图形的旋转2014师培优竞赛新方法

1、 图形的旋转【知识纵横】在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一定的角度，这样的图形变换称为旋转，这个定点叫旋转中心，转动的角度叫旋转解。旋转变换不改变图形的形状和大小。通过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同的方向转动同样大小的角度。旋转变换前后的图形有下列性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角；（3）对应线段相等，对应线段的夹角等于旋转角，对应线段的垂直平分线都经过旋转中心。【例题求解】【例1】 （上海市中考）如图，在RtABC中，已知C=900 ，B=500 ，点D在边BC上，BD=2CD，把ABC绕着点D逆时针旋转 m（0<

2、 m<180）度后，如果点B恰好落在初始RtABC的边上，那么m= 。思路点拨：因B点所落的边未确定，故需分类讨论。【例2】（全国初中数学竞赛）如图，P是等边ABC内部一点，APB、BPC、CPA的大小之比是5：6：7，则以PA、PB、PC为边的三角形的三个角的大小（从小到大）之比是（ ） A、2：3：4 B、3：4：5 C、4：5：6 D、不确定思路点拨：由于PA、PB、PC没有构成三角形，所以需要作辅助线构造以它们为边的三角形，不妨实施旋转变换。【例3】如图，在RtABC中，AB=AC=2，BAC=900 。将直角三角板EPF的直角顶点P放在线段BC的中点上，以点P为旋转中心，转动三

3、角板并使三角板的两直角边PE、PF分别与AC、AB相交于点N、M，连MN、AP，交于D点。（1）求证：PN=PM；（2）设线段AM的长为x，PMN的面积为y，求y与x的函数关系式。（3）当三角板旋转到= 时，求AM的长。思路点拨：（1）从探寻BPM与APN入手；（2）SPMN=S四边形ANPM-SAMN；（3）可证明=。【例4】（广州市中考）已知在RtABC中，AB=BC，在RtADE中，AD=DE，连接EC，取EC中点，连接DM和BM。（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图，求证：BM=DM且BMDM；（2）如图中的ADE绕点A逆时针转小于450的角，那么（1）中的结论是

4、否仍然成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明。【例5】如图，已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为+，求此正方形的边长。分析：【费马点问题：到每个顶点距离之和最小的点】本例是费马点相关的问题的变形，解题的关键是确定最小值时E点的位置，通过旋转变换，把EA、EB、EC连接起来。【学历训练】A组1、（上海市中考题）如图，已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE=2，EC=1，把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为 。 (1题) (2题) (3题) (4题)2、（青岛市中考题）如图，P是正ABC内一点，且PA=6，PB=8，P

5、C=10，若将PAC绕点A顺时针旋转后，得到PAB，则点P与P之间的距离为 ，APB= 。3、（河南省中考题）如图，将ABC绕点C（0，-1）旋转1800得到ABC，设点A的坐标为（a，b），则点A的坐标为（ ）A、（-a，-b） B、（-a，-b-1） C、（-a，-b+1） D、（-a，-b-2）4、（2014.江西抚州）如图，两块完全相同的含300角的直角三角板ABC和ABC重合在一起，将三角板ABC绕其顶点C按逆时针旋转（00<900），有以下四个结论：当=300，AC与AB的交点恰为AB的中点；当=600，AB恰好经过B点；在旋转过程中，存在某一时刻使得AA=BB；在旋转过程中

6、，始终存在AA BB。其中所有正确结论的序号是 。5、（2014.江苏苏州）如图，AOB为等腰三角形，顶点A的坐标为（2,）,底边OB在x轴上。将AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得AOB，点A的对应点A在x轴上，则点O的坐标为（ ）A、（，） B、（，） C、（，） D、（，4）6、（2014.河北省）如图在ABC中，AB=AC，BAC=400 ，将ABC绕点A按逆时针方向旋转1000得到ADE，连接BD、CE交于点F。（1）求证：ABDACE；（2）求ACE的度数；（3）求证：四边形ABFE是菱形。7、（2011.黑龙江）在正方形ABCD边AB上任取一点E，作EFAB交BD于点F，取F

7、D中点G，连接EG、CG，如图易证EG=CG且EGCG. （1）将BEF绕点B逆时针旋转90°，如图 ，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想.（2）将BEF绕点B逆时针旋转180°，如图，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明.8、（山东临沂市中考）如图，矩形ABCD中，ACB=300 ，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC、BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别与边AB、BC所在的直线相交，交点分别为E、F。（1）当PEAB，PFBC时，如图，则的值为 。（2）现将三角板绕点P

8、逆时针旋转（0< <60）角，如图，求的值。（3）在（2）的基础上继续旋转，当60< <90，且使AP：PC=1：2时，如图，的值是否变化？证明你的结论。B组9、如图，边长为2的正方形ABCD的对角线交于点O，把边BA、CD分别绕点B、C同时逆时针旋转600，得四边形ABCD，下列结论：四边形ABCD为菱形；S四ABCD=S正方形ABCD；线段OD的长为-1。其中正确的结论有（ ）A、0个； B、1个； C、2个； D、3个。10、（天津市中考）在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点A（3，0）B（0，4），以点A为旋转中心，把ABO顺时针旋转，得ACD，记旋转角为，

9、ABO为。（1）如图，当旋转后点D恰好落在AB边上时，求点D的坐标；（2）如图，当旋转后满足BC/x轴时，求与之间的数量关系；（3）当旋转后满足AOD=时，求直线CD的解析式。11、（2014.重庆市）如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=，AEBD，垂足是E，点F是点E关于AB的对称点，连接AF、BF。（1）求AE和BE的长；（2）若将ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿着BD方向所经过的线段长度）。当点F分别平移到线段AB、AD上时，直接写出相应的m的值；（3）如图，将ABF绕点B顺时针旋转一个角（0< <180），记旋转中的ABF为ABF，在旋转过

10、程中，设AF所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q。是否存在这样的P、Q两点，使DPQ为等腰三角形？若存在，求出此时DQ长；若不存在，请说明理由。家庭作业1、（2014.山东泰安）如图，在平面直角坐标系中，将ABO绕点A顺时针旋转到AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上。再将AB1C1绕点B1顺时针旋转到A1B1C2的位置，点C2在x轴上。将A1B1C2绕点C2顺时针旋转到A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去若点A（，0），B（0，4），则点B2014的横坐标为 。2、（2014.湖南衡阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点M0的坐标为（1，

11、0），将线段OM0绕原点O逆时针方向旋转45°，再将其延长到M1，使得M1M0OM0，得到线段OM1；又将线段OM1绕原点O逆时针方向旋转45°，再将其延长到M2，使得M2M1OM1，得到线段OM2；如此下去，得到线段OM3，OM4，OM5，根据以上规律，请直接写出OM2014的长度为_3、（黑龙江齐齐哈尔）如图在RtABC中，AB=AC，点D为BC中点，MDN=900 ，MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点，下列结论：BE+CF=BC；SAEFSABC；S四边形AEDF=ADEF；ADEF；AD与EF可能互相平分。其中正确结论个数是（ ）A、1个； B、2个； C、3个； D、4个。4、（2011.义乌）如图，在等边ABC中，点D 是边AC中点，点P是线段DC上的动点（点P与点C不重合），连接BP.将ABP绕点P按顺时针方向旋转角（0180），得到A1B1P，连接AA1，射线AA1分别交射线PB、B1B于点E、F.（1）如图，