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文档简介

1、精选优质文档-倾情为你奉上高中数学定理证明汇总必修1P64 分数指数幂的定义、根式解释:一般的,给定正实数a,对于任意给定的正整数m,n,存在唯一的正实数b,使得bn=am,我们把b叫作a的次幂,记作, 它就是正分数指数幂。有时我们把正分数指数幂写成根式形式,即 (a>0)P81 对数的运算性质:如果a>0,M>0,N>0,则(1) loga(MN)=logaM+logaN;(2) logaMn=n·logaM (nR);(3) loga=logaM-logaN.证明:设logaM=p,logaN=q,则由对数定义得ap=M,aq=N.因为 MN=apaq=a

2、p+q,所以p+q=loga(MN)logbN= (a,b>0,a,b1,N>0)即loga(MN)=logaM+logaNP84 换底公式:证明:设x=logbN,根据对数定义,有N=bx. 两边取以a为底的对数,得logaN=logabx.而logabx=xlogab,所以logaN=xlogab.由于b1,则logab0,解出x,得x=,因为x=logbN,所以logbN= 很容易由换底公式得到 logba=必修2P24 平面的基本性质的推论:1. 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面。2. 经过两条相交直线,有且只有一个平面。3. 经过两条平行直线,有且只有一个平

3、面。证明推论2:设,在直线a上取点B,且A、B不重合,在直线b上取点C,且A、C不重合。因为A、B、C不重合则有且仅有一个平面经过A、B、C因为点A、B都在直线a上所以直线a在平面内同理直线b也在平面内所以经过两条相交直线只有一个平面。推论3:证明:设直线ab,任取点Aa, Ba,取点Cb,则三点A、B、C确定一个平面ABC.再任取C以外一点Db假设过两条条直线a、b有两个或以上平面即平面ABC 、平面ABD是两个不同的平面且相交于AB,且点C、D不在直线AB上得出AB CD是异面直线与ab冲突所以,假设错误P28 定理5.1 若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。P

4、30 定理5.2 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行。P31 定理5.3 如果一条直线与一个平面平行,那么过这直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行。P32 定理5.4 如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行P36 定理6.1 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直P37 定理6.2如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直P39 定理6.3 如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行证明:一般的,如果直线a平面,直线b平面,这时,a和b平行吗?如图,假设a和b不平行。设b与a交于点

5、O,b'是经过点O与a平行的直线。因为ab',a平面,所以,b'平面。这样,经过同一点O的直线b,b'都垂直于平面,这是不可能的。因此,ab。P40 定理64 如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。在一般情况下,平面平面,=MNB,这时,直线AB和平面垂直吗?如图,在平面内作直线BCMN,则ABC是二面角-MN-的平面角,因为平面平面,所以ABC=90°,即ABBC,又已知ABMN,从而AB。S球面=4R2,V球=R3P47 P73 ABC中,D是BC边上任意一点(D与B,C不重合),且|AB|2=|AD|2+|B

6、D|DC|.求证:ABC为等腰三角形。解:作AOBC,垂足为O,以BC所在直线为x轴,以OA所在直线为y轴,建立直角坐标系。设A(0,a),B(b,0),C(c,0),D(d,0),因为|AB|2=|AD|2+|BD|DC|,所以,由距离公式可得b2+a2=d2+a2+(d-b)(c-d),即 - (d-b) (b+d) = (d-b)(c-d)又 d-b0,故 -b-d=c-d即-b=c.所以|AB|=|AC|,即ABC为等腰三角形。P75例19 用解析法证明:等腰三角形底边延长线上一点到两腰的距离之差等于一腰上的高。证明:在ABC中,AB=AC,P为BC延长线上一点,PDAB于D,PEAC

7、于E,CFAB于F.以BC所在直线为x轴,以BC的中垂线为y轴,建立直角坐标系。设A(0,b),B( -a,0),C( a,0)(a>0,b>0),则直线AB方程为bx-ay+ab=0,直线AC方程为bx+ay-ab=0,取P(x0,0),使x0>a,则点P到直线AB,AC的距离分别为 ,点C到直线AB的距离为,则|PD|-|PE|= =|CF|.必修4P83 平面向量基本定理 如果el,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的仟一向量a,存在一对实数,使 我们把不共线的向量el,e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底 如果el,e2是同一平面内的两个不共线向量,a这一平面内的任一向量,那么a与el,e2之间有什么关系呢?如图225,在平面内任取一点O作=el,=e2,=a

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