析】(1)取PD的中点M,由三角形的中位线定理,结合已知条件,易证明四边形MEBF是平行四边形,且B

20、EMF,结合线面平行的判定定理,即可得到BE平面PDF;(2)连接BD,由BAD=45,AB=2,AD=,F为AB的中点,可得DFAB,由PA平面ABCD,可得PADF,结合线面垂直的判定定理可得DF平面PAB,再由面面垂直的判定定理,即可得到平面PDF平面PAB【解答】证明:(1)取PD的中点M,E是PC的中点,ME是PCD的中位线,MEFB,四边形MEBF是平行四边形,BEMF,BE平面PDF,MF平面PDF,BE平面PDF(2)连接BD,BAD=45,AB=2,AD=,F为AB的中点,DFAB,又PA平面ABCD,PADF,又由PAAB=A,DF平面PAB,又DF平面PDF,平面PDF平

21、面PAB【点评】本题考查的知识点是直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定,其中(1)的关键是证得BEMF,(2)的关键是证明DF平面PAB17抛物线y=x2上有一点A的横坐标为a,其中a(0,1),过点A的抛物线的切线l交x轴及直线x=1于B,C两点,直线x=1交x轴于D点(1)求直线l的方程;(2)求BCD的面积S(a),并求出a为何值时S(a)有最大值【分析】(1)利用导数的运算法则可得y,利用导数的几何意义即可得到切线的斜率,进而得到切线的方程;(2)利用切线的方程即可得出点B,C的坐标,再利用三角形的面积公式,求得S(a),再由导数求得单调区间和最值,即可得出结论【解答】解:(1)

22、y=x2,y=2x,可得切线l的斜率为2a,切线l的方程是ya2=2a(xa),即2axya2=0;(2)由2axya2=0,令y=0,解得x=,B(,0);令x=1,解得y=2aa2,即C(1,2aa2),|BD|=1,|CD|=2aa2,BCD的面积S(a)=(1)(2aa2)=(a34a2+4a),S(a)=(3a28a+4)=(3a2)(a2),令S(a)=0,a(0,1),a=当0a时,S(a)0;当a1时,S(a)0a=时,S(a)有最大值【点评】熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值,导数的几何意义等是解题的关键18(文科班选做此题)已知a0,命题p:x1,x+20恒成立,

23、命题q:点P(1,1)在圆(xa)2+(ya)2=4的外部,是否存在正数a,使得pq为真命题;pq假命题,若存在,请求出a的范围;若不存在,请说明理由【分析】根据条件求出命题的成立的等价条件,根据复合命题真假关系进行判断即可【解答】解:若:x1,x+20,即x+2,即x2+2xa在x1时成立,设f(x)=x2+2x,则f(x)=(x+1)21,当x1时,函数f(x)为增函数,则函数f(x)的最小值为f(1)=1+2=3,则a3,即p:a3若点P(1,1)在圆(xa)2+(ya)2=4的外部,则(1a)2+(1a)24,即(a1)22,即a1+或a1,若存在正数a,使得pq为真命题;pq假命题,

24、则p,q为一真一假,则此时p:0a3,q:a1+,若p真q假,则,得0a1+,若p假q真,则,得a3,综上0a1+或a3【点评】本题主要考查复合命题真假的应用,根据条件求出命题的等价条件是解决本题的关键19求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值;(2)求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值【分析】(1)以为单位正交基底建立空间直角坐标系Axyz,利用向量法能求出异面直线A1B与C1D所成角的余弦值(2)分别求出平面ABA1的法向量和平面ADC1的法向量,利用向量法能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的余弦值,再由三角函数知识能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值【解答】解:(1)

25、以为单位正交基底建立空间直角坐标系Axyz,则由题意知A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,4),D(1,1,0),C1(0,2,4), =(1,1,4),cos=,异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为(2)是平面ABA1的一个法向量,设平面ADC1的法向量为,取z=1,得y=2,x=2,平面ADC1的法向量为,设平面ADC1与ABA1所成二面角为,cos=|cos|=|=,sin=平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值为【点评】本题考查两条异面直线所成角的余弦值的求法,考查平面与平面所成角的正弦值的求法,解题时要注意向量法的合理运用20已知函数f(x)=(m

26、,nR)在x=1处取到极值2()求f(x)的解析式;()设函数g(x)=axlnx若对任意的,总存在唯一的,使得g(x2)=f(x1),求实数a的取值范围【分析】(I)由已知中,函数,易求出导函数的解析式,再由函数在x=1处取到极值2,其导函数在x=1处等0,易构造一个关于m的方程,解方程求出m值,即可得到f(x)的解析式;()由(I)我们可以求出函数导函数的解析式,进而可分别出函数f(X)的单调性,由此易判断f(x)在区间,2上的值域,由对任意的,总存在唯一的,使得g(x2)=f(x1),及函数g(x)=axlnx我们分别对a值与e及e2的关系进行分类讨论,即可得到满足条件的实数a的取值范围【解答】解:()f(x)=f(x)在x=1处取到极值2,故f(1)=0,f(1)=2即,解得m=4,n=1,经检验,此时f(x)在x=1处取得极值故()由()知,故f(x)在上单调递增,在(1,2)上单调递减,由,故f(x)的值域为依题意,记,xM()当ae时,g(x)0,g(x),依题意由得,故此时()当eae2时,当时,g(x)0,当时,g(x)0依题意由,得,即与ae矛盾()当ae2时,此时g(x)

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