二阶非线性椭圆型微分方程解的振动

1、高校应用数学学报!辑"#$%"#&"(")*"$#!+,-./01-2-31456768549-:6;-!二阶非线性椭圆型微分方程解的振动比较定理庄容坤惠州学院数学系%广东惠州$广东广州&<=#<$>中山大学数学系%摘$<#"?$要(建立几个微分不等式%讨论了一类二阶非线性椭圆型微分方程解的振动性%得到几个新的振动比较定理关键词(二阶>非线性椭圆型微分方程>微分不等式>振动性>振动比较定理中图分类号(A<?$B"$文献标识码(!文章编号(<#*)&q

2、uot;)&"#$#"*#")*#?D<引考虑如下二阶非线性椭圆型方程F言G%HI<L&KOPQ&KR&OI#%EJJKNKMGHGH&<FF其中K设T包含某F维球体%点K本文总假设下ST%I&%W%SUVT是U上外区域VKK<F列条件成立(<PZ为实对称正定矩阵&椭圆型条件&LI&&%&SY%I<%W%3LGKLKTGH<HFXFGH,&PP且存在函数使%S&#%<V设矩阵L的最大特征值为&SY&

3、%FZKU%U/_&a/_&K%&c#-/_bKbI且Q对b不恒为零>&QSY&%S&#%<&bad&c#3TUZKKd"#<&RSY&%&c#且Re&afc#对所有Og#-UUORO3OCZ,"PZ称一个函数O为方程&的解%如果对所有K满足方SY%S&#%<<ST%&TUZOK,&程&关于方程&解的存在性%参见M仅考虑方程&的非平凡解O即对所有b<V<<NV<ba&am

4、p;%KK均有7的非平凡解O为振动的%如果O的零ad%ib&bjKSTkc#V称方程&<&&dh+OKKK#F点集i无界V方程&称为是振动的%如果&的所有非平凡解均振动VSUjO&I#k<<KKF本文所用的术语和记号主要来自M为F维欧氏空间%其范数b"%CN%UKbI收稿日期("#)*#"*"C基金项目(国家自然科学基金&广东省高教厅自然科学基金<#<?<<<C>庄容坤H二阶非线性椭圆型微分方程解的振动比较定理Mh"为单位外法向

5、量/对常数0*&-.+(*010+(2&456,&,.0$3,&,"""表示5中球面积$07(8&4560<,&,<:7(8&456,&,?07(A90(:;$390(=>+$3!"#$%#&()*&+$"而B表示5中单体球的表面积/分元(当"方程*退化为线性常微分方程$%且C*+$D时(%+D90*&+DE;E=F*&+D$.G考虑与方程*对应的二阶线性常微分方程为H%+*+9I*&+JE*&+;E=K*

6、&+J*&+$.G*L+就方程*方程*建立了如下恒等式/+(L+9M;恒等式设D分别为方程*方程*的非平凡解(若D*+(*+(L+*+-.(4NOPQRS&J&&&则成立下面恒等式9(=>+(0.*IJEDTJ0DE+E$0TJE=*IT0+JE=*FTK+J/*M+DD由V恒等式(立即可得如下比较定理WXYZ_aVWXYZ比较定理设D分别为方程*方程*的非平凡解(且J*+(*+(L+*+bcdefgNOPQRS&J&&是振动的/若;I*&+?0*&+(F*&+?K*&+&49

7、0(=>+(.则方程*的非平凡解D是振动的/+*+&最近(将V恒等式推广到非线性常微分方程(用于研究非线性常微分方程的9h(i;WXYZ振动性/受V恒等式的启发(本文通过构造新的微分不等式(将经典的WXYZ_比较定理推广到非线性椭圆型微分方程/获得了几个关于方程*与方程*解的振动比较定理/%+L+j主要结论令m*&+$o*nD+*&+(C*D+o引理k设D分别是方程*和方程*的非平凡解/若D*+(*+%+L+*+-.(48(&Jl&&90(=>+*h+其中D表示D的梯度/则下面不等式成立9IJE*l+J*l+TJ*l+m*&+

8、)*&+A;E?qlp*l+m*&+)*&+ATqlpE*l=9证I*l+TE*l+=%T"Jrl;&+ATK*l+J*+/pF*9;lql*i+不失一般性(设D对m*求导并利用方程*得*+1.(48G+%+(&&&90(=>+Wym*&+$TF*&+TCE*D+*mznT%m+*&+(其中mz表示矩阵m的转置/*+-h"高校应用数学学报i辑第-e卷第-期直接对!式的左边求导并利用$"#%&&公式得()*!+#)!+#,)!+#2!4!3#567.3#01()*!

9、+#8)!+#!()*!+#*,-)!+#)*!+#2!4!3#56,)!+#5:2!3#567.3#.9()*!+#,;!+#)!+#,-)!+#)*!+#2!4!3#568)!+#03#8.3#.<!-/+-/+/+-/+/+*=*!>#!2?,A2#!3#156B?,A,A-依!有!由K不等式知#!#EF!#J#JBD22#332!3LMNH%OPAGHIA,QJ2!3#J56E/R+-!C#.于是由!式得C#3#4!3#56B.2!01/+*()*!+#)!+#,)!+#2!4!3#56E.3#01()*!+#,;!+#)!+#,-)!+#)*!+#2!4!3#568.3#

10、)!+#<3#568S)!+#!3#56E.!.22#-/+-/+-?,A/+/+.3#56,;!+#E2!3#J568)!+#.<!.J01-/+/+-!+#,-)!+#)*!+#2!3#4!3#568T()*/F!+#+A,Q()*!+#,-)!+#)*!+#2!3#4!3#568T/RF!+#+.1-0.+-)!+#2!3#4!3#568)!+#/3#56,;!+#7.<!01/+!+#2!3#4!3#56,/+.*!+8-即(!+#,-*!+#8A,Q)S+13#56,;!+#)!#Z.<!01+/+!#-0()*!+#)!+#,)!+#2!3#4!3#561*

11、E/+-.!+#2!3#4!3#56,/+.*!+8-(!+#,-*!+#8A,Q)S+13#56,;!+#)!#B.<!01+/+-引理设>分别是方程!和方程!的非平凡解B!#!#A#!#_!08b#3)+(+aA若>的定义同!#de_f#g#Z则下面不等式成立#Bc332!30a8b#庄容坤二阶非线性椭圆型微分方程解的振动比较定理)1$)("!#$%&#%&(#%&,%-.%-/0(#%&%!$!$3""(!"+)&)*2%&,%-.%-/0(+&*-/0(!*>%1+&

12、amp;")%&(=!#$%&=""(5$%&4&)12("?(")%!$!$#"(!"%&)2%"A"定义函数集B%DFG%HI1D2J#%KAD%F#%FALCE#&CE&#CE引理M设#是方程%的非平凡解D若N%HB%DD%"%OADHPFGH&CEN-1CDE25的定义同%RSSRELDTU则下面不等式成立-,%-QJC1(#%&,%-.%-/02$3%&,%-.%-/0(+&&)*#%&am

13、p;>%-/0(#$%&U*4&)+&"(5$%&=)%""引理)引理V的证明与引理"类似D故略去不证U由引理"D(引理V立即可得如下结论U定理W设#是方程%的振动解D为#的零点集D即#%VGL%FA且5XY时C&C&C555总有C使得XYU若对任意的C3CDZCDA5*G1C5C5="!%&()$%&="(5#4&2*1&)>%-/0(?%&#%&/&ZA+2L%")成立D则方程%是振动的U&quo

14、t;若不然D不失一般性设方程%存在非平凡解N使N选取C"%ZADHPD-1CD=Y5则C时N式成立U对%式从C积分D得ZCDRSSRC%ZA则由引理"知%-55="5到C5="证*1C5C5="C5C5=")!#$%&#%&(#%&,%-.%-/0/&3+&*2$%&,%-.%-/0(*-/0(?%&#%!%&(#$%&=*/*G11>%2&4&2L&+&C5="C5)"(5+&&=$%&a

15、mp;/)%"V由假设D式的左边应为%"V*C5C5="%&,%-.%-/0(+&*&=$%&/)*G1C5C5="!%&()$%&="(5#4&2-/0(?%&#%/*>%12&L&ZAD+&但由已知条件知%的右边为"V*1C5C5=")!#$%&#%&(#%&,%-.%-/0/&F+&*2$!#$%&#%&(#%&,%.%-/0*-12)+&C5="

16、;C5FADGPi高校应用数学学报j辑第GK卷第G期*产生矛盾!这说明方程"的每一个非平凡解%在至#$"$./012)3443)5&&&()+)-*,#*,#少有一个零点!注意到4从而%的零点集无界+于是方程"是振动的!46)+07+"$#$&*&*推论8设方程"是振动的!若9$:"$6"&$CD6E"$+;0()+,F$#?*+BA>成立+且在(的任意子区间上等号不恒成立+则方程"是振动的!+,F$#$)利用引理G引理9定理9的证法与定理#类似+故略

17、去不证H+!下面的定理G+定理I设J是方程"的振动解+为J的零点集+即J"$9$/5"$"$.K且*LF时););)*G若对任意的)总有)使得LF+"$0M"(+,F$+$H6)+N)+:;)1#K*/()*)*,#:"$?#GO"$,#?*J>-&$CD?:B"(A;#?#E?#G":O:O$OJ"$C;NKH#?:#G成立+则方程"是振动的!#$G推论I设方程"是振动的+若9$"$0M"(+,F$+$H:;)1#-5"

18、#P$:"$6#?#?#"&$CD6:E,":O:O$O+;0()+,F$#?:#?*+BAG>S)成立+且在(的任意子区间上等号不恒成立+则方程"是振动的!+,F$#$)定理Q若对任意的R6)存在S使+N)6R及J"$0T"+$;)SK(A;GJ"$B"&$CD?GO"$C;NK#?*J>-"#U$成立+则方程"是振动的!#$推论Q若对任意的R6)存在S使+N)6R及J"$0T"+$;)SKGJ"$B"&$C

19、D6A;GO"$#?*J>成立+且在(的任意子区间上等号不恒成立+则方程"是振动的!+-#$)S若条件"替换为如下条件W$V9X"0M"+$+"$NK且Y"$Z6>NK对所有%KVY11%Y%9$则类似结论仍然成立!引理设%分别是方程"和方程"的非平凡解+若%"$+"$#$9$"$K+0+&J;&&()+,F$令则下面不等式成立:JO"$J"$?J"$&$b"&$CD6"(-

20、GA;O"&$."_%$"&$+%"$"&$b"&$CD?A;(:"$?GJO"$,#?*;-(A;"#a$O",GG>B"&$CD?E"$J"$H-"#h$庄容坤Z二阶非线性椭圆型微分方程解的振动比较定理/YX/引理!设"分别是方程#和方程#的非平凡解+,#%&#%)%*%#%-.#0&23%&$(1)若"的定义同#则有%5#%67&-8&#%):%

21、&4$9$01&23%/,;#(%#(%<#(%9#$%?#$%A<)>(=/<)#(%#,;,;%;)<,)C/B#(%9#$%?#$%A<>(=M#$%A<,=L0>()/#(%<);#(%2)<D;#(2,(/0B<)N<<)/#,;,;%;)<,)#(%5/B#)O%D引理P设是方程#的非平凡解&若"#%-Q#&%&#%)%#%67&-8ST-4(1R"$01&RB的定义同#UVUUVRW&#%):%+则下面不等式

22、成立1$9$0/<#(%9#$%?#$%A;C>(=B#(%9#$%?#$%A<>(=;#(2/#(%LM#$%A<>(=/;#(%5)<D(#)X%由引理Y<引理:立即可得如下结论Z定理设是方程#的振动解&为的零点集&即#%#%#3时1*%TW%S7且D(11DDD总有1使得3+若对任意的1&1&C17D=T01D1D2),#(%</;#(%2)<D(B=0(/LM#$%<N#(%#(%(7>BW#/7%成立&则方程#是振动的+)%推论设方程#是振动的+若*%,#(%CM#$%AC

23、N#(%&(-01&23%)<D&L>(=成立&且在0的任意子区间上等号不恒成立&则方程#是振动的+&23%)%1定理!设是方程#的振动解&为的零点集&即#%*%TW#%#%S7且D3时1(1(1DDD/若对任意的1总有1使得3&#%-.#0&23%&%5C1&1&,(14)7D=T01D1D2),#(%<)/;#(%2)<D(B=0>(<)LM#$%A<,N<)<)/#,;,;%;#(%(7)<,)/成立&则方程#是振动的

24、+)%/推论!设方程#是振动的&若*%#%-.#0&23%&%5,(14)BW#/)%,#(%C)<D&L(=>(R1<)LM#$%AC,N2)<)#,;,;%;&(-01&23%)<,)/成立&且在0的任意子区间上等号不恒成立&则方程#是振动的+&23%)%1定理P若对任意的C1存在R使&1C及#%-Q#&%(1R7=0=>(/#(%LM#$%A</;#(%(7)<D(B#/%成立&则方程#是振动的+)%/o%高校应用数学学报l辑第/%卷第/期推论!

25、若对任意的"#$存在使&($#"及)*,-.*&,+$%/)*+,23*4,56#1+0/<*+,&+-=$&>?,%9:;)+成立&且在=的任意子区间上等号不恒成立&则方程*是振动的A&9,$参考文献B=9C&Q=QBDEFGHIJKL5DMHNKOPREEDSTDUVGKTDGEIDWWNKNMTDGERXLGTDYMZYWPNUYM5K5NKONYK_&9bcdQPSDMHNKaNKEGH=/e&&LfgDTDMHeDMHhYMHiGMMGZijSTYTDUUKDTNK

26、DGWYKGZNUYM5YK5NKNEEDSTDU5DWWNKNMTDGENXLGTDYMZ=Q&/%/&9c*m,Bd/dd/bQklMMYWIDWWRXZ技巧与半线性椭圆型微分方程的振动性=数学年刊l辑&=d徐志庭QQ/%d&/mBopooqmQnDUUGTDk=mVDUYMNQPLDrGEYKDNUUNsDYMGED5DLMSGKGjNTKY5GULD5DSNM5LMtNXLGsDYMN5DWWNKNMsDGENEDMNGK=Q&9b%b&99B99m9QYK5DMGKDG5NEZNUYM5tYK5DMNklMMPULYEGOYKjPLSVDZG=ok&=QGKYZkuLZGMYJ&YZgD5GOQvYKUN5ZLSEDMNGKYZUDEEGTDYMrDGVDUYMNtZD5NMTDTiklUTGGTg&/%&pbB9%q99dQwMDrxYjNMDGM=pk&=QGKYZkuLZGMYJQlVDUYMNTiSND5NMTDTiWYKZNUYM5YK5NKgGEWEDMNGK5DWWNKNMTDGENXLGTDYMZk&9bbb&pcB9dq9o9QlUTGGT