实数的概念及开平方

1、第一讲 实数的概念与数的开方教学目标1. 理解实数,无理数，有理数等的概念，掌握其分类，明确什么样的数是无理数,什么样的数是有理数2. 理解平方根,算术平方根,立方根的概念,掌握平方根,立方根的性质,及被开方数有意义的条件,会求常见数的平方根与立方根 3. 理解n次方根的意义,根据平方根，立方根的性质理解掌握n次方根的性质4. 理解开平方与平方，开立方与立方是互逆的运算，根据性质会解决相关题目的推理，化简与计算教学重点1. 实数的分类，无理数的常见形式2. 平方根，算术平方根，立方根，n次方根的概念与性质3. 运用概念和性质，通过典型题目，提高学生分析问题解决问题的能力教学难点1. 让学生深刻

2、理解知识并能熟练应用知识2. 提高学生分析问题解决问题的能力教学方法建议总结归纳，启发透导,讲练结合,巩固优化知识梳理一 实数的概念 1无理数定义:无限不循环的小数叫做无理数。分类:可分为正无理数和负无理数。说明:无理数应同时满足三个条件:(1)是小数;(2)是无限小数;(3)不循环.常见三种表现形式：（1）带根号但开方开不尽的数，如等，但就不是无理数； （2）特定意义的数,如类，等都是无理数； 无理数和有理数的区别:任何一个有理数都可以写成的形式,其中a,b都是整数，且b0，而无理数不能写成这种形式。有限小数和无限循环小数与的形式可以互化，因而它们都是有理数。2.实数的定义 有理数和无理数统

3、称为实数3.实数的分类 根据实数的定义分类：实数 根据实数的符号分类： 实数4实数与数轴上点的对应 数轴：规定了原点，正方向，单位长度的直线。 对应关系：实数与数轴上的点一一对应。说明：（1）直线是可以向两方无限延伸的，故不存在最大实数，也不存在最小实数；（2）线成点，在一条直线上不同的两个点之间还有无数个点，所以两个不同整数或无理数之间有无数个实数。（3）数和点的对应可看作是最简单的数形结合。5绝对值，相反数，倒数绝对值：一个实数的绝对值就是指数轴上表示这个实数的点到原点的距离，距离是非负的，因而绝对值是非负数。即具体表示为：说明：（1）两个正数中，绝对值大的数则大，两个负数中绝对值大的数反

4、而小； （2）绝对值是非负的，但它可能等于-a（当a<0时），带负号不一定是负数。相反数：如果两实数a,b满足a+b=0，那么a与b互为相反数，反之亦然。互为相反数的两个数绝对值相等 .倒数：如果两个实数a和b满足a.b=1，那么a与b互为倒数，零没有倒数。注意：相反数是它本身的数是0；倒数是它本身的数是±1；绝对值是它本身的数是非负数。二 数的开方1开平方（1）平方根定义:如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根(或二次方根),即如果,x2=a那么x就叫做a的平方根.注意:(1)一个实数的平方都是非负的,所以a0,即被开方数0.(2)a的平方根记作±,其中根

5、指数2是省略的，表示a的正的平方根又叫做算术平方根,表示a的负的平方根。(3)一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0有一个平方根,是它本身;负数没有平方根.（4）9的平方根和的平方根是不一样的（2）平方根与算术平方根的区别平方根算术平方根定义如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，零的算术平方根是零表示±（a0）(a0)区别正数的平方根是一对相反数正数的算术平方根是一个正数联系±中a的取值范围为非负数；正数a的正的平方根就是a的算术平方根，正数a的负的平方根是a的算术平方根的相反数；0的平方根是0中a的取值范围为非负数；正数a的

6、算术平方根是a的一个平方根（正的平方根）；0的算术平方根是0（2）开平方及其与平方的关系求一个数的平方根的运算,叫做开平方;平方与开平方互为逆运算。注意:当a0时, a 的平方是a2 a的平方根是± a的算术平方根是的平方根是± 看清题目问的是什么。2开立方立方根 定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，也叫做三次方根，记作，读作三次根号a，其中a叫做被开方数，3叫做根指数。注意：（1）任何实数都有唯一确定的立方根；（2）正数的立方根是一个正数；负数的立方根是一个负数；0的立方根是0。（2）开立方与立方的关系求一个数的立方根的运算,叫做开立方;立方与开立方互

7、为逆运算。3 立方根与平方根的区别和联系区别：（1）开平方时根指数2可以省略不写，但对于开立方，根指数3是不能省的。（2）一个正数的平方根有两个，但立方根却只有一个；负数没有平方根，却有立方根，任何实数都有一唯一的一个立方根。相同：0的平方根和立方根都是0本身。4 n次方根 定义：如果一个数的n次方（n是大于1的整数）等于a，这个数就叫做a的n次方根，当n为奇数时，这个数为a的奇次方根；当n为偶数时，这个数为a的偶次方根。注意：（1）正数的偶次方根有两个，它们互为相反数；正数的奇次方根有一个且只有一个，是正数，负数的奇次方根有一个且只有一个，是负数；零的n次方根仍是零。（2）n为偶数时性质类似

8、平方根，n为奇数时性质类似立方根。三 例题精讲例1 1.414, ，,0.020020002,0.20302, 中哪些是有理数，哪些是无理数？ 选题意图：本题主要考察无理数的概念，同时复习有理数的概念。解析：判断一个数是无理数还是无理数必须按定义来分，无限不循环小数是无理数，知道它的常见表现形式，抓住它的本质，无限小数，带根号的不一定是无理数，；有理数包括整数和分数，但有分数线的也不一定是分数。答案：有理数包括整数和分数，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数，都是开方开得尽得数，所以1.414,0.20302, 都是有理数；，所以它们都是无理数。针对训练 在，0.1213141516中，

9、无理数是_.例2 下列命题中正确的个数有( )实数不是无理数就是有理数（2）不带根号的数一定是有理数（3）无理数数可以分为正 无理数和负无理数（4）有理数可以分为正有理数和负有理数（5）无理数一定是无限不循环 小数A 2 B 3 C 4 D 5出题意图：考查实数，有理数，无理数的分类解析：实数分为有理数和无理数，故（1）对；不带根号，但其为无理数，故（2）错；按符号分（3）对，（4）不对，0是有理数，0既不是正数也不是负数；据定义（5）对。故选B。答案：B针对训练 下列语句错误的是（ ）（A）正整数，0，负整数统称为整数（B）整数与分数统称为有理数（C）开方开不尽的数和统称为无理数（D）有理数

10、，无理数统称为实数例3求下列各式的值（1）1.69的平方根 (2) (3) (4)的算术平方根选题意图：考查平方根，算术平方根的概念及常见数的平方。解析：（1）最好记住120各整数的平方，这样才能熟练求出一些特殊数的平方根（2）看清题问的是什么，算术平方根还是平方根，a的还是的（3）对于正的平方根,被开数扩大100倍,平方根就扩大10倍,反之缩小100,平方根就 缩小10倍.答案：解：（1）因为(±1.3)2=1.69,所以1.69的平方根是±1.3。(2)因为122=144，112=121，所以=(3)因为（0.04）2=0.0016,所以=±004(4),3的

11、算术平方根是，所以的算术平方根是3。针对训练 求（1）256的平方根（2）的算术平方根例4 若与互为相反数，求的值。选题意图：该题既考查了相反数与绝对值的性质，又通过非负数相加和为零，每一项都为零这一结论增强了学生思维能力。解析：由互为相反数可知其和为0，又因为两数都大于等于0，所以只有同时都为零，才能使其和为0。解：与互为相反数+=0又x=1000,y=1003答案：-1002针对训练 已知，求的平方根。例5 已知x,y是实数，且， 求的值。选题意图：考查被开方数必须大于0的性质.解析：要求x-3y的值，必须知道x,y的值，一个等式求两正个未知数的值，不可能,肯定还有隐含条件。看到含有字母的

12、二次根式，就要想被开方数0，确定字母的取值范围，由此不难得出 x2=3.解：-30,3-0=3,=± =±答案：± 针对训练：若，求 的立方根例6已知x是满足不等式2的非负整数,y是5-的小数部分,求(4的4次方根。选题意图：考查绝对值，无理数的性质，如何确定无理数的整数和小数部分，及n次方根。解析：要求结论必须知道x,y；由不等式确定x值；确定无理数的小数部分一般先确定其整数部分，确定整数部分把无理数平方看其介于哪两个相邻整数之间。解：2又又x是非负整数x=0，或1,又5-的整数部分是1y是4xy=0或4(4的4次方根是0或答案：0，针对训练 若x为正整数，为整

13、数，试问式子是否存在最大值，若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由。四 优化作业基础训练题（A）1数3.14，0.323232，中，无理数的个数为（ ）（A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）5个2下列说法中正确的是（ ）（A）4是8的算术平方根 （B）16的平方根是4（C）是6的平方根 （D）没有平方根3若，则（ ）（A）-0.7 （B）±0.7 （C）0.7 （D）0.494的平方根是（ ）（A）6 （B）±6 （C） （D）5一个数的平方根是它本身，则这个数的立方根是（ ）（A） 1 （B） 0 （C） -1 （D）1，-1或06的值是（ ）（A） 是正数 （B

14、） 是负数 （C） 是零 （D） 以上都可能7下列说法中，正确的是（ ）（）27的立方根是3，记作=3 （B）-25的算术平方根是5（C）的三次立方根是 （D）正数的算术平方根是8 下列各式中错误的是（ ）（A） （B）（C） （D）99的算术平方根是_，的平方根是_10若有意义，则_11当_时，根式有意义12请你观察、思考下列计算过程：因为，所以，同样，因为，所以由此猜想=_13求下列各数的平方根：（1） （2） （3）14计算：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）15解方程：（1）； （2）； （3）16将半径为12cm的铁球融化，重新铸造出27个半径相同的小铁球，如不

15、计损耗，小铁球半径是多少cm？（提示：球的体积公式为）提高训练题（B）1.平方根等于本身的数是_；算术平方根等于本身的数是_；立方根等于本身的数是_2如果_3如果0a1，化简|a|a1|_4当x_时，0，当x_时，式子有意义5如果（x6）2|y2|0，那么（x1）2（y2）2（z3）2的四次方根是_6满足x的整数x 是_7正方体的体积是216 cm3，则它的表面积是_cm2 8a，b为实数，则代数式（ab）2|a|的值（ ）（A）大于0 （B）大于或等于0 （C）小于0 （D）等于09一个正数的正的平方根是m，那么比这个正数大1的数的平方根是（ ）（A）m21 B.± （C） （D）

16、±102成立的条件是（ ）（A）n 是偶数 （B）n 是大于1的自然数 （C）n 是大于1奇数 （D）n 是整数11已知A是a2的算术平方根，B是2b的立方根求3A2B 的立方根12已知yx2求的值综合迁移题（C） 1若，则_2已知为ABC的三边，则化简_3.已知a,b为实数,且,求的值优化作业答案:针对训练1. 无理数有，2. C3. （1） ±16（2）0.14. ，它们的和为0，所以，所以x=-3,y=5=64,故其平方根为±85. =±2又-20=-2,=4=8，它的立方根是26. 解答：14-x0x是不大于的正整数又是整数，14-x是014间的完全平方数，它们是0，1，4，9，当14-x取最大值9时，相应的值也最大，即当x=14-9=5时，相应的=3最大。故当x=5时，有最大值，最大值是3.基础题(A)1. B ;2. C; 3. B;4. D; 5. B; 6. D; 7. D; 8. D;9.3, ;10. 1;11. ;12. 111111111;13. (1) (2) (3);14. (1)