1018线面垂直答案

1、1.如图 1,在直角梯形 ABCQ 中，AB/CD, 4B 丄 4D，且=ADA-CDAl.现以4D为一边向梯形外作正方形4DEF，然后沿边 4D将正方形 4DEF翻折，使平 面4DEF与平面 ABCD垂直，M为ED的中点，如图 2.图1(1) 求证：AM /平面BEC ;(2) 求证：BC丄平面BDE; 求点D到平面BEC的距离.【答案】(1)见解析(2)见解析 一3【解析】试题分析：(1) 要证明线面平行，取 EC中点N ,连结MN,BN ,其中线段BN在面BEC中，根据线面平行的判断只需要证明线段BN与AM平行即可，根据 MN为所在线段的中点，利用中位线 定理即可得到 MN平行且等于 D

2、C的一半，题目已知 AB平行且等于 DC的一半，则可 以得到 MN与AB平行且相等，即四边形 ABMN为平行四边形，而 AM与BN为该平行 四边形的两条 对边，则 AM与BN平彳丁，即得到线段 A平行于面 BEC.(2) 题目已知面ABCD与ADEF垂直且ED垂直于这两个面的交线，根据面面垂直的性质定理可得线段 ED垂直于面 ABCD,再根据线面垂直的性质可得到BC垂直于ED,根据梯形 ABCD为直角梯形和边长关系和勾股定理可以得到BC与BD垂直，即线段 BC与面BED中两条相交的线段 ED, BD相互垂直，根据线面垂直的判断即可得到线段BC垂直于面BED(3) 要求点面距离可以考虑利用三棱锥

3、D-BEC体积的等体积法，即分别以D点和E点作为顶点求解三棱锥 D-BEC的体积，当以 E作为顶点时，DE为高，三角形BCD为底面， 求 岀高和底面积得到三棱锥的体积，当D为顶点，此时，高为 D到面BEC的距离，而三角形BEC为底面，利用三角形的勾股定理得到BE的长度，求岀三角形 BEC的面积，利用三棱锥 的体积公式即可得到 D到面BEC的距离.试题解析：证明：取EC中点N,连结MN,BN .在厶EDC中，M,N分别为EC, ED的中点，所以 MN / CD, S.MN = -CD.2/CD, AB = -CD.所 UBN AM .4 分4M所以AM 平面BEC . 中，ED丄AD.ABCD

4、,且平面ADEF Pl平面2且AM平面BEC,又因为BNu平面BEC,且(2)在正方形4DEF又因为平面 ADEF丄平面所以且 M?V = AB.所以四边形4BMW 为平行四边形ABCD = AD ,所以ED丄平面 ABCD.所以ED丄BC.在直角梯形 ABCD中，AB = AD = 1, CD = 2,可得BC = 42.在厶 BCD 中，BD = BC = A2,CD = 2,所以 BD2 + BC" = CD-.所以BC丄BD.8分所以BC丄平面BDE.10分(3)解法一：因为 BC u平面BCE ,所以平面BDE丄平面BEC .11分过点D作EB的垂线交EB于点G,则DG丄平

5、面BEC所以点D到平面BEC的距离等于线段 DG的长度12分在直角三角形 BDE中，S碍de =ABD DE = ABEDGBD DEBE解法二：BEu平面BDE,所以BC丄BE所以SAcD=qBDBC = q疋疋=,又AE-BCD = V d-BCE，设点D到平面BEC的距离为h.&忧也-y BE BC4 -严、MCE v 6则AABCD DE = ? S皿E ? h,所以力=S 営 D DE =_a = f r所以点D到平面BEC的距离等于虫.14分3考点：勾股定理线面平行，线面垂直等体积法2.（本小题满分12分）在如图所示的多面体中，四边形 ABBA和4CGA都为矩形。AfGBi

6、EA-CDB（I）若AC丄BC,证明：直线 BC丄平面 ACC, A,；（II）设D , E分别是线段 BC , CC的中点，在线段 AB上是否存在一点 M，使直 线 DEH平面A.MC?请证明你的结论。【答案】 （1）证明详见解析；（2）存在，M为线段 AB的中点时，直线DED平面A.MC.【解析】试题分析：（1）证直线垂直平面，就是证直线垂直平面内的两条相交直线 ？已经有4C丄BCT，那么再在平面内找一条直线与 BC垂直.据题意易得，幽丄平面 ABC,所以丄 BC.由此得BC丄平面ACCA .（2）首先连结，取£（7的中点0.考虑到D , E分别是线段BC, CG的中点，故在线段

7、 AB上取中点 M ,易得DE D MO.从而得直线 DE Z7平面A.MC .试题解析：（I）因为四边形 ABB.A,和ACG4都是矩形,所以丄丄AC.因为AB, AC为平面ABC内的两条相交直线,所以？ 1%丄平面ABC.因为直线BCu平面ABC内，所以幽丄 BC.又由已知，AC丄BC,AA,AC为平面ACCA内的两条相交直线所以，BC丄平面ACCA .取线段AB的中点M,连接 则,MC,£C,ACi ,设0为AC,A C】的交点.由已知,AC】的中点连接MD, 0E,则MD, 0E分别为AABC,AACG 的中位线.所以，MDZ7 丄 AC,OED- AC,:. MDOOE ,

8、=2 =2 =连接0M,从而四边形 MDEO为平行四边形，则 DE U MO .因为直线DE（Z平面AMC , MOu平面AAMC ,所以直线DED平面MC.即线段AB上存在一点 M （线段AB的中点），使得直线 DEC平面A.MC.【考点定位】空间直线与平面的位置关系3如图：在四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA = AB = 2 ,PB = PD = 2V2,点 E 在 PD 上，且 PEA-PD.3求证：P4丄平面ABCD ;(2) 求二面角E-AC-D的余弦值；(3) 证明：在线段BC上存在点F,使PF 平面EAC,并求BF的长.【答案】(1)证明见解析；(2) - ;

9、(3)证明见解析.BF = 1.3【解析】试题分析：(1)要证线面垂直，就是要证PA与平面ABCD内的两条相交直线垂直，如虽然题中没有给岀多少垂直关系，但有线段的长度，实际上在APAB中应用勾股定理就能证明PA丄AB,同理可证P4丄4D ,于是可得PA丄平面ABCD ; (2)由于在(1)已经证明了两两垂直，因此解决下面的问题我们可以通过建立空间直角坐标系，利用空间向量法解题.以4为原点，分别为 x,y,z轴 建立空间直角坐标系，写岀相应点的坐标，A(0,0,0) , B(2,0,0), C(2,2,0),2 4D(0,2,0), P(0,0,2), E(O,-,j),这样我们只要求岀平面E4

10、C和平面DAC的法 向量，利用法向量的夹角与二面角相等可互补可得所求二面角大小；(3)线段BC上的点F的坐标可写为(2, a,0),这样若有 PF II平面EAC，即丽与(2)中所求平面 EAC的法向量垂直，由此可岀 Q,若0WaW2,说明在线段BC上存在符合题意的点，否则就是不存在.试题解析：(1)证明：=PB = 2V2，? PA + AB2 = PB2PA丄4B,同理P4丄4D2分又 ABCADAA, .-.PA 丄平面 ABCD. 4 分以4为原点，分别为 x,y,z轴建立空间直角坐标系，2 4则 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2)

11、, E(0,6 分 平面4CD的法向量为乔=(0,0,2),设平面EAC的法向量为 n = (x, y, z)AC = (2t2.0).4T =n- AC 0 由 < n ? AE = 0取y = -2设二面角E-AC-D的平面角为&n-AP11cos6 = 一 丫/.二面角E-AC-D的余弦值为10分1771 I API 33(3)假设存在点FeBC，使PF 平面EAC,令 F(2,a,0), (0 <12? < 2)分PF = (2,a,-2)由 PF 平面 EAC , .-.PF n = 0,解得 a = l存在点F(2,l,0)为BC的中点，即BF = l.

12、14分考点：线面垂直，空间向量与二面角，空间向量与线面平行4.如图，在四棱台 ABCD-A.BAD,中，底面4BCD是平行四边形，丄平面ABCD , AB = 2AD , AD =佔，ZBAD = 60 °(2)证明：CC/平面 A.BD.(1)证明：BD丄平面【答案】；1)详见解析；(2)详见解析【解析】'BD丄AD,再试题分析：(1)先用余弦定理确定 BD与AD的等量关系，利用勾股定理得到用DD,丄平面ABCD得到DD,丄BD ,最后利用直线与平面垂直的判定定理得到 BD丄平面ADD.A, ；(2)连接AC. AG，设ACABD = E,连接幽，禾U用棱台底面的相似比得到

13、CJJEC,从而证明四边形 4ECG为平行四边形，得到CC, 平面 BD .CC, HAE ,最后利用直线与平面平彳丁的判定定理得到BD- = AD- + AB 2 -2AD- AB- cos60 ° 3AD2AD-+ BD =?AB-, 因此，AD 丄 BDD丄平D Pl DBDN BD u 平面 ABCD , ? 平面AD：)连扌妾AC、AS,设AC佻=E y连接硝,DDx丄BD由棱台定义AB=AD = 2A5i 知 AG/EC ,且AC=】L=EC，?.?四边形ABCD是平行四边形，2?四边形AECC是平行四边形，因此 cci/EA又 EA'；ju 平面 AABD CC

14、(Z 平面 ABD /. CC; 平面 BD 考点:5.如图，在二棱锥 S-AB1.直线与平面垂2扌与平面平行的判定，S4 丄底面 ABC, A ABC = 90，。点 M 是ASA=AB,点，4N丄SC且交SC于点N.(1)求证：SC丄平面4MN ;当AB = BC =1时，求三棱锥 M -S4N的体积.【答案】（1）详见解析；（2）.36【解析】试题分析：（1）山已知条件 S4丄平面 ABC得到S4丄BC，再山已知条件得到 丄从而得 到BC丄平面S4B,进而得到BC丄4M,利用等腰二角形二线合 一得到AM丄SB,结合直 线与平面垂直的判定定理得到 AN丄平面SBC,于是得到 AM丄SC,结合题中已知条件 AN 丄SC以及直线与平面垂直的判定定理得到 SC丄平面AMN ； （ 2）禾U用（1）中的结论 SC丄平面然后以点 S为顶点，以SN为高，结合等体积法求岀三棱锥 M-S4N的体积.（1）证明：？S4L底面 ABC, :.BC 丄 S4又易知 BC 丄 AB,BC 丄平面 SAB, .BC 丄 AM,又