高中数学定理证明汇总

1、精选优质文档-倾情为你奉上高中数学定理证明汇总必修1P64 分数指数幂的定义、根式解释：一般的，给定正实数a,对于任意给定的正整数m,n,存在唯一的正实数b,使得bn=am,我们把b叫作a的次幂，记作， 它就是正分数指数幂。有时我们把正分数指数幂写成根式形式，即 （a>0）P81 对数的运算性质：如果a>0,M>0,N>0,则（1） loga(MN)=logaM+logaN;（2） logaMn=n·logaM (nR)；（3） loga=logaM-logaN.证明：设logaM=p,logaN=q,则由对数定义得ap=M,aq=N.因为 MN=apaq=a

2、p+q，所以p+q=loga(MN)logbN= (a,b>0,a,b1,N>0)即loga(MN)=logaM+logaNP84 换底公式：证明：设x=logbN,根据对数定义，有N=bx. 两边取以a为底的对数，得logaN=logabx.而logabx=xlogab,所以logaN=xlogab.由于b1,则logab0，解出x,得x=,因为x=logbN,所以logbN= 很容易由换底公式得到 logba=必修2P24 平面的基本性质的推论：1. 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。2. 经过两条相交直线，有且只有一个平面。3. 经过两条平行直线，有且只有一个平

3、面。证明推论2：设，在直线a上取点B，且A、B不重合，在直线b上取点C，且A、C不重合。因为A、B、C不重合则有且仅有一个平面经过A、B、C因为点A、B都在直线a上所以直线a在平面内同理直线b也在平面内所以经过两条相交直线只有一个平面。推论3：证明：设直线ab,任取点Aa, Ba，取点Cb，则三点A、B、C确定一个平面ABC.再任取C以外一点Db假设过两条条直线a、b有两个或以上平面即平面ABC 、平面ABD是两个不同的平面且相交于AB，且点C、D不在直线AB上得出AB CD是异面直线与ab冲突所以，假设错误P28 定理5.1 若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。P

4、30 定理5.2 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。P31 定理5.3 如果一条直线与一个平面平行，那么过这直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行。P32 定理5.4 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行P36 定理6.1 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直P37 定理6.2如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直P39 定理6.3 如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行证明：一般的，如果直线a平面，直线b平面,这时，a和b平行吗？如图，假设a和b不平行。设b与a交于点

5、O，b'是经过点O与a平行的直线。因为ab',a平面,所以，b'平面。这样，经过同一点O的直线b,b'都垂直于平面，这是不可能的。因此，ab。P40 定理64 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。在一般情况下，平面平面，=MNB，这时，直线AB和平面垂直吗？如图，在平面内作直线BCMN，则ABC是二面角-MN-的平面角，因为平面平面，所以ABC=90°，即ABBC，又已知ABMN,从而AB。S球面=4R2，V球=R3P47 P73 ABC中，D是BC边上任意一点（D与B,C不重合），且|AB|2=|AD|2+|B

6、D|DC|.求证：ABC为等腰三角形。解：作AOBC,垂足为O,以BC所在直线为x轴，以OA所在直线为y轴，建立直角坐标系。设A（0，a）,B（b，0）,C（c，0）,D（d，0）,因为|AB|2=|AD|2+|BD|DC|，所以，由距离公式可得b2+a2=d2+a2+(d-b)(c-d),即 - (d-b) (b+d) = (d-b)(c-d)又 d-b0,故 -b-d=c-d即-b=c.所以|AB|=|AC|,即ABC为等腰三角形。P75例19 用解析法证明：等腰三角形底边延长线上一点到两腰的距离之差等于一腰上的高。证明：在ABC中，AB=AC,P为BC延长线上一点，PDAB于D,PEAC

7、于E，CFAB于F.以BC所在直线为x轴，以BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系。设A（0，b）,B( -a,0）,C( a,0）(a>0,b>0),则直线AB方程为bx-ay+ab=0,直线AC方程为bx+ay-ab=0,取P（x0,0）,使x0>a,则点P到直线AB,AC的距离分别为 ，点C到直线AB的距离为，则|PD|-|PE|= =|CF|.必修4P83 平面向量基本定理 如果el，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的仟一向量a，存在一对实数，使 我们把不共线的向量el，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底 如果el，e2是同一平面内的两个不共线向量，a这一平面内的任一向量，那么a与el，e2之间有什么关系呢?如图225，在平面内任取一点O作=el，=e2，=a