四川专用理步步高高三数学大一轮复习讲义配套Word版文档43

1、4.3三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质2019 高考会这样考1.考查三角函数的图象：五点法作简图、图象变换、图象的解析式；2.考查三角函数的性质：值域或最值，单调区间、对称性等；3.考查数形结合思想复习备考要这样做1.会作三角函数的图象，通过图象研究三角函数性质；2.对三角函数进行恒等变形，然后讨论图象、性质；3.注重函数与方程、转化、数形结合等数学思想方法的应用1 “五点法”作图原理在确定正弦函数 ysin x 在0,2上的图象形状时， 起关键作用的五个点是(0,0)、2，1、(，0)、32，1、(2，0)余弦函数呢？2 三角函数的图象和性质函数性质ysin xycos xytan

2、x定义域RRx|xk2，kZ图象值域1,11,1R对称性对称轴：xk2(kZ)；对称中心：(k，0)(kZ)对称轴： xk(kZ)；对称中心：(k2，0) (kZ)对称中心：k2，0(kZ)周期22单调性单调增区间2k2，2k2(kZ)；单调减区间2k2，2k32 (kZ)单调增区间2k，2k (kZ)；单调减区间2k，2k(kZ)单调增区间(k2，k2)(kZ)奇偶性奇函数偶函数奇函数难点正本疑点清源1 函数的周期性若 f(xT)f(x) (0)，常数 T 不能说是函数 f(x)的周期因为 f(xT)f xT ，即自变量由 x 增加到 xT，T是函数的周期2 求三角函数值域(最值)的方法(1

3、)利用 sin x、cos x 的有界性；(2)形式复杂的函数应化为 yAsin(x)k 的形式逐步分析x的范围， 根据正弦函数的单调性写出函数的值域；(3)换元法：把 sin x 或 cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题1 设点 P 是函数 f(x)sin x (0)的图象 C 的一个对称中心，若点 P 到图象 C 的对称轴的距离的最小值是4，则 f(x)的最小正周期是_答案解析由正弦函数的图象知对称中心与对称轴的距离的最小值为最小正周期的14，故 f(x)的最小正周期为 T44.2 函数 y23cosx4 的最大值为_，此时 x_.答案5342k，kZ解析当 c

4、osx4 1 时，函数 y23cosx4 取得最大值 5，此时 x42k(kZ)，从而 x342k，kZ.3 (2019福建)函数 f(x)sinx4 的图象的一条对称轴是()Ax4Bx2Cx4Dx2答案C解析方法一正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点，故令 x4k2，kZ，xk34，kZ.取 k1，则 x4.方法二用验证法x4时，ysin44 0，不合题意，排除 A；x2时，ysin24 22，不合题意，排除 B；x4时，ysin44 1，符合题意，C 项正确；x2时，ysin24 22，不合题意，故 D 项也不正确4函数 ytan4x的定义域为()Ax|xk4，kZBx|x2k4，k

5、ZCx|xk4，kZDx|x2k4，kZ答案A解析令4xk2，kZ，xk4，kZ.5 给出下列四个命题，其中不正确的命题为()若 cos cos ，则2k，kZ；函数 y2cos2x3 的图象关于 x12对称；函数 ycos(sin x)(xR)为偶函数；函数 ysin|x|是周期函数，且周期为 2.ABCD答案D解析命题：若，则 cos cos ，假命题；命题：x12，cos2x3 cos20，故 x12不是 y2cos2x3 的对称轴；命题：函数 ysin|x|不是周期函数题型一三角函数的定义域、值域问题例 1(1)求函数 ylg sin 2x 9x2的定义域；(2)求函数 ycos2xs

6、in x|x|4 的最大值与最小值思维启迪：求函数的定义域可利用三角函数的图象或数轴；求函数值域时要利用正弦函数的值域或化为二次函数解(1)由sin 2x09x20，得2k2x2k，kZ，3x3.3x2或 0 x2.函数 ylg sin 2x 9x2的定义域为x|3x2或 0 x0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答列不等式的原则：把“x (0)”视为一个“整体”；A0 (A0)时，所列不等式的方向与 ysin x(xR)，ycos x(xR)的单调区间对应的不等式方向相同(反)(2)对于 yAtan(x) (A、为常数)，其周期 T|，单调区间利用xk2，k2 ，解出 x 的取值

7、范围，即为其单调区间对于复合函数 yf(v)，v(x)，其单调性的判定方法：若 yf(v)和 v(x)同为增(减)函数时，yf(x)为增函数；若 yf(v)和 v(x)一增一减时，yf(x)为减函数(3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定求函数 ysin34xcos4x6 的周期、单调区间及最大、最小值解34x64x2，cos4x6 cos64xcos234xsin34x.y2sin4x3 ，周期 T242.当22k4x322k (kZ)时，函数单调递增，函数的递增区间为524k2，24k2(kZ)当22k4x3322k (kZ)时，函数单调递减，函数的递减区

8、间为24k2，724k2 (kZ)当 x24k2(kZ)时，ymax2；当 x524k2(kZ)时，ymin2.题型三三角函数的对称性与奇偶性例 3(1)已知 f(x)sin x 3cos x(xR)，函数 yf(x)|2 的图象关于直线 x0 对称，则的值为_(2)如果函数 y3cos(2x)的图象关于点43，0中心对称，那么|的最小值为()A.6B.4C.3D.2答案(1)6(2)A解析(1)f(x)2sinx3 ，yf(x)2sinx3图象关于 x0 对称，即 f(x)为偶函数32k，kZ，k6，kZ，又|2，6.(2)由题意得 3cos2433cos2323cos230，23k2，kZ

9、，k6，kZ，取 k0，得|的最小值为6.故选 A.探究提高若 f(x)Asin(x)为偶函数，则当 x0 时，f(x)取得最大值或最小值若 f(x)Asin(x)为奇函数，则当 x0 时，f(x)0.如果求 f(x)的对称轴，只需令x2k (kZ)，求 x.如果求 f(x)的对称中心的横坐标，只需令xk (kZ)即可(1)定义运算|abcd|adbc，则函数 f(x)|33sin x1cos x|的图象的一条对称轴方程是()Ax56Bx23Cx3Dx6(2)若函数 f(x)asin xbcos x (05，ab0)的图象的一条对称轴方程是 x4，函数 f(x)的图象的一个对称中心是8，0，则

10、 f(x)的最小正周期是_答案(1)A(2)解析(1)f(x)|33sin x1cos x|3cos x 3sin x2 3cosx6 .所以当 x56时，f(x)2 3cos566 2 3.(2)由题设，有 f4 a2b2，即22(ab) a2b2，由此得到 ab.又 f8 0，acos8sin8 0，从而 tan81，8k4，kZ，即8k2，kZ，而 00，a0 或 a0，则2ab1 3ab5，解得a126 3b2312 3；7 分若 a0 或a0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出 x 所在的区间应特别注意，考虑问题应在函数的定义域内考虑注意区分下列两题的单调增区间的不同：(1)

11、ysin2x4 ；(2)ysin42x.3利用换元法求三角函数最值时注意三角函数的有界性，如：ysin2x4sin x5，令 tsinx(|t|1)，则 y(t2)211，解法错误A 组专项基础训练(时间：35 分钟，满分：57 分)一、选择题(每小题 5 分，共 20 分)1 函数 ycos x12的定义域为()A.3，3B.k3，k3 ，kZC.2k3，2k3 ，kZDR答案C解析由题意得 cos x12，即 2k3x2k3，kZ，故函数定义域为2k3，2k3 ，kZ.2 ysinx4 的图象的一个对称中心是()A(，0)B.34，0C.32，0D.2，0答案B解析ysin x 的对称中心

12、为(k，0) (kZ)，令 x4k (kZ)，xk4(kZ)，由 k1，x34得 ysinx4 的一个对称中心是34，0.3 (2019山东)若函数 f(x)sin x (0)在区间0，3 上单调递增，在区间3，2 上单调递减，则等于()A.23B.32C2D3答案B解析f(x)sin x(0)过原点，当 0 x2，即 0 x2时，ysin x 是增函数；当2x32，即2x32时，ysin x 是减函数由 f(x)sin x (0)在0，3 上单调递增，在3，2 上单调递减知，23，32.4 函数 f(x)cos 2xsin52x是()A非奇非偶函数B仅有最小值的奇函数C仅有最大值的偶函数D有

13、最大值又有最小值的偶函数答案D解析f(x)cos 2xsin52x2cos2x1cos x2cos x14298.显然有最大值又有最小值，而且在 R 上有 f(x)f(x)，所以正确答案为 D.二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)5 函数 ylg(sin x)cos x12的定义域为_答案2k，32k(kZ)解析要使函数有意义必须有sin x0cos x120，即sin x0cos x12，解得2kx2k32kx32k(kZ)，2kx32k，kZ，函数的定义域为x|2k0)和 g(x)2cos(2x)1 的图象的对称轴完全相同若x0，2，则 f(x)的取值范围是_答案32，3解析由对称轴

14、完全相同知两函数周期相同，2，f(x)3sin(2x6)由 x0，2，得62x656，32f(x)3.7 函数 f(x)2sin x(0)在0，4 上单调递增，且在这个区间上的最大值是 3，那么_.答案43解析因为 f(x)2sin x (0)在0，4 上单调递增，且在这个区间上的最大值是 3，所以 2sin4 3，且 042，因此43.三、解答题(共 22 分)8 (10 分)设函数 f(x)sin(2x)(0)，yf(x)图象的一条对称轴是直线 x8.(1)求；(2)求函数 yf(x)的单调增区间解(1)令 28k2，kZ，k4，kZ，又0，则54k14，kZ.k1，则34.(2)由(1)

15、得：f(x)sin2x34 ，令22k2x3422k，kZ，可解得8kx58k，kZ，因此 yf(x)的单调增区间为8k，58k，kZ.9 (12 分)(1)求函数 y2sin2x3 (6x6)的值域；(2)求函数 y2cos2x5sin x4 的值域解(1)6x6，02x323，00)的图象向右平移4个单位长度，所得图象经过点34，0，则的最小值是()A.13B1C.53D2答案D解析根据题意平移后函数的解析式为 ysin x4 ，将34，0代入得 sin20，则2k，kZ，且0，故的最小值为 2.2 (2019上海)若 Snsin7sin27sinn7(nN*)，则在 S1，S2，S100

16、中，正数的个数是()A16B72C86D100答案C解析易知 S10，S20，S30，S40，S50，S60，S70.S8sin7sin27sin77sin87sin27sin37sin770，S9sin37sin47sin770，S10sin47sin770，S11sin57sin67sin770，S12sin67sin770，S13sin770，S14sin77sin1470，S1，S2，S100中，S130，S140，S270，S280，S410，S420，S550，S560，S690，S700，S830，S840，S970，S980，共 14 个在 S1，S2，S100中，正数的个数是

17、 1001486(个)3 已知函数 f(x)2sin x(0)在区间3，4 上的最小值是2，则的最小值等于()A.23B.32C2D3答案B解析f(x)2sin x (0)的最小值是2，x2k2，kZ，32k24，kZ，6k32且8k2，kZ，min32，故选 B.二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)4 函数 y2sin(3x) (|2)的一条对称轴为 x12，则_.答案4解析由题意得 312k2，kZ，k4，kZ，又|2，4.5 函数 ysin x1sin x(0 xcos x 时，f(x)sin x.给出以下结论：f(x)是周期函数；f(x)的最小值为1；当且仅当 x2k (kZ)时

18、，f(x)取得最小值；当且仅当 2k2x0；f(x)的图象上相邻两个最低点的距离是 2.其中正确的结论序号是_答案解析易知函数 f(x)是周期为 2的周期函数函数 f(x)在一个周期内的图象如图所示由图象可得，f(x)的最小值为22，当且仅当 x2k54(kZ)时，f(x)取得最小值；当且仅当 2k2x0；f(x)的图象上相邻两个最低点的距离是 2.所以正确的结论的序号是.三、解答题7 (13 分)已知 a0，函数 f(x)2asin2x6 2ab，当 x0，2 时，5f(x)1.(1)求常数 a，b 的值；(2)设 g(x)fx2 且 lg g(x)0，求 g(x)的单调区间解(1)x0，2 ，2x66，76 .