高中一元二次函数总结

1、精选优质文档-倾情为你奉上1二次函数的解析式的三种形式：(1)一般式：f(x)=ax2+bx+c(a0)。(2)顶点式（配方式）：f(x)=a(x-h)2+k其中(h,k)是抛物线的顶点坐标。(3)两点式（因式分解）：f(x)=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是抛物线与x轴两交点的坐标。2二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的图象是一条抛物线，对称轴，顶点坐标（1）a>0时，抛物线开口向上，函数在上单调递减，在上单调递增，时，；（2）a<0时，抛物线开口向下，函数在上单调递增，在上单调递减，时，。3二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)当时图象与x轴有两个交点M

2、1(x1,0),M2(x2,0)。4 根分布问题: 一般地对于含有字母的一元二次方程ax2+bx+c=0 的实根分布问题，用图象求解，有如下结论：令f(x)=ax2+bx+c (a>0) ，(1)x1<,x2< ,则; (2)x1>,x2>,则(3)<x1<b,<x2<b,则 (4)x1<,x2>b (<b),则(5）若f(x)=0在区间(,b)内只有一个实根，则有5 最值问题：二次函数f(x)=ax2+bx+c在区间,b上的最值一般分为三种情况讨论，即：(1)对称轴-b/(2a)在区间左边，函数在此区间上具有单调性；;(

3、2)对称轴-b/(2a)在区间之内;(3)对称轴在区间右边要注意系数a的符号对抛物线开口的影响6 二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系：f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴无交点ax2+bx+c=0无实根ax2+bx+c>0(<0)的解集为或者是R;f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴相切ax2+bx+c=0有两个相等的实根ax2+bx+c>0(<0)的解集为或者是R;f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴有两个不同的交点ax2+bx+c=0有两个不等的实根ax2+bx+c>0(<0)的解集为或者是（二）考点分析考点1求二次函数的解析式例1已

4、知二次函数f(x)满足f(2)= -1，f(-1)= -1且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数。法一：利用一般式设f(x)=ax2+bx+c(a0)，由题意得：解得： f(x)= - 4x2+4x+7法二：利用顶点式f(2)= f(-1) 对称轴 又最大值是8可设，由f(2)= -1可得a= - 4 法三：由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1，故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)即f(x)=ax2-ax-2a-1,又得a= - 4或a=0(舍) f(x)= - 4x2+4x+7例2已知二次函数的对称轴为，截轴上的弦长为，且过点，求函数的解析式解：二次函数的对称轴为，设所

5、求函数为，又截轴上的弦长为，过点，又过点， ，考点2二次函数在区间上的最值问题例1已知函数f(x)= - x2+2ax+1-a在0x1时有最大值2，求a的值。思维分析：一般配方后结合二次函数图象对字母参数分类讨论解：f(x)= -(x-a)2+a2-a+1(0x1),对称轴x=a10 a<0时， 20 0a1时 30 a>1时，综上所述：a= - 1或a=2例2已知y=f(x)=x2-2x+3,当xt,t+1时，求函数的最大值和最小值。答案：例3已知函数的最大值为，求的值 分析：令，问题就转二次函数的区间最值问题解：令，对称轴为，（1）当，即时，得或（舍去）（2）当，即时，函数在单

6、调递增，由，得（3）当，即时，函数在单调递减，由，得（舍去）综上可得：的值为或考点3一元二次方程根的分布及取值范围例1已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0(1)若方程有两根，其中一根在区间（-1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求m的取值范围。(2)若方程两根在区间（0，1）内，求m的范围。思维分析：一般需从三个方面考虑判别式区间端点函数值的正负对称轴与区间相对位置。解：设f(x)=x2+2mx+2m+1(1)由题意画出示意图 （2） 练习：方程在（- 1，1）上有实根，求k的取值范围。宜采用函数思想，求的值域。 【反思归纳】根分布问题: 一般地对于含有字母的一元二次方程ax2+b

7、x+c=0 的实根分布问题，用图象求解，主要研究开口、判别式、对称轴、区间端点对应函数值的正负，列出不等式（组）求解。例2 已知函数与非负轴至少有一个交点，求的取值范围解法一：由题知关于的方程至少有一个非负实根，设根为则或，得解法二：由题知或，得二次函数一、知识梳理：1、二次函数的解析式：(1)一般式：(2)顶点式： 其顶点为：；(3)两根式： 其，顶点横坐标2、二次函数的图象和性质： 的图象是对称轴垂直于轴的抛物线，当时开口向上，当时开口向下。它的定义域：值 域：当时为；当时为对称性：对称轴为单调性：当时，减区间是，增区间是 ；当 时，减区间是，增区间是3、掌握二次函数 在闭区间m,n上的最

8、值求法。一、 自我检测：1函数为偶函数，则（ ）A B C D2、设函数f(x)=，若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则f(x)的解析式为f(x)=_,关于x的方程f(x)= x的解的个数为_3、（04春）14、若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是_；若关于的不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是_。4、若成等比数列，则函数的图象与x轴交点的个数是（ ）（A） 0 （B） 1 （C）2 （D） 不能确定（B)5、.若函数的定义域为R，求实数m的取值范围是_6在函数中，若a，b，c成等比数列且f（0）-4，则f（x）有最_值（填“大”或“小”），且该值为_（04北京文）8、函数单

9、调减区间是（ ）A B 、C D9、若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D） 10、函数，当时是减函数，当时是增函数，则=_.(B)11、已知函数在区间（1，2）上是增函数，求f(2)的取值范围 是 _. 10函数在区间1，2上存在反函数的充分必要条件是（）A BC D12函数的最大值是（ ）A B C D13、(陕西卷)函数f(x)= (xR)的值域是( )A.(0,1) B.(0,1 C.0,1) D.0,114、函数=的最小值是( ) A. B.3 C.-1 D.不存在15、已知二次函数，且，则（ ）（A） （B）（C） （D）(B)16、函数的值域是_17、函数的反函数是_18、已知函数f(x)=- x-2，0，则f(x)的反函数是 （ ）（07朝阳文）Af(x)=- x0，2 Bf(x)=- x-2，0 Cf(x)= x0，2 Df(x)= x-2，0 19（安徽卷）函数 的反函数是AB CD20、（重庆卷）设P（3，1）为二次函数的图象与其反函数的图象的一个交点，则（A）（B）（C）（D）(B)21、关于的方程一根比1大,一根比1小,则有( ) A. B.或 C. D.或(B)22（