圆的知识点总结及典型例题

1、圆的知识点总结（一）圆的有关性质知识归纳  1. 圆的有关概念：    圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆；    弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高；    圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆；圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。  2. 圆的对称性    圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；    圆是以圆心为

2、对称中心的中心对称图形；    圆具有旋转不变性。  3. 圆的确定    不在同一条直线上的三点确定一个圆。  4. 垂直于弦的直径    垂径定理  垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；    推论1  （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；    （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；    （3）平分弦所对的一条弧

3、的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。    垂径定理及推论1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就可推出另外三个：过圆心；垂直于弦；平分弦（不是直径）；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧。    推论2  圆的两条平行弦所夹的弧相等。  5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系    定理  在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。    推论  在同圆或等圆中，如果两个圆

4、心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。     此定理和推论可以理解成：在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个：两个圆心角相等；两个圆心角所对的弧相等；两个圆心角或两条弧所对的弦相等；两条弦的弦心距相等。    圆心角的度数等于它所对的弧的度数。  6. 圆周角    定理  一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；    推论1  同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或

5、等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等；    推论2  半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；    推论3  如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。    圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。  7. 圆内接四边形的性质    圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。  8. 轨迹 轨迹  符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合

6、这个条件的点的轨迹。（1）平面内，到一定点的距离等于定长的点的轨迹，是以这个定点为圆心，定长为半径的圆；（2）平面内，和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线；（3）平面内，到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。 例题分析  例1. 已知：如图1，在O中，半径OM弦AB于点N。图1    若AB，ON1，求MN的长；    若半径OMR，AOB120°，求MN的长。    解：AB，半径OMAB，   ANBN 

7、0;  ON1，由勾股定理得OA2    MNOMONOAON1    半径OMAB，且AOB120° AOM60°    ONOA·cosAONOM·cos60°        说明：如图1，一般地，若AOB2n°，OMAB于N，AOR，ONh，则AB2Rsin n°2htan n°   例2. 已知：如图2，在ABC中，ACB90&#

8、176;，B25°，以点C为圆心、AC为半径作C，交AB于点D，求的度数。图2分析：因为弧与垂径定理有关；与圆心角、圆周角有关；与弦、弦心距有关；弧与弧之间还存在着和、差、倍、半的关系，因此这道题有很多解法，仅选几种供参考。解法一：（用垂径定理求）如图21，过点C作CEAB于点E，交于点F。图21        又ACB90°，B25°，FCA25°    的度数为25°，的度数为50°。    解法二：（用圆周角求

9、）如图22，延长AC交C于点E，连结ED图22    AE是直径，ADE90°    ACB90°，B25°，EB25°    的度数为50°。    解法三：（用圆心角求）如图23，连结CD图23    ACB90°，B25°，A65°    CACD，ADCA65°    ACD50°

10、，的度数为50°。 例3. 已知：如图3，ABC内接于O且ABAC，O的半径等于6cm，O点到BC的距离OD等于2cm，求AB的长。析：因为不知道A是锐角还是钝角，因此圆心有可能在三角形内部，还可能在三角形外部，所以需分两种情况进行讨论。略解：（1）假若A是锐角，ABC是锐角三角形。如图3，由ABAC，可知点A是优弧的中点，因为ODBC且ABAC，根据垂径定理推论可知，DO的延长线必过点A，连结BO    BO6，OD2        在RtADB中，ADDOAO628 &#

11、160;  图3 图31（2）若A是钝角，则ABC是钝角三角形，如图31添加辅助线及求出，在RtADB中，ADAODO624AB综上所述AB小结：凡是与三角形外接圆有关的问题，一定要首先判断三角形的形状，确定圆心与三角形的位置关系，防止丢解或多解。   例4. 已知：如图4，AB是O的直径，弦CDAB，F是CD延长线上一点，AF交O于E。求证：AE·EFEC·ED图4分析：求证的等积式AE·EFEC·ED中，有两条线段EF、ED在EDF中，另两条线段AE、EC没有在同一三角形中，欲将其置于三角形中，只要添加辅助线AC，设法证

12、明FEDCEA即可。证明：连结AC    四边形DEAC内接于圆    FDECAE，FEDDCA    直径ABCD，    DCACEA，FEDCEA    FEDCEA    ，AE·EFEC·ED小结：四边形内接于圆这一条件，常常不是在已知条件中明确给出的，而是隐含在图形之中，在分析已知条件时，千万不要忽略这一重要条件。 例5. 已知：如图5，AM是O的直径，过O上一点B作BNA

13、M，垂足为N，其延长线交O于点C，弦CD交AM于点E。图5（1）如果CDAB，求证：ENNM；（2）如果弦CD交AB于点F，且CDAB，求证CE2EF·ED；（3）如果弦CD绕点C旋转，并且与AB的延长线交于点F，且CDAB，那么（2）的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。 证明：（1）连结BM（如图51）图51    AM是直径，ABM90°    CDAB，BMCD    ECNMBN，又AMBC，CNBN    RtCEN

14、RtBMN，ENNM    （2）连结BD，BE，AC（如图52）图52    点E是BC垂直平分线AM上一点，BEEC    CDAB，    ACDBDC，又ABAC，AEAE    ABEACE，ABEACDBDC    BED是公共角，BEDFEB    BE2EF·ED，CE2EF·ED    （3）结论成立。如图53图53&#

15、160;   证明：仿（2）可证ABEACE    BECE，且ABEACE    又ABCD，    ACBDBC，BDAC    BDEACE180°    而FBEABE180°    BDEFBE，而BED是公共角    BEDFEB    BE2EF·ED，CE2EF·ED （二

16、）直线与圆的关系  1. 直线与圆的位置关系直线和圆的位置相离相切相交公共点的个数012公共点名称无切点交点直线名称无切线割线圆心到直线的距离d与半径r的关系  2. 切线的判定    经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。  3. 切线的性质    （1）圆的切线垂直于经过切点的半径；    （2）推论1  经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；    （3）推论2  经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

17、60;   此定理及推论可理解为以下三个条件中任知其中两个就可推出第三个：垂直于切线；经过切点；经过圆心。  4. 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。  5. 弦切角定理 （1）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角； （2）推论  如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等； （3）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。  6. 和圆有关的比例线段 （1）相交弦定理  圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积

18、相等； （2）推论  如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项； （3）切割线定理  从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项； （4）推论  从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。  7. 三角形的内切圆 （1）有关概念：三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形、多边形的内切圆、圆的外切多边形； （2）作图：作一个圆，使它和已知三角形的各边都相切。 例题分析  例6. 已知：如图6

19、，AB是O的直径，C是AB延长线上一点，CG切O于D，DEAB于E。图6  求证：CDBEDB。  分析：由AB是O的直径，联想到直径的三个性质：图61      图62       图63（1）直径上的圆周角是直角。若连结AD，则得RtABD；（2）垂径定理。如图62，若延长DE交O于F，则可得DEEF，；（3）过直径外端的切线与直径垂直。如图63，若过B点作O的切线BM，则ABBM。    由CD是O的

20、切线，联想到切线的三个性质：（1）过切点的半径垂直于切线。如图61，若连结OD，则ODCD；（2）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。若连结AD，则CDBA；（3）切割线定理。如图6，CD2CB·CA。由DEAB于E，联想到以下一些性质：（1）RtDEB中两锐角互余，即EDBEBD90°；（2）垂径定理。如图62，只要延长DE交O于F，则可得到相等的线段，相等的弧；（3）构造与射影定理相关的基本图形。即连结AD，则可得到ADB是直角三角形，DE是斜边上的高，又可得到两对相等的锐角，三个相似的三角形，还可运用射影定理、勾股定理、面积公式等。证明：连结AD，如图6，AB是直径，AD

21、B90°。    DEAB，EDBA    CD是O的切线，CDBA，CDBEDB此例题还有许多证法，比如连结OD，如图61，利用切线的定义；又比如延长DE交O于F，连结BF，如图62，利用垂径定理；还可以过点B作O的切线交CD于点M，如图63，利用切线长定理，等等，这诸多证法，读者不妨试证之。小结：此例题证明CDBEDB，即证明BD是CDE的平分线，由此证明可以联想到AD也是GDE的平分线。    另外，通过对此例题的分析和证明可知，图64中隐含着很多图形的性质，如相等的锐角、相等的线段、相等

22、的弧及相似三角形等等，为此可将图64分解成三个基本图形。如图65，以利于进一步理解线段之间的比例关系。图64图65 例7. 已知：如图7，点P是半圆O的直径BA延长线上的点，PC切半圆于C点，CDAB于D点，若PA：PC1：2，DB4，求tanPCA及PC的长。图7    证明：连结CB    PC切半圆O于C点，PCAB    PP，PACPCB    AC：BCPA：PC        AB是半圆O的直

23、径，ACB90°    又CDAB        ABADDB5           例8. 已知：如图8，在RtABC中，B90°，A的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DEDC，以D为圆心，DB长为半径作D。图8求证：（1）AC是D的切线；   （2）ABEBAC分析：（1）欲证AC与D相切，只要证圆心D到AC的距离等于D的半径BD。因此要作DFAC于F（2）只要证ACAFFCA

24、BEB，证明的关键是证BEFC，这又转化为证EBDCFD。    证明：（1）如图8，过D作DFAC，F为垂足    AD是BAC的平分线，DBAB，DBDF    点D到AC的距离等于圆D的半径    AC是D的切线    （2）ABBD，D的半径等于BD，    AB是D的切线，ABAF    在RtBED和RtFCD中，EDCD，BDFD    BED

25、FCD，BEFC    ABBEAFFCAC 小结：有关切线的判定，主要有两个类型，若要判定的直线与已知圆有公共点，可采用“连半径证垂直”的方法；若要判定的直线与已知圆的公共点没有给出，可采用“过圆心作垂线，证垂线段等于半径”的方法。此例题属于后一类   例9. 已知：如图9，AB为O的弦，P为BA延长线上一点，PE与O相切于点E，C为中点，连CE交AB于点F。图9  求证：  分析：由已知可得PE2PA·PB，因此要证PF2PA·PB，只要证PEPF。即证PFEPEF。&#

26、160; 证明一：如图9，作直径CD，交AB于点G，连结ED，    CED90°    点C为的中点，CDAB，CFGD    PE为O切线，E为切点    PEFD，PEFCFG    CFGPFE，PFEPEF，PEPF    PE2PA·PB，PF2PA·PB    证明二：如图91，连结AC、AE图91   

27、 点C是的中点，CABAEC    PE切O于点E，PEAC    PFECABC，PEFPEAAEC    PFEPEF，PEPF    PE2PA·PB，PF2PA·PB 例10. （1）如图10，已知直线AB过圆心O，交O于A、B，直线AF交O于F（不与B重合），直线l交O于C、D，交BA延长线于E，且与AF垂直，垂足为G，连结AC、AD 图10 图101  求证：BADCAG；    AC

28、·ADAE·AF    （2）在问题（1）中，当直线l向上平行移动，与O相切时，其它条件不变。    请你在图101中画出变化后的图形，并对照图10标记字母；问题（1）中的两个结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由。    证明：（1）连结BD    AB是O的直径，ADB90°    AGCADB90°    又ACDB是O内接四边形  

29、;  ACGB，BADCAG    连结CF    BADCAG，EAGFAB    DAEFAC    又ADCF，ADEAFC    ，AC·ADAE·AF    （2）见图101    两个结论都成立，证明如下：    连结BC，    AB是直径，ACB90°  

30、;  ACBAGC90°    GC切O于C，GCAABC    BACCAG（即BADCAG）    连结CF    CAGBAC，GCFGAC，    GCFCAE，ACFACGGFC，EACGCAE    ACFE，ACFAEC，    AC2AE·AF（即AC·ADAE·AF） 说明：本题通过变化图形的位置，考查了学生动

31、手画图的能力，并通过探究式的提问加强了对学生证明题的考查，这是当前热点的考题，希望引起大家的关注。   例11. 如图11，AB是O的直径，O过AC的中点D，DEBC，垂足为E。图11（1）由这些条件，你能推出哪些正确结论？（要求，不再标注其它字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程，写出4个结论即可）。（2）若ABC为直角，其他条件不变，除上述结论外，你还能推出哪些新的正确结论？并画出图形。分析：（1）若连结DO，可证得DE是O的切线。若连结DB，由直径AB和点D是AC的中点，可得ABBC，AC等。而且DEBC于点E，又由双垂图形，可得，等。 

32、;  （2）连结DO、OB。方法同上。 答：下列结论可供选择，如图111图111  （1）DE是O的切线  ABBC  AC  DE2BE·CE  CD2CE·CB  CCDE90°    （2）CEBE  DEBE  DECE  DEAB  CB是O的切线  B  ACDE45°  CCDE45°  CB2CD·CA 

33、60; (11)  (12)说明：本题是结论开放的探索性问题，答案不唯一。寻找结论的关键是抓住命题的条件及其特点（尤其是利用特殊几何图形的判定和性质），在几何中诸如：相等关系、特殊图形、两图形的关系等。 （三）圆和圆的位置关系知识归纳  1. 基本概念    （1）两圆外离、外切、相交、内切、内含的定义。    （2）两圆的公切线、外公切线、内公切线、公切线长的定义。    （3）两圆的连心线、圆心距、公共弦。  2. 圆和圆的位置关系两圆的位置圆心距d与两圆的半径

34、R、r的关系外公切线条数内公切线条数公切线条数外离224外切213相交202内切101内含000  3. 相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦  4. 相切两圆的性质：如果两圆相切，那么切点一定在连心线上。   例题分析例12. 已知两圆外切时，圆心距为10cm，两圆内切时，圆心距为4cm，求两圆半径的长。    解：设两圆的半径分别为Rcm和r cm。依题意，得        答：大圆的半径为7cm，小圆的半径为3cm。 例13. 已知：

35、如图12，两圆相交于A、B，过点A的直线交两圆于C、D，过点B的直线交两圆于E、F。图12 求证：CEFD。 分析：要证CEFD，可通过角的关系证平行，即只要证EBFD或证ECDD180°，若证EBFD，只需将BFD转化成与O1有关的圆周角，或圆内接四边形的外角，只要连结AB即可；若要证ECDD180°，也需连结AB，得EBAD，EBAECD180°，则也可得证。    证明一：（用同位角证）连结AB    四边形EBAC内接于O1，BADE    又BF

36、DBAD，BFDE    CEFD    证明二：（用同旁内角证）连结AB    四边形EBAC内接于O1，    CB180°，又BD，    CD180°，ECFD    小结：两圆相交时，常添的辅助线是作两圆的公共弦。（四）正多边形和圆知识归纳1. 基本概念正多边形、正多边形的中心、正多边形的半径、正多边形的边心距、正多边形的中心角以及平面镶嵌等。2. 正多边形的判定与性质（1）把圆分成等份

37、：依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。（2）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。3. 正多边形的有关计算  正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。 如图16所示，设正n边形的中心角为，半径为R，边长为，边心距为rn，周长为Pn，面积为Sn，则由有关图形的性质可以推得：图16    （1）    （2）；    （3）；    

38、; （4）；    （5）；     （6）；  4. 与圆有关的计算    （1）圆的周长；    （2）弧长；    （3）圆的面积；    （4）扇形面积；    （5）弓形面积（如图16）  5. 与圆有关的作图 （1）过不在同一条直线上的三点作圆； （2）作三角形的内切圆； （3）等分圆周（三、六、十二、四、八、五等分），作正三

39、角形、正四边形、正六边形。6. 圆柱和圆锥的侧面展开图 （1）圆柱的侧面积：（r：底面半径，h：圆柱高） （2）圆锥的侧面积：（L2R，R是圆锥母线长，r是底面半径）。    （n为侧面展开图扇形的圆心角的度数，R为母线长）。 例题分析  例14. 已知：如图17，在两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，AB的长为12cm，求两个圆所围成的环形面积。图17    解：连结OC、OB    设大圆半径OBR，小圆半径OCr    AB与小圆相切于点C，OCAB，且ACBC    AB12，BC6        。       例15. 在正五边形ABCDE中，AC、BE相交于F，若AB