【物理课件】第七章 量子力学的矩阵形式与表象变换

1、第七章第七章 量子力学的矩阵形式与表象变换量子力学的矩阵形式与表象变换 1 态的表象态的表象 2 算符的矩阵表示算符的矩阵表示 3 量子力学公式的矩阵表述量子力学公式的矩阵表述 4 Dirac 符号符号 5 Hellmann Feynman 定理及应用定理及应用 6 占有数表象占有数表象 7 么正变换矩阵么正变换矩阵（一）动量表象（一）动量表象 （二）力学量表象（二）力学量表象 （三）讨论（三）讨论1 态的表象到目前为止，体系的状态都用坐标到目前为止，体系的状态都用坐标(x,y,z)(x,y,z)的函数表示，也就是说的函数表示，也就是说描写状态的波函数是坐标的函数。力学量则用作用于坐标函数的算

2、符表示。描写状态的波函数是坐标的函数。力学量则用作用于坐标函数的算符表示。但是这种描述方式在量子力学中并不是唯一的，这正如几何学中选用坐标但是这种描述方式在量子力学中并不是唯一的，这正如几何学中选用坐标系不是唯一的一样。坐标系有直角坐标系、球坐标系、柱坐标系等，但它系不是唯一的一样。坐标系有直角坐标系、球坐标系、柱坐标系等，但它们对空间的描写是完全是等价的。们对空间的描写是完全是等价的。波函数也可以选用其它变量的函数，波函数也可以选用其它变量的函数， 力学量则相应的表示为作用于这种函数上的算符。力学量则相应的表示为作用于这种函数上的算符。表象：量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。以前采

3、用表象：量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。以前采用的是坐标表象，下面我们要介绍其他表象。的是坐标表象，下面我们要介绍其他表象。在坐标表象中，体系的状态用波函数在坐标表象中，体系的状态用波函数(x,t)(x,t)描写，这样一个态如描写，这样一个态如何用动量为变量的波函数描写在前面几章中已经有所介绍。何用动量为变量的波函数描写在前面几章中已经有所介绍。动量本征函数：动量本征函数：/21)(ipxpex 组成完备系，任一组成完备系，任一状态状态可按其展开可按其展开dpxtpCtxp)(),(),( 展开系数展开系数dxtxxtpCp),()(*),( 假设假设 (x,t) (x,t) 是归

4、一化波函数，是归一化波函数，则则 C(p,t) C(p,t) 也是归一。也是归一。命题命题证证dxtxtx),(),(*1 dxdpxtpCpdxtpCpp)(),(*)(),( dxxxdppdtpCtpCpp)()(*),(*),( )(),(*),(ppdppdtpCtpC dptpCtpC),(*),( （一）动量表象（一）动量表象|C(p,t)|C(p,t)| 2 2 d p d p 是在是在(x,t)(x,t)所描写的状态中，测量粒子的动量所得结果在所描写的状态中，测量粒子的动量所得结果在 p p + d p p p + d p 范围内的几率。范围内的几率。|(x,t)|(x,t)

5、| 2 2d x d x 是在是在(x,t)(x,t)所描写的状态中，测量粒子的位置所得结果在所描写的状态中，测量粒子的位置所得结果在 x x + d x x x + d x 范围内的几率。范围内的几率。(x,t) (x,t) 与与 C(p,t) C(p,t) 一一 一一 对应，描述同一状态。对应，描述同一状态。 (x,t) (x,t) 是该状态在坐标表象中的波函数；是该状态在坐标表象中的波函数； 而而 C(p,t) C(p,t) 就是该状态在动量表象中的波函数。就是该状态在动量表象中的波函数。C(p,t) C(p,t) 物理意义物理意义若若(x,t) (x,t) 描写的态是具有确描写的态是具

6、有确定动量定动量 p p 的自由粒子态，的自由粒子态，即：即： 2)(),(2/pEextxptiEpp 则相应动量表象中的波函数：则相应动量表象中的波函数：dxtxxtpCp),()(*),( dxexxtiEppp/)()(* dxxxepptiEp)()(*/ )(/ppetiEp 所以，在动量表象中，所以，在动量表象中， 具有确定动量具有确定动量pp的粒的粒 子的波函数是以动量子的波函数是以动量 p p为变量的为变量的- 函数。函数。 换言之，动量本征函换言之，动量本征函 数在自身表象中是一数在自身表象中是一 个个函数。函数。x x 在自身表象即坐标表象中对应在自身表象即坐标表象中对应

7、 有确定值有确定值 xx本征函数是本征函数是 (x-x)(x-x)。同样同样这可由本征这可由本征 值方程看出：值方程看出：)()()()(xxxxxxxxxx 所所以以那末，在任一力学量那末，在任一力学量Q Q表象中，表象中， (x,t) (x,t) 所描写的态又如何表示呢？所描写的态又如何表示呢？推广上述讨论：推广上述讨论：x, px, p都是力学量，分别对应有坐标表象和动量表象，都是力学量，分别对应有坐标表象和动量表象，因此可以对任何力学量因此可以对任何力学量Q Q都建立一种表象，称为力都建立一种表象，称为力学量学量 Q Q 表象。表象。（1）具有分立本征值的情况）具有分立本征值的情况 （

8、2）含有连续本征值情况）含有连续本征值情况（二）力学量表象（二）力学量表象（1）具有分立本征值的情况）具有分立本征值的情况设设 算符算符Q的本征值为：的本征值为： Q1, Q2, ., Qn, .， 相应本征函数为：相应本征函数为：u1(x), u2(x), ., un(x), .。将将(x,t) 按按 Q 的的 本征函数展开：本征函数展开： dxtxxutaxutatxnnnnn).()(*)()()(),(若若, un都是归一化的，都是归一化的， 则则 an(t) 也是归一化的也是归一化的。 dxtxtx).(),(*1证：dxxutaxutannnmmm)()(*)()( dxxuxut

9、atanmnmmn)()(*)()(* mnnmmntata )()(* )()(*tatannn 由此可知，由此可知，| a| an n| | 2 2 表示表示 在在(x,t)(x,t)所描述的状态所描述的状态 中测量中测量Q Q得得Q Qn n的几率。的几率。a a1 1(t), a(t), a2 2(t), ., a(t), ., an n(t), .(t), .就是就是(x,t)所描写状态所描写状态在在Q表象中的表示。表象中的表示。写成写成 矩阵形式矩阵形式 )()()(21tatatan共轭矩阵共轭矩阵 *)(*)(*)(21tatatan 归一化可写为归一化可写为 1)(*)()(

10、)()(*)(*)(*)(2121 tatatatatatatatannnnn（2）含有连续本征值情况）含有连续本征值情况例如氢原子能量就是这样一种力学量，例如氢原子能量就是这样一种力学量， 即有分立也有连续本征值。即有分立也有连续本征值。设力学量设力学量 Q Q 的本征值和本征函数分别为：的本征值和本征函数分别为：Q1, Q2, ., Qn, ., qu1(x), u2(x), ., un(x), ., uq(x)则则dqxutaxutatxqqnnn)()()()(),( dxtxxutadxtxxutaqqnn),()(*)(),()(*)(归一化则变为：归一化则变为：1)()(*)()

11、(* dqtatatataqqnnn|an(t)|2 是在是在 (x,t) 态中测量力学量态中测量力学量 Q 所得结果为所得结果为 Qn 的几率；的几率；|aq(t)|2dq 是在是在(x,t) 态中态中 测量力学量测量力学量 Q 所得结果在所得结果在 q q + d q之间的几率。之间的几率。在这样的表象中，在这样的表象中， 仍可以用一个列矩阵仍可以用一个列矩阵表示：表示： )()()()(21tatatataqn *)(*)(*)(*)(21tatatataqn 归一化仍可表为：归一化仍可表为：+= 1 量量子子力力学学 表表象象 坐坐标标系系 不不同同表表象象波波函函数数 不不同同坐坐标

12、标系系的的一一组组分分量量 u u1 1( (x x) ), , u u2 2( (x x) ), ,. . . ., , u un n( (x x) ), , . . . . i i, , j j, , k k, , a a1 1( (t t) ), , a a2 2( (t t) ), ,. . . ., , a an n( (t t) ), , . . . . A Ax x, , A Ay y, , A Az z 量量子子状状态态( (x x, ,t t) ) 矢矢量量 A A 坐坐标标表表象象 动动量量表表象象 动动量量本本 征征函函数数 p p ( (x x, ,t t) )= =

13、1 1/ /( (2 2 ) ) 1 1/ /2 2e ex xp p i i( (p p x x- -E E t t) )/ / C C( (p p, ,t t) )= =( (p p - -p p) )e ex xp p - -i iE E t t/ / 不不含含时时 动动量量本本 征征函函数数 p p ( (x x) )= = 1 1/ /( (2 2 ) ) 1 1/ /2 2 e ex xp p i ip p x x/ / C C( (p p) )= =( (p p - -p p) ) 本本征征 方方程程 p p p p ( (x x) )= =p p p p ( (x x) ) p

14、 p( (p p - -p p) )= =p p ( (p p - -p p) ) 这类似于一个矢量可以在不同坐标系描写一样。矢量这类似于一个矢量可以在不同坐标系描写一样。矢量 A A在直角坐标系由三分量在直角坐标系由三分量A Ax x A Ay y A Az z 描述；描述；在球坐标系用三分量在球坐标系用三分量A Ar r A A A A 描述。描述。 A Ax x A Ay y A Az z 和和 A Ar r, A, A , A, A 形式不同，但描写同一矢量形式不同，但描写同一矢量A A。态矢量态矢量基本矢量基本矢量同一状态可以在不同表象用波函数描写，表象不同，同一状态可以在不同表象用

15、波函数描写，表象不同， 波函数的形式也不同，但是它们描写同一状态。波函数的形式也不同，但是它们描写同一状态。（三）讨论（三）讨论波函数波函数 )()()(21tatatan是态矢量是态矢量在在Q Q表象中沿各基矢方表象中沿各基矢方向上的向上的“分量分量”。Q Q表象的基矢有表象的基矢有无限多个，所以态矢量所在的空无限多个，所以态矢量所在的空间是一个无限维的抽象的函数空间是一个无限维的抽象的函数空间，称为间，称为HilbertHilbert空间。空间。所以我们可以把状态所以我们可以把状态看成是一个矢量看成是一个矢量态矢量。态矢量。 选取一个特定力学量选取一个特定力学量 Q Q 表象表象，相当于选

16、取特定的坐标系，相当于选取特定的坐标系，u1(x), u2(x), ., un(x), . 是是 Q 表象表象 的基本矢量简称的基本矢量简称基矢基矢。（一）力学量算符的矩阵表示（一）力学量算符的矩阵表示 （二）（二）Q Q 表象中力学量算符表象中力学量算符 F F 的性质的性质 （三）（三）Q Q 有连续本征值的情况有连续本征值的情况 算符的矩阵表示算符的矩阵表示坐标表象：坐标表象：),(),(),(),(),(txixFtxpxFtxx Q表象：表象：假设只有分立本征值，将假设只有分立本征值，将, , 按按uun n(x)(x)展开：展开： )()(),()()(),(xutbtxxutat

17、xmmmmmm)()(),()()(xutaixFxutbmmmxmmm 两边左乘两边左乘 u u* *n n(x) (x) 并对并对 x x 积分积分)()(),(*)(*)(tadxxuixFudxxuutbmmxnmmnmm )()(taFtbmnmmnmmm )()(taFtbmnmmn dxxuixFxuFmxnnm)(),()(* Q Q表象的表象的 表达方式表达方式代入代入（一）力学量算符的矩阵表示（一）力学量算符的矩阵表示Q表象的表达方式表象的表达方式,2,1)()( ntaFtbmnmmn )()()()()()(2121222211121121tatataFFFFFFFFF

18、tbtbtbmnmnnmmnF 在在 Q 表象中是一个矩阵，表象中是一个矩阵， Fnm 是其矩阵元是其矩阵元=F简写成简写成写成矩阵形式写成矩阵形式写写 成成 矩矩 阵阵例例 1：求：求 Lx 在在 L2, Lz 共同表象，共同表象， =1子空间中的矩阵表示。子空间中的矩阵表示。令：令：u u1 1 = Y = Y11 11 u u2 2 = Y = Y10 10 , u, u3 3 = Y = Y1-11-1 3 , 2 , 1,*)( jiduLuLjxiijxLx矩阵是矩阵是33矩阵矩阵 1011311111021011121)(21)(21)(2121)(21YYLLuLYYYLLuL

19、YYLLuLxxx1,21)1()1()( mllmxYmmllYLLLL计算中计算中 使用了使用了 公式公式由此得由此得Lx矩阵元矩阵元(L(Lx x) )11 11 = (L= (Lx x) )22 22 = (L= (Lx x) )33 33 = 0 = 0 (L(Lx x) )13 13 = (L= (Lx x) )31 31 = 0 = 0 (L(Lx x) )12 12 = (L= (Lx x) )21 21 = (L= (Lx x) )23 23 = (L= (Lx x) )32 32 = = /2 /21/21/2 100000001zLLz在自身表象中具有最简在自身表象中具有

20、最简 单形式，是一个对角矩阵，单形式，是一个对角矩阵， 对角元素就是对角元素就是 Lz的本征值。的本征值。 同理可得同理可得Ly Lz则则 L Lx x 的矩阵元可如下计算：的矩阵元可如下计算： 000002iiiiLy 0101010102xL 000002iiii（1 1）力学量算符用厄密矩阵表示）力学量算符用厄密矩阵表示dxxuFxuFmnnm)()(* *)()(dxxuFxumn *)()(*dxxuFxunm *mnF *nmF nmF)( 所以厄密算符的矩阵所以厄密算符的矩阵 表示是一厄密矩阵。表示是一厄密矩阵。例例2 2：在例：在例1 1中给出了中给出了 L Lx x, , L

21、 Ly y在在 L L2 2, L, Lz z表象中的矩阵表象中的矩阵形式，下面我们验证一下形式，下面我们验证一下这两个矩阵是厄密矩阵。这两个矩阵是厄密矩阵。 0101010102yL 0101010102xL xL 000002iiii 000002iiii yL厄密矩阵厄密矩阵*000002 iiii*0101010102 （二）（二）Q Q表象中力学量算符表象中力学量算符 F F 的性质的性质（2 2）力学量算符在自身表象中的形式）力学量算符在自身表象中的形式)()(xuQxuQnnn Q的矩阵形式的矩阵形式nmmmnmmnnmQdxxuxuQdxxuQxuQ )()(*)()(*结论：

22、结论： 算符在自身表象中是一算符在自身表象中是一对角矩阵，对角元素就对角矩阵，对角元素就是算符的本征值。是算符的本征值。 nQQQQ0000021（1）只有连续本征值）只有连续本征值如果如果 Q Q只有连续本征值只有连续本征值q q ，上面的讨论仍然适用，上面的讨论仍然适用，只需将只需将u, a, bu, a, b的角标从可数的的角标从可数的 n, m n, m 换成连续变换成连续变化的化的 q q，求和换成积分，见下表。，求和换成积分，见下表。分立谱分立谱连续谱连续谱)()(*xuxumn，)()(tbtamn， ndq )(),(tbtaqq)()(*xuxuqq，算符算符F在在Q表象仍是

23、一个表象仍是一个矩阵，矩阵元由下式确定：矩阵，矩阵元由下式确定： dxxuixFxuFqxqqq)(),()(*只是该矩阵的行列只是该矩阵的行列是不是可数的，而是不是可数的，而是用连续下标表示是用连续下标表示（三）（三） Q Q 有连续本征值的情况有连续本征值的情况例例3 3：求坐标表象中：求坐标表象中 F F的矩阵元的矩阵元xdxxixFxxFxxx )(),()( 例例4： 求动量表象中求动量表象中 F的矩阵元的矩阵元dxxixFxFpxppp)(),()(* 要计算此积分，需要要计算此积分，需要 知道知道 F的具体形式的具体形式.pF.1 )()(ppip )(),(xxixFx dxx

24、pxppppp)()(* dxxxppp)()(* )(ppp dxxxippp)()(*)( dxxeipipxp)()(21/ dxxxepipx)(21/ dxxxxxpppp)()(* xF .2（一）平均值公式（一）平均值公式 （二）本征方程（二）本征方程 （三）（三）SchrodingerSchrodinger方程的矩阵形式方程的矩阵形式3 3 量子力学公式的矩阵表述量子力学公式的矩阵表述坐标表象平均值公式坐标表象平均值公式dxtxFtxF),(),(* 在在Q表象中表象中 )(*)(*),(*)()(),(xutatxxutatxnnnnnndxxutaFxutaFnnnmmm)

25、()()(*)(* 式右写成矩阵相乘形式式右写成矩阵相乘形式 )()()()(*,),(*),(*2121222211121121tatataFFFFFFFFFtatataFnmnmmnnm简写成简写成 FF*)()()(*)(tadxxuFxutannmmmn )(*)(taFtanmnmmn （一）平均值公式（一）平均值公式)()(xxF 写成矩阵形式写成矩阵形式 F表成显式表成显式 nnnnnnnnaaaaaaFFFFFFFFF2121212222111211 整整 理理 改改 写写021212222111211 nnnnnnnaaaFFFFFFFFF 上式是一个齐次线性方程组上式是一个

26、齐次线性方程组,2,10)( maFnmnmnn 方程组有不完全为零解的条件是方程组有不完全为零解的条件是系数行列式等于零系数行列式等于零0212222111211 nnnnnnFFFFFFFFF久久 期期 方方 程程求解此久期方程得到一组求解此久期方程得到一组值：值：1, 2, ., n, .就是就是F的本征值。的本征值。将其分别代入原齐次线性方程组就将其分别代入原齐次线性方程组就能得到相应于各能得到相应于各i的本征矢的本征矢niaaaniii,2,121 于是求解微分方程的问题就化于是求解微分方程的问题就化成了求解代数方程根的问题。成了求解代数方程根的问题。（二）本征方程（二）本征方程例例

27、1 1： 本征函数本征函数 u um m(x) (x) 在自身表象中的矩阵表示。在自身表象中的矩阵表示。同样将同样将 u um m(x) (x) 按按 的本征函数展开：的本征函数展开：)()(xuaxunnnm 显显 然然 有有 mnmnan01所以所以 u um m(x) (x) 在自身表象中的矩阵表示如下：在自身表象中的矩阵表示如下： 01000010000121mmauuu例如：例如： L L2 2, L, Lz z的共同本征函数的共同本征函数 Y Y1111, Y, Y1010, Y, Y1-11-1. .在在 L L2 2, L, Lz z 的共的共 同表象中的矩阵形式就特别简单同表

28、象中的矩阵形式就特别简单。 100010001111011YYY例例2 2：求：求 L Lx x本征态在本征态在 L Lz z表象中的矩阵表象中的矩阵表示，只讨论表示，只讨论( ( =1)=1)情况。情况。Lx的本征方程为：的本征方程为：解解 3213210101010102aaaaaa 0202202321 aaa 欲得欲得a1, a2, a3 不全为零的解，必须要求系数行列式等于零不全为零的解，必须要求系数行列式等于零0202202 (-2 + 2) = 0 解得本征值解得本征值= 0, = 0, . .取取= 代入本征方程得：代入本征方程得：0202202321 aaa解得：解得：a1=

29、(1/21/2) a2 a3=(1/21/2) a2 22121111a 由归由归 一化一化 条件条件 定定 a2221212212111111*1aa 为简单计为简单计 取实数取实数212 a同理得另外两个本征值相应本征函数同理得另外两个本征值相应本征函数则则 =1, Lx = 的本征态的本征态 可记为：可记为：1| 222 a 21212111212110212121110 ),(),(txHtxti 写写 到到 Q 表表 象象)()(),(xutatxnnn 按力学量算符按力学量算符 Q的本征函数展开的本征函数展开)()()()(xutaHxutatinnnnnn 左乘左乘 um*(t)

30、 对对 x 整个空间积分整个空间积分dxxuHxutadxxuxutatinmnnnmnn)()(*)()()(*)( mnnnmnnnHtatati)()( ,2,1,)()( nmtaHtatinmnnmdxxuHxuHnmmn)()(* )()()()()()(2121222211121121tatataHHHHHHHHHtatatatinmnmmnnn Hti H H 都是矩阵都是矩阵简写简写（三）（三）SchrodingerSchrodinger方程的矩阵形式方程的矩阵形式作作 业业 周世勋：量子力学教程 、 、 4 Dirac 符号符号 ( (一）引一）引 ( (二二) ) 态矢量

31、态矢量 （三）算符（三）算符 （四）总结（四）总结n前四章给出的都是前四章给出的都是 X - X - 表象中的形式，表象中的形式， n本章中给出了任一力学量本章中给出了任一力学量 Q-Q-表象中的形式，它们都是取定了表象中的形式，它们都是取定了某一具体的力学量空间某一具体的力学量空间, ,即某一具体的力学量表象。量子描述即某一具体的力学量表象。量子描述除了使用具体表象外，也可以不取定表象，正如几何学和经典除了使用具体表象外，也可以不取定表象，正如几何学和经典力学中也可用矢量形式力学中也可用矢量形式 A A 来表示一个矢量，来表示一个矢量， n而不用具体坐标系中的分量而不用具体坐标系中的分量(A

32、(Ax x, A, Ay y, , A Az z) )表示一样。表示一样。 n量子力学可以不涉及具体表象来讨论粒子的状态和运动规律。量子力学可以不涉及具体表象来讨论粒子的状态和运动规律。这种抽象的描述方法是由这种抽象的描述方法是由 DiracDirac 首先引用的，首先引用的， n所以该方法所使用的符号称为所以该方法所使用的符号称为 DiracDirac 符号。符号。( (一）引一）引（1 1）右矢空间）右矢空间前面已经讲过，一个状态通过一组力学量完全集的测量（完前面已经讲过，一个状态通过一组力学量完全集的测量（完全测量）来确定，通常用所测得的力学量的量子数来确定。全测量）来确定，通常用所测得

33、的力学量的量子数来确定。例如：一维线性谐振子其状态由量子数例如：一维线性谐振子其状态由量子数 n n 确定，记为确定，记为n n(x)(x)；氢原子的状态由量子；氢原子的状态由量子数数 n, l, mn, l, m 确定，记为确定，记为 n l mn l m( r,( r, , , ) )， 如此等等。如此等等。在抽象表象中在抽象表象中 Dirac Dirac 用右矢空间的一个矢量用右矢空间的一个矢量 | | 与量子状态相对应，该矢量与量子状态相对应，该矢量称为右矢。称为右矢。|n |n n n(x)(x)； |n, l, m |n, l, m n l mn l m状态状态 |n |n 和和

34、n n(x) (x) 亦可分别记成亦可分别记成 |n n 和和 |n l m n l m 。对力学量的本征态可表示为对力学量的本征态可表示为 |x, |p, |Q|x, |p, |Qn n . . 等。等。因为力学量本征态构成完备系，所以本征函数所对应的右因为力学量本征态构成完备系，所以本征函数所对应的右矢空间中的右矢矢空间中的右矢也组成该空间的完备右矢（或基组），即右矢空间也组成该空间的完备右矢（或基组），即右矢空间中的完备的基本矢量（简称基矢）。中的完备的基本矢量（简称基矢）。右 矢 空 间 的 任 一 矢 量右 矢 空 间 的 任 一 矢 量 | | 可按该空间的某一可按该空间的某一完备

35、基矢展开。完备基矢展开。例如：例如： nann| ( (二二) )态矢量态矢量（2 2）左矢空间）左矢空间右矢空间中的每一个右矢量在左矢空间都有一个相对应右矢空间中的每一个右矢量在左矢空间都有一个相对应的左矢量，记为的左矢量，记为 | |。例如：。例如： 左左矢矢空空间间 右右矢矢空空间间 左左矢矢， b br ra a k ke et t, , 右右矢矢 Dirac 符号符号右矢空间和左矢空间称为伴右矢空间和左矢空间称为伴空间或对偶空间，空间或对偶空间， | | 称为伴矢量。称为伴矢量。 p |, x |, Qp |, x |, | 和和 | 按按 Q Q 的左基矢的左基矢 |Q|Qn n

36、展开展开 | = a| = a1 1 |Q |Q1 1 + a + a2 2 |Q |Q2 2 + . + a + . + an n |Q |Qn n + . + . 展开系数即相当于展开系数即相当于 Q Q 表象中的表示：表象中的表示： naaa21 | | 按按 Q Q 的左基矢的左基矢 QQn n | | 展开：展开： | = a| = a* *1 1 Q Q1 1 | + a | + a* *2 2 Q Q2 2 | + . + a | + . + a* *n n Q Qn n | + . | + . 展开系数即相当于展开系数即相当于 Q Q 表象中的表示：表象中的表示： + = (a

37、+ = (a* *1 1, a, a* *2 2, ., a, ., a* *n n, . ), . )同理同理 某一左矢量某一左矢量 | | 亦可按亦可按 Q Q 的左基矢展开：的左基矢展开： | = b| = b* *1 1 Q Q1 1 | + b | + b* *2 2 Q Q2 2 | +. + b | +. + b* *n n Q |和和 | | 的标积为：的标积为：nnnab*| 显然显然 * * = = 1|* nnnaa 这就是用这就是用Dirac Dirac 表示的波函数表示的波函数 归一化条件。归一化条件。由标积定义得由标积定义得: :本征态的正交归本征态的正交归 一化条

38、件可写为：一化条件可写为：分分立立谱谱连连续续谱谱连连续续谱谱nmmnQQxxxxpppp |) ( | ) ( | 由此可以看出由此可以看出 | | 和和 |的关系：的关系：1 1）在同一确定表象中，各分量互为复共轭；）在同一确定表象中，各分量互为复共轭； 2 2）由于二者属于不同空间所以它们不能相加，只有同一空间的矢量才能相加；）由于二者属于不同空间所以它们不能相加，只有同一空间的矢量才能相加； 3 3）右矢空间任一右矢可以和左矢空间中任一左矢进行标积运算，其结果为一复数。）右矢空间任一右矢可以和左矢空间中任一左矢进行标积运算，其结果为一复数。（4 4）本征函数的封闭性）本征函数的封闭性展

39、开式展开式 nnnQa | 两边左乘两边左乘 Q 是任意态矢量，所以是任意态矢量，所以1| nnnQQ成立成立。本征矢本征矢 |Qn 的封闭性的封闭性I 分分 立立 谱谱对于连续谱对于连续谱 |q ，q 取连续值，任一状态取连续值，任一状态 | 展开式为：展开式为：II 连连 续续 谱谱dqqtaq |)(| 左乘左乘 | 是任意态矢，所以有是任意态矢，所以有 1| qdqq |qdqq1| |1| | pdppxdxx同理，对于同理，对于 |x |x 和和 |p |p 分分 别别 有有这就是连续本征值的本征矢的封闭性。这就是连续本征值的本征矢的封闭性。 1| |1| |1| |1|pdppx

40、dxxqdqqQQnnn由于由于所以所以 它们也它们也称为单位算符，称为单位算符，在运算中可插在运算中可插入（乘到）公入（乘到）公式任何地方而式任何地方而不改变原公式不改变原公式的正确性。的正确性。例如：在例如：在 | 左侧插入算符左侧插入算符|nnnQQ |nnnQQ 同理同理 | | |pdppxdxx即得态矢按各种力学量本征矢的展开式即得态矢按各种力学量本征矢的展开式投影算符投影算符|Q|Qn n| 上，相当于把上，相当于把 | | 投影到左基矢投影到左基矢 |Q|Qn n 或或 |q |q 上，即作用的结果只是留下了该态矢在上，即作用的结果只是留下了该态矢在 |Q|Qn n 上上的分量

41、的分量 Q | 或或 。故称。故称 |Q|Qn n | 在在 X X 表象的表示是表象的表示是(x, t)(x, t)，所以显然有：，所以显然有： ),(*|),(|txxxtxx 封闭性在封闭性在 X X 表象中的表示表象中的表示左乘左乘 |xxxQQxnnn) ()() (*xxxuxunnn ) ()()(*)()(*qqdxxuxudxxuxuqqnmmn 正交归一性的表示式是对坐标的积分：正交归一性的表示式是对坐标的积分：封闭性表示式是对本征值求和或积分：封闭性表示式是对本征值求和或积分：) ()() (*) ()() (*xxdqxuxuxxxuxuqqnnn 所以，我们也可以把封

42、闭性解释为本征函数对于本征值的求和或积分是正交归一的。所以，我们也可以把封闭性解释为本征函数对于本征值的求和或积分是正交归一的。它来自于本征函数的完备性，也是本征函数完备性的表示。它来自于本征函数的完备性，也是本征函数完备性的表示。1| nnnQQ分立谱分立谱) ()() (*xxdqxuxuqq 连续谱连续谱1| qdqq xxxqdqqx|封闭性与正交封闭性与正交归一性比较归一性比较在形式上在形式上 二者相似二者相似区别区别(1) (1) 右右矢空间矢空间),(),(),(txpxFtx 在抽象的在抽象的DiracDirac表象表象 |FDiracDirac 符号的特点是简单灵活。如果欲把

43、上符号的特点是简单灵活。如果欲把上式写至式写至 Q Q 表象，则只需在适当位置插入单位算符。表象，则只需在适当位置插入单位算符。左乘左乘 QQm m | | |FQQmm |nnmnQQFQ把公式把公式 变到变到 Q Q 表象表象算符算符 F 在在Q 表象表象 中的矩阵表示的中的矩阵表示的 矩阵元矩阵元 Fm n写成矩阵形式写成矩阵形式 |,|,|,|,|2112212211121nnnQQQQFQQFQQFQQFQQFQQQQ = F Q 表象表象X X表象表象1| nnnQQ（三）算符（三）算符平均值公式平均值公式 |FF插入插入 单位算符单位算符 |nnnmmmQQQQ 和和 |nnmm

44、mnQQFQQFnmnmmnaFa* （2）共轭式（左矢空间）共轭式（左矢空间） mQF | 1| nnnQQ F| mnnnQFQQ| nnmnQF|)( nnmnQF|* *|* nmnnQF*| nmnnQF*| nnmnQQFQ*| mmQQF| 表明量子力学中的力学量表明量子力学中的力学量 既可以向右作用到右矢量上，既可以向右作用到右矢量上， 也可以向左作用到左矢量上。也可以向左作用到左矢量上。若若 F是是 厄密算符厄密算符例：力学量算符例：力学量算符 x x 在动量中的形式在动量中的形式 |x左乘左乘 p | p | | |xpp | |ppdpxp pxxdxxxdxxppxp|

45、 pxxdxxxdxxp| pxxdxxxdxxp|)(| pxxdxxp|dxxeexpipxi 21dxeepixpipxi 21dxeepixpipxi 21)(pppi 代回原式代回原式 | | |ppdpxpxpp故坐标算符故坐标算符 x x 在动量表象中取如下形式在动量表象中取如下形式: :pix |)(ppippdpppi（1 1）X X 表象描述与表象描述与 Dirac Dirac 符号符号1)(|)(|1),(),()()(),()(|),(* ttQQdxtxtxdxxuxuFirFttxmnnmmnnm 本本征征函函数数归归一一化化算算符符波波函函数数Dirac Dira

46、c 符号符号 项目项目X X 表象表象 1|1|)()()()()()()(|)()()(*qdqqQQxxdqxuxuxxxuxuqqqqqqdxxuxunnqqnnnqq 封封闭闭性性本本征征函函数数归归一一性性正正交交 |)()(),()(|)(|),(),(),(*FFdxFFFrrprFtFttxpxFtxx平平均均值值本本征征方方程程公公式式 )(|)(|),(),(),(|*tHtdtditrirHtrtiSnFmFdxFFmnnmmn方方程程矩矩阵阵元元 （四）总结（四）总结（2 2）左右矢空间的对应关系）左右矢空间的对应关系左矢空间左矢空间 右矢空间右矢空间 |FF |FF（

47、3 3） 厄密共轭规则厄密共轭规则由常量由常量 C C、左矢、右矢和算符组成的、左矢、右矢和算符组成的表示式，求其厄密共轭式的表示规则表示式，求其厄密共轭式的表示规则1 1）把全部次序整个颠倒）把全部次序整个颠倒2 2）作如下代换：）作如下代换：常量常量 C CC C* * | | | | FF例如例如*| vFuC*|CuFv （一）引言（一）引言 （二）（二）H - F H - F 定理定理 （三）实例（三）实例5 Hellmann - Feynman 5 Hellmann - Feynman 定理及应用定理及应用关于量子力学体系能量本征值问题，有不少定理，其中关于量子力学体系能量本征值问

48、题，有不少定理，其中应用最广泛的要数应用最广泛的要数 Hellmann - Feynman Hellmann - Feynman 定理（简称定理（简称 H-FH-F定理）定理）该定理的内容涉及能量本征值及各种力学量平均值随参数变化的该定理的内容涉及能量本征值及各种力学量平均值随参数变化的规律。规律。（1 1）当体系的能量本征值已求出，借助于）当体系的能量本征值已求出，借助于H-FH-F定理可以得出关于定理可以得出关于各种力学量平均值的许多信息，而不必利用波函数去进各种力学量平均值的许多信息，而不必利用波函数去进行烦琐的计算行烦琐的计算； （2 2）利用）利用 H-F H-F 定理可以很巧妙地推

49、出维里定理。定理可以很巧妙地推出维里定理。（一）引言（一）引言设体系的设体系的 Hamilton Hamilton 量量 H H 中含有某参量中含有某参量 ，E En n 是是 H H的本征值，的本征值，n n 是归一的束缚态本征函数（是归一的束缚态本征函数（n n 为一组量子数），则为一组量子数），则nnnHE 证证据题设，据题设，n 满足本征值方程：满足本征值方程：0| )( nnEH 其共轭方程为：其共轭方程为：0)( | nnEH 对对 求导数并左乘求导数并左乘 n n | | 得：得：0|)(|)(| nnnnnnEHEH 0| nnnnnEH nnnnnHE | nnnHE | =

50、 1 证毕证毕 由共轭方程由共轭方程 知，上式等知，上式等 号左边第二号左边第二 项为项为 0 0，H - F H - F 定理很有实用价值，定理很有实用价值， H H 中的中的 , , 等都可以选为参数等都可以选为参数 。（二）（二）H - F H - F 定理定理（1 1）证明一维谐振子）证明一维谐振子 = p = / 2。证证一维谐振子一维谐振子 Hamilton 量：量：, 2 , 1 , 0)(2212221222 nnExdxdHn 方法方法 I：取取作为参数作为参数0 nE222122222xdxdH )2(12221222xdxd )(212xVp 由由HF 定理定理nnnHE

51、 nnxVp )(2102 nnnnpxV 2)(2 2)(2pxV简记为简记为（三）实例（三）实例方法方法 II令令 = = )(21 nEn 2xH 22221x )(2xV nnnHE )(2)(21xVn nEnV212121)( VpHEn 22 VpV 222 22pV方法方法 III取取 = )(21 nEn22221222xdxdH 22dxd 22222222 pdxd 由由HF 定理定理nnnHE 22)(221pnnEnp2121212)(2 2221 Vp 22pV由由 HF 定理定理（2 2）对类氢离子任何一个束缚态）对类氢离子任何一个束缚态nlmnlm ，求，求 1

52、/r , 1/r1/r , 1/r2 2 的平均值。的平均值。解解1 1）求）求1/r1/r2202022224222222eanaeZneZEYruYRrZepHnlmnllmnlnlm 其其中中取取 Z Z 为变分参数为变分参数202224naZenZeZEn 由由HFHF定理定理 reZH22022naZere 201naZr 2 2）求：）求：1/r 类氢离子径向波函数类氢离子径向波函数u unlnl满足的径向方程为：满足的径向方程为：0)1()(222222 urllrZeEdrd 改写成改写成EuurllrZedrd 2222222)1(2 该方程可看成是一维定态方程，其等效该方程

53、可看成是一维定态方程，其等效 Hamilton Hamilton 量和本征值为：量和本征值为：202222222222)1(2naeZErllrZedrdHn 取取 为变分参数为变分参数lnnElEnn 22022naeZn 1 lnnr3022naeZ )12(222 lrlH 2230221)12(2rlnaeZ lHlEn)12(21230222 lnaeZr )12(23202 lnaZ由由HF定理定理（3 3）证明维里定理）证明维里定理 VrT2即即nnnnrVrp )(2122 证证I.I.在坐标表象在坐标表象)(222rVH 将将 视为参数视为参数由由 HF 定理定理 2222p

54、H nnnHE II.II.在动量表象在动量表象 pir )(22piVpH )(piVH 由由HF定理定理 VrEn1 Vrp1222 nnp 222 rrVr)(Vr 1 Vrp2122 （4）对类氢原子定态，证明：）对类氢原子定态，证明： Vp2122 证证对类氢原子对类氢原子 20222222naeZErZepHn 212222ppH 00aaEEnn)(222222022enaeZ )(2202naZZe rZe122 rZe221 V 21由由HFHF定理定理 nEH 212pH Vp 21212 Vp2122 由例（由例（2 2）知：）知： )(120naZr （一）算符（一）算

55、符 a, a+, N. a, a+, N. （二）占有数表象（二）占有数表象6 6 占有数表象占有数表象 2,1 ,0)()(212/2221222222nnExHeNxHnnxnndxd 本节我们从新的角度讨论这一问题，引进占有数表象。本节我们从新的角度讨论这一问题，引进占有数表象。（2 2）定义新算符）定义新算符 a, a+, N.a, a+, N.令令 2pxai 221pxi 2pxai 221pxi 证明二者满足如下对易关系证明二者满足如下对易关系1, aa（一）算符（一）算符 a, a+, N.a, a+, N.（1 1）坐标表象下的线性谐振子）坐标表象下的线性谐振子证证1, aa

56、 ) (2),(2, 2211pxpxaaii pxpxii, 222112 , , , , 2222211112ppxppxxxiiii , , 2212xppxi 22212ii 1 证毕证毕 （3 3）用算符）用算符a, a+ a, a+ 表示振子表示振子HamiltonHamilton量量由由 a, a+ 定义式定义式 将算符将算符 x, p 用新算符用新算符 a, a+ 表示出来表示出来 )1()2()1()2(222121aaiipaax ) 1 ( 221pxai )2( 221pxai 代入振子代入振子 Hamilton Hamilton 量量222212xpH 2122aai

57、aai 2121212aaaa 422 aaaaaaaa 4122 aaaaaaaa 21 aaaa 121 aaaa 21 aa 21 N 414 aaaaaaaaaaaaaaaa 1 aa 2=/ 称称为为粒粒子子数数算算符符其其中中aaN （4 4） a, a+, N a, a+, N 的物理意义的物理意义I. a, a+ I. a, a+ 的物理意义的物理意义xixxixpxaxxpxa 212122121212222 将将 a a 作用在能量本征态作用在能量本征态 n n(x) (x) 上上由由n n 的的递推公式递推公式121121211121 nnnnnxnnnnnx nxnxa

58、 212 nxnx 212121122112111212 nnnnnnnn 1 nn 11 nnna 同同理理：用用 Dirac 符号表示符号表示 1|1|nnna 1| nnna其中其中 |n, |n-1, |n+1 等都是等都是 H 的本征基的本征基矢，矢， En, En-1, En+1。是相应本征值。是相应本征值。因为因为 振子能量只能以振子能量只能以 为单位变化，所为单位变化，所以以 能量单位可以看成是一个粒子，称能量单位可以看成是一个粒子，称为为“声子声子”。状态。状态 |n |n 表示体系在此态表示体系在此态中有中有 n n 个粒子（声子）称为个粒子（声子）称为 n n 个声子态。

59、个声子态。粒子粒子 湮灭算符湮灭算符粒子粒子 产生算符产生算符显然有显然有00| a振子基态的基矢振子基态的基矢用产生算符用产生算符 a a+ + 表示的振子基矢表示的振子基矢 1 |2|21a 10|100| a 0|1|11a 11 | 111 | a 0|1121aa 0|)(2!21a 0|)(|!1nnanII. N II. N 的意义的意义 naanN| | 1|nna nnn|1)1( nn|上式表明，上式表明， n n 是是N N 算符的本征值，算符的本征值，描写粒子的数目，故描写粒子的数目，故N N 称为粒子数算符。称为粒子数算符。以以 |n |n 为基矢的表象称为占有数表象

60、为基矢的表象称为占有数表象 nan|湮灭算符湮灭算符 a a 的矩阵元的矩阵元 nan|矩矩阵阵形形式式为：为： 030000020000010a 00300000200000100000a 3000020000100000N nnn|nnn 1|1nnn11 nnn 产生算符产生算符 a a+ + 的矩阵元的矩阵元 （二）占有数表象（二）占有数表象（一）不同表象之间的变换和么正变换矩阵（一）不同表象之间的变换和么正变换矩阵 （二）波函数和算符的变换关系（二）波函数和算符的变换关系 （三）么正变换的性质（三）么正变换的性质7 7 么正变换矩阵么正变换矩阵（1 1）么正变换矩阵）么正变换矩阵力学