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1、精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 椭圆的有关题型大全椭圆的有关题型大全(教师版) 一、一、直线与直线与椭圆位置关系椭圆位置关系: 1.点与椭圆的位置关系点与椭圆的位置关系 点 P(x0,y0)在椭圆12222byax内部的充要条件是1220220byax;在椭圆外部的充要条件是1220220byax; 在椭圆上的充要条件是1220220byax. 2.直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系. 设直线 l:Ax+By+C=0,椭圆 C:12222byax,联立 l 与 C,消去某一变量(x 或 y)得到关于另一个变量的一元二次方程,此一元二次方程的判别式为, 则 l 与 C 相离的
2、0. 3. 计 算 椭 圆 被 直 线 截 得 的 弦 长 , 往 往 是 设 而 不 求 , 即 设 弦 两 端 坐 标 为P1(x1, y1) , P2(x2,y2)|P1P2|=221221)()(yyxx 212212111yykxxk(k 为直线斜率) 形式(利用根与系数关系 (推导过程:若点1122( ,)(,)A x yB xy,在直线(0)ykxb k上, 则1122ykxbykxb,这是同点纵横坐标变换,是两大坐标变换技巧之一, 2222221212121212()()()()(1)()ABxxyyxxkxkxkxx 22121 2(1)()4kxxx x 或者2222212
3、121212122111()()()()(1)()ABxxyyxxyyyykkk 2121221(1)()4yyy yk。) 4.椭圆中点弦问题的两种方法椭圆中点弦问题的两种方法 (1)根与系数的关系法:联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决; (2)点差法:利用交点在曲线上,坐标满足方程,将交点坐标分别代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系,具体如下:已知 A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆x2a2y2b21(ab0)上的两个不同的点,M(x0,y0)是线精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 段 AB 的
4、中点, 【则kABb2x0a2y0】 则 x21a2y21b21, x22a2y22b21, 由,得1a2(x21x22)1b2(y21y22)0,变形得y1y2x1x2b2a2x1x2y1y2b2a2x0y0,即kABb2x0a2y0. 例题讲解:例题讲解: 一,直线与椭圆的位置关系一,直线与椭圆的位置关系 例题例题 1 1、判断直线、判断直线03 ykx与椭圆与椭圆141622yx的位置关系的位置关系 解:由1416322yxkxy可得02024) 14(22kxxk )516(162k (1)当45450)516(162kkk或即时,直线03 ykx与椭圆141622yx相交 (2)当4
5、5450)516(162kkk或即时,直线03 ykx与椭圆141622yx相切 (3)当45450)516(162kk即时,直线03 ykx与椭圆141622yx相离 例题例题 2 2、若直线、若直线)( 1Rkkxy与椭圆与椭圆1522myx恒有公共点,求实数恒有公共点,求实数m的取值范围的取值范围 解法一: 由15122myxkxy可得05510)5(22mkxxmk,0152km即1152 km 51mm且 解法二:直线恒过一定点) 1 , 0( 当5m时,椭圆焦点在x轴上,短半轴长mb ,要使直线与椭圆恒有交点则1m即51 m 当5m时,椭圆焦点在y轴上,长半轴长5a可保证直线与椭圆
6、恒有交点即5m 综述:51mm且 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 解法三:直线恒过一定点) 1 , 0( 要使直线与椭圆恒有交点,即要保证定点) 1 , 0(在椭圆内部115022m即1m 51mm且 评述由直线方程与椭圆方程联立的方程组解的情况直接导致两曲线的交点状况,而方程解的情况由判别式来决定,直线与椭圆有相交、相切、相离三种关系,直线方程与椭圆方程联立,消去y或x得到关于x或y的一元二次方程,则(1)直线与椭圆相交0(2)直线与椭圆相切0(3)直线与椭圆相离0,所以判定直线与椭圆的位置关系,方程及其判别式是最基本的工具。或者可首先判断直线是否过定点,并且初定定点在椭圆内、
7、外还是干脆就在椭圆上,然后借助曲线特征判断:如例 2 中法二是根据两曲线的特征观察所至;法三则紧抓定点在椭圆内部这一特征:点),(ooyxM在椭圆内部或在椭圆上则12222byaxoo 二、弦长问题二、弦长问题 例例 3 3、已知椭圆、已知椭圆11222yx的左右焦点分别的左右焦点分别为为 F F1 1,F,F2 2,若过点,若过点 P P(0 0,- -2 2)及)及 F F1 1的直线交椭圆于的直线交椭圆于 A,BA,B 两点,两点, 求求ABFABF2 2的面积的面积 解法一:由题可知:直线ABl方程为022 yx 由1122222yxxy可得04492yy,91044)(2122121
8、yyyyyy 9104212121yyFFS 解法二:2F到直线 AB 的距离554h 由1122222yxxy可得061692xx,又92101212xxkAB 910421hABS 评述在利用弦长公式212212111yykxxkAB(k 为直线斜率)或焦(左)半径公式)(22212121xxeaexaexaPFPFAB时,应结合韦达定理解决问题。 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 例题例题 4 4、 已知长轴为已知长轴为 1212,短轴长为,短轴长为 6 6,焦点在,焦点在x轴上的椭圆,过它对的左焦点轴上的椭圆,过它对的左焦点1F作倾斜解为作倾斜解为3的直线交椭圆于的直线交椭
9、圆于A,B两点,求弦两点,求弦AB的长的长 分析:可以利用弦长公式4)(1 (1212212212xxxxkxxkAB求得, 也可以利用椭圆定义及余弦定理,还可以利用焦点半径来求 解:(法 1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解 2121xxkAB4)(1 (212212xxxxk因为6a,3b,所以33c因为焦点在x轴上, 所以椭圆方程为193622yx,左焦点)0,33(F,从而直线方程为93 xy 由直线方程与椭圆方程联立得:0836372132xx设1x,2x为方程两根,所以1337221xx,1383621xx,3k, 从而13484)(1 (1212212212xxxxkxxkAB
10、(法 2)利用椭圆的定义及余弦定理求解 由题意可知椭圆方程为193622yx,设mAF 1,nBF 1,则mAF122,nBF122 在21FAF中,3cos22112212122FFAFFFAFAF,即21362336)12(22mmm; 所以346m同理在21FBF中,用余弦定理得346n,所以1348nmAB 例题例题 5 5、已知已知)2,4(P是直线是直线l被椭圆被椭圆193622yx所截得的线段的中点,求直线所截得的线段的中点,求直线l的方程的方程 分析:本题考查直线与椭圆的位置关系问题通常将直线方程与椭圆方程联立消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方程,再由根与系数的关系
11、,直接求出21xx ,21xx(或21yy ,21yy)的值代入计算即得 并不需要求出直线与椭圆的交点坐标,这种“设而不求”的方法,在解析几何中是经常采用的 解:方法一:设所求直线方程为)4(2xky代入椭圆方程,整理得 036)24(4)24(8) 14(222kxkkxk 设直线与椭圆的交点为),(11yxA,),(22yxB,则1x、2x是的两根,14)24(8221kkkxx )2,4(P为AB中点,14)24(424221kkkxx,21k所求直线方程为082 yx 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 方法二:设直线与椭圆交点),(11yxA,),(22yxB)2,4(P为
12、AB中点,821xx,421 yy 又A,B在椭圆上,3642121 yx,3642222 yx两式相减得0)(4)(22212221yyxx, 即0)(4)(21212121yyyyxxxx21)(4)(21212121yyxxxxyy直线方程为082 yx 方法三:设所求直线与椭圆的一个交点为),(yxA,另一个交点)4,8(yxB A、B在椭圆上,36422 yx 。 36)4(4)8(22yx 从而A,B在方程的图形082 yx上,而过A、B的直线只有一条,直线方程为082 yx 说明:直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题, “设而不求”的方法是处理此类问题的有效方法 若已
13、知焦点是)0,33(、)0,33(的椭圆截直线082 yx所得弦中点的横坐标是 4, 则如何求椭圆方程? 例题例题 6 6、已知椭圆已知椭圆1422 yx及直线及直线mxy (1 1)当)当m为何值时,直线与椭圆有公共点?为何值时,直线与椭圆有公共点? (2 2)若直线被椭圆截得的弦长为)若直线被椭圆截得的弦长为5102,求直线的方程,求直线的方程 解: (1)把直线方程mxy代入椭圆方程1422 yx得 1422mxx, 即012522mmxx020161542222mmm,解得2525m (2)设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x,2x,由(1)得5221mxx,51221mxx 根据弦长
14、公式得 :51025145211222mm解得0m方程为xy 说明:处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题,采用的方法与处理直线和圆的有所区别这里解决直线与椭圆的交点问题,一般考虑判别式;解决弦长问题,一般应用弦长公式用弦长公式,若能合理运用韦达定理(即根与系数的关系) ,可大大简化运算过程 例例 7 7:(2011 高考陕西卷高考陕西卷) 设椭圆 C:x2a2y2b21(ab0)过点(0,4),离心率为35. (1)求 C 的方程; (2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被 C 所截线段的中点坐标 解:(1)将(0,4)代入 C 的方程得16b21, b4. 又由 eca35得a2
15、b2a2925, 即 116a2925,a5. C 的方程为x225y2161. 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 (2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为 y45(x3), 设直线与 C 的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2), 将直线方程 y45(x3)代入 C 的方程,得x225(x3)2251,即 x23x80, x1x23.又45323 65, 中点坐标为32,65. 二、二、椭圆焦点三角形椭圆焦点三角形的周长、的周长、面积公式的应用面积公式的应用: 定理定理 在在椭圆椭圆12222byax(ab0)中,焦点分别为)中,焦点分别为1F、2F,点,点 P 是椭圆上
16、任意一是椭圆上任意一点,点,21PFF,则,则2tan221bSPFF. 证明:记2211| ,|rPFrPF,由椭圆的第一定义得 .4)(,2222121arrarr 在21PFF中,由余弦定理得:.)2(cos22212221crrrr 配方得:.4cos22)(22121221crrrrrr 即.4)cos1 (242212crra .cos12cos1)(222221bcarr 由任意三角形的面积公式得: 2tan2cos22cos2sin2cos1sinsin2122222121bbbrrSPFF. .2tan221bSPFF 同理可证,在椭圆同理可证,在椭圆12222bxay(ab
17、0)中,公式仍然成立)中,公式仍然成立. 例题讲解:例题讲解: 例例 1 若若 P 是椭圆是椭圆16410022yx上的一点,上的一点,1F、2F是其焦点,且是其焦点,且6021PFF,求,求 P y F1 O F2 x P 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 21PFF的面积的面积. 解法一:在椭圆16410022yx中,, 6, 8,10cba而.60记.| ,|2211rPFrPF 点 P 在椭圆上, 由椭圆的第一定义得:.20221arr 在21PFF中,由余弦定理得:.)2(cos22212221crrrr 配方,得:.1443)(21221rrrr .144340021r
18、r从而.325621rr .336423325621sin212121rrSPFF 解法二解法二:在椭圆在椭圆16410022yx中,中,642b,而,而.60 .336430tan642tan221bSPFF 解法一复杂繁冗,运算量大,解法二简捷明了,两个解法的优劣立现! 例 2、21,FF 是椭圆17922yx的两个焦点,A为椭圆上一点,且02145FAF,求12AFF的面积 解:1212212 2,6,6FFAFAFAFAF 222022112112112cos4548AFAFFFAF FFAFAF 2211117(6)48,2AFAFAFAF 17272 22222S 例 3:如图,椭圆x216y291 的左、右焦点分别为 F1,F2,一条直线 l 经过 F1与椭圆交于 A,B 两点,若直线l 的倾斜角为 45 ,求ABF2的面积 解:由椭圆的方程x216y291 知,a4,b3, c a2b2 7. 由 c 7知 F1( 7,0),F2( 7,0),又直线 l 的斜率 ktan 45 1,直线 l 的方程为 xy 70. 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则由 xy 70,x216y291,消去 x,整理
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