多维随机变量习题解析

1、第三章 多维随机变量及其分布1.设二维随机变量(x，h)只能取下列数组中的值： (0，0)，(-1，1)，(-1，1/3)，(2，0)。且取这些组值的概率依次为1/6，1/3，1/12，5/12，求表示这二维随机变量的联合分布律的矩形表格。 解：由题设可得(x，h)的联合分布律如下： h x01/31-101/121/301/60025/12002.一口袋中装有三个球，它们依次标有数字1，2，2。从这袋中任取一球，不放回袋中，再从袋中任取一球。设每次取球时，袋中各个球被取到的可能性相同。以x，h分别记第一次、第二次取得的球上标有的数字，求(x，h)的联合分布律。解：(x，h)的可能性取值为数对

2、(1，2)、(2，1)、(2，2)，先计算取每一数对的概率： P(x，h)=(1，2)=(1/3)´1=1/3； P(x，h)=(2，1)=(2/3)´(1/2)=1/3； P(x，h)=(2，2)=(2/3)´(1/2)=1/3；将上述结果列表如下：h x12101/321/31/33.一整数n等可能地在1，2，3，10十个值中取一个值，设x=x(n)是能整除n的正整数的个数，h=h (n)是能整除n的素数的个数(注意：1不是素数)，试写出x和h联合分布律。解：依题意有： n：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x(n)：1 2 2 3 2 4 2 4 3

3、 4 h(n)：0 1 1 1 1 2 1 1 1 2因此x=1，2，3，4；h=0，1，2。由此易求得x和h联合分布律为： h (n) x (n)123401/10000104/102/101/1020002/104.设随机变量(x，h)的联合概率密度为 (1)确定常数k； (2)求；(3)求； (4)求。解：(1) 由概率密度的性质知： ,即 8k=1 k=1/8;(2) ;(3) ;(4)。5.设二维随机变量(x，h)的联合分布函数为： 试求(1)联合概率密度f(x，y)；(2)。解：(1) (2)P0<x1，0<y1=F(1，1)- F(1，0)- F(0，1)+ F(0，

4、0)=0.444。6.在第2题中，若改为袋内装有号码是1，2，2，3的4个球，其它假设不变，求(x，h)的联合分布律和边际分布律。解：x、h的取值均为1，2，3，因而( x，h)的可能取值为 (1，2)、(1，3)、(2，1)、(2，3)、(3，1)、(3，2)。由此可算得Px=1，h=2=(1/4)´(2/3)=1/6，类似地可计算( x，h)取其他值的概率，列表如下： h x123101/61/1221/61/61/635/151/607.已知在有一级品2件，二级品5件，次品1件的口袋中，任取其中的3件，用x表示所含的一级品件数，h表示二级品件数。试求：(1)( x，h)的联合分

5、布律；(2)关于x和关于h的边际分布律；(3) 。解：(1)显然x的可能取值为0，1，2；h的可能取值为0，1，2，3。计算相应的概率为，类似地，可计算其它概率，列表如下(含边际分布列)： hx0123x的边际分布列00010/5610/5620/561010/5620/56030/5621/565/56006/56h的边际分布列1/5615/5630/5610/561 (1)因0=Px=1，h=1Px=1´Ph=1=(20/56)´(1/56)，故x、h不独立。 (2)Px<1.5，h<2.5= Px=0，h=0+ Px=1，h=0+ Px=0，h=1+ Px

6、=1，h=1+ Px=0，h=2+Px=1，h=2=40/56； (3)Px2=1，Ph<0=0。8.已知二维随机变量(x，h)的联合概率密度为 试确定待定系数c，并求关于x、h的边际概率密度。解：确定常数c.由 = 即得当0x,y/4时,有 因,且,故 于是显然当及时,因有于是 由对称性易知 9.设二维随机变量(x，h)在区域G上服从均匀分布，其中 试求(x，h)的联合概率密度及x和h的边际概率密度。解：从图(图略)易知G的面积，因此(1)联合分布函数为(2)(3)10.已知x服从参数p=0.6的(0-1)分布，且在x=0及x=1下，关于h的条件分布分别如下表表示：h 1 2 3h 1

7、 2 3Ph|x=0 1/4 1/2 1/4Ph/x=1 1/2 1/6 1/3求二维随机变量(x，h)的联合概率分布，以及在h1时关于x的条件分布。解：显然(x，h)的可能取值为(0，1)、(0，2)、(0，3)、(1，1)、(1，2)、(1，3)。利用条件概率可求得联合分布律如下： h x12300.10.20.120.30.10.2例如，Px=0，h=1= Px=0Ph=1|x=0=0.4´(1/4)=0.1,其它类似。 (2)Px=0|h1=； Px=1|h1=。因此，h¹1时关于x的条件分布为x01p0.50.511.在第2题中的两个随机变量x与h是否独立？当x=

8、1时，h的条件分布是什么？解：不独立；因为Ph=2|x=1=1，而Ph=2·Px=1=(2/3)·(1/3)Ph=2|x=1。 。12.设二维随机变量(x，h)的联合概率密度为 试求(1)条件概率密度 。解：(1)因为故 ；(2)由于 故 .13.设随机变量(x，h)的概率密度为 求条件概率密度。 解： 当0<x<1时 当-1<y<1时。14.已知相互独立的随机变量x，h的分布律为：x01h0123p0.70.3p0.40.20.10.3试求：(1)( x，h)的联合分布律； (2)=x+h的分布律。 解：(1)由题设可知。由此可得( x，h)的联合

9、分布律为 h x012300.280.140.070.2110.120.060.030.09(2) =x+h的取值为0，1，2，3，4。因此可得P=0=Px=0，h=0=0.28， P=1=Px=0，h=1+Px=1，h=0=0.14+0.12=0.26。类似可求取其它值的概率，列表如下：x+h01234p0.280.260.230.240.0915.设x和h是两个独立的随机变量，x在0，1上服从均匀分布，h的概率密度为 (1)求x和h的联合概率密度； (2)设含有a的二次方程为a2+2xa+h=0，试求a有实根的概率。 解：(1)x 在(0，1)上服从均匀分布 且 又x和h相互独立 (2)若

10、二次方程a2+2xa+h=0有实根，必须4x2-4h0，因而所求概率为 16.设(x，h)的联合概率密度为 ，(1)求待定系数k；(2)求关于x和关于h的边际概率密度；(3)判定x，h的独立性 。解：(1)因为 ，故有 ；因此。(2) ，类似地，可求得 (3)因为 ，故x与h相互独立。17.如果x，h的联合分布律用下列表格给出：(x，h)(1，1)(1，2)(1，3)(2，1)(2，2)(2，3)p1/61/91/181/3那末、取什么值时，x，h才相互独立？解：因所给的联合概率分布表中第一行的概率元素不含待定常数,易求得边缘分布: p1.=P(X=1)=1/6+1/9+1/18=1/3.又由

11、独立性,可求得另一随机变量Y的边缘分布: p(Y=1)=P(X=1,Y=1)/P(X=1)=(1/6)/(1/3)=1/2, p(Y=2)=P(X=1,Y=2)/P(X=1)=1/3, p(Y=3)=P(X=1,Y=3)/P(X=1)=1/6.又 p(X=2)=P(X=2,Y=1)/P(X=1)=(1/3)/(1/2)=2/3,于是 =P(X=2,Y=2)=P(X=2)P(Y=2)=(2/3)×(1/3)=2/9; =P(X=2,Y=3)=P(X=2)P(Y=3)=(2/3)×(1/6)=1/9.18.设二维随机变量(x，h)的联合分布律为： hx-2-10-11/121/

12、123/121/22/121/12032/1202/12试求(1) x+h；(2) x-h；(3) x2+h-2的分布律。解：(1)x+h的可能取值为-3，-2，-1，-3/2，-1/2，1/2，1，2，3。其概率Px+h=-3=Px=-1，h=-2=1/12，Px+h=-2=Px=-1，h=-1=1/12，类似地可求得x+h取其它值的概率，列表如下：.x+h-3-2-1-3/2-1/213p1/121/123/122/121/122/121/12 (2) 类似地可求得x-h的分布律如下：x-h-1013/25/235p3/121/121/121/122/122/122/12 (3) x2+h

13、-2的分布律如下：x2+h-2-15/4-3-11/4-2-157p2/121/121/121/123/122/122/1219.已知，x与h独立。试确定a，b的值；并求出(x，h)的联合分布律以及x+h的分布律。解：因x，h独立,故 P(x=k, h=-k)= P(x=k)P(h=-k)=ab/k(k)2(k=1,2,3,k=1,2,3).显然(x，h)的所有可能取值为(1,-1),(1,-2),(1,-3);(2,-1),(2,-2),(2,-3);(3,-1),(3,-2),(3,-3),故 hx-1 -2 -3pi. 1 2 3ab ab/4 ab/9ab/2 ab/8 ab/18ab

14、/3 ab/12 ab/27 P1.=49ab/36 P2.=49ab/72 P3.=49ab/108 p.jp.1=11ab/6 p.2=11ab/24 p.3=11ab/54因x与h相互独立, 故pij=pi.×p.j.当i=j=1时,有p11=p1.×p.1 即ba=(6×11)×(36/49).令a=6/11,b=36/49,易验证对所有的i,j有pij= pi.×p.j (i=1,2,3;j=1,2,3).显然有pij>0,且从而a=6/11,b=36/49 即为所求.令 ab=k,=k/216, 则P(x+h=0)=P(x=1

15、, h=-1)+P(x=2, h=-2)+P(x=3, h=-3)=k+k/8+k/27=251.同法可求得x+h取其他值的概率,得其分布律为x+h-2 -1 0 1 2= P24 66 251 126 7220.已知二维随机变量(x，h)的联合概率密度为 试求待定系数A；。解：(1)因为 ,即有 ，从而A=1。(2)；(3)21.设x与h是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为： ， 试求 的概率密度。解： 因为x与h相互独立，所以 上式只当0z-y1，y>0同时成立时，fx (z-y), fh (y)才全不为0。 22.设(x，h)的联合概率密度为 试求的概率密度。解：设的分布函数

16、为F(z)=P<z。当z0时，F(z)=P，当z>0时，F(z)=P 。即 从而 的分布密度为 23.设某种型号的电子管寿命(以小时计)近似地服从N(160，202)分布。随机地抽取4只，求其中没有一只寿命小于180的概率 。解：xN(160，202) 即每只电子管寿命大于180小时的概率为0.1587。因此，随机地选取四只慢子管，寿命都大于180小时的概率为p=0.15874=0.000634。24.对某种电子装置的输出测量了5次，得到的观察值x1，x2，x3，x4，x5。设它们是相互独立的随机变量且都服从参数=2的瑞利(Rayleigh)分布，即概率密度为： 的分布。(1)求h1=max(x1，x2，x3，x4，x5)的分布函数；(2)求h2=min(x1，x2，x3，x4，x5)的分布函数；(3)计算。解：由于的概率密度函数为 因此其分布函数为 (1)因为x1，x2，x3，x4，x5相互独立，而h1=max(x1，x2，x3，x4，x5)，故有 (2)由于h2=min(x1，x2，x3，x4，x5)，故 (3)。25.设