浙江省历年高考立体几何大题总汇(题目与答案)

1、精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业1.（本题满分 15 分）如图，平面平面，是以为斜边的等腰直角PACABCABCAC三角形。分别为的中点，。,E F O,PA PB PC16,10ACPAPC（I） 设是的中点，证明：平面；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m COC/PCBOE（II）证明：在内存在一点，使平面，并求点到,的距ABOMFMBOEMOA OB离。2.如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，P 是侧棱 CC1上的一点，CP=m，（）试确定 m，使得直线 AP 与平面 BDB1D1所成角的正切值为；3 2（）在线段 A1C1上是否存在一个定点 Q，使得

2、对任意的 m，D1Q 在平面 APD1上的射影垂直于 AP，并证明你的结论。3. 如图甲，ABC 是边长为 6 的等边三角形，E，D 分别为 AB、AC 靠近 B、C 的三等分点，点 G 为 BC 边的中点线段 AG 交线段 ED 于 F 点，将AED 沿 ED 翻折，使平面 AED平面 BCDE，连接 AB、AC、AG 形成如图乙所示的几何体。 （I）求证 BC平面 AFG；（II）求二面角 BAED 的余弦值. x y z 精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业4在如图所示的几何体中，平面 ABC，平面 ABC，EA DB ACBC，M 是 AB 的中点2ACBCBDAE（1）求证：；

3、CMEM（2）求 CM 与平面 CDE 所成的角5. 如图，矩形和梯形所在平面互相垂直，ABCDBEFCBECF， 90BCFCEF 3AD 2EF （）求证：平面；AEDCF（）当的长为何值时，二面角的大小为？ABAEFC606. 如图，在矩形 ABCD 中，点 E，F 分别在线段 AB，AD 上，AE=EB=AF=沿. 432FD直线 EF 将翻折成使平面平面 BEF.AEF,EFAEFA （I）求二面角的余弦值；CFDA （II）点 M，N 分别在线段 FD，BC 上，若沿直线 MN 将四边形 MNCD 向上翻折，使C与重合，求线段 FM 的长. AEMACBDDABEFC（第 18 题

4、）精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业7. 如图，在三棱锥 P-ABC 中，ABAC，D 为 BC 的中点，PO平面 ABC，垂足 O 落在线段 AD 上，已知 BC8，PO4，AO3，OD2（）证明：APBC；（）在线段 AP 上是否存在点 M，使得二面角 A-MC-B 为直二面角？若存在，求出 AM的长；若不存在，请说明理由。8. 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面是边长为的菱形，2 3BAD=120，且 PA平面 ABCD，PA=, M，N 分别为 PB,PD 的中点。2 6（1）证明：MN平面 ABCD；（2）过点 A 作 AQPC，垂足为点 Q，求二面角 A-MN-Q 的平

5、面角的余弦值。精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业9. 如图，在四面体中，平面，ABCDAD BCD，是的中点，是的中BCCD2AD 2 2BD MADPBM点，点在线段上，且 QAC3AQQC（）证明：平面；/ /PQBCD（）若二面角的大小为，求的大小CBMD60BDC 10. 如图，在五面体中，已知平面，ABCDEFDE ABCD，/ /ADBCo60BAD2AB 1DEEF（1）求证：；/ /BCEF（2）求三棱锥的体积BDEF（第 16 题图）FACDEB精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业11. 如图，在直三棱柱中，已知，111ABCABC1CACB12AA o90BC

6、A（1）求异面直线与夹角的余弦值；1BA1CB（2）求二面角平面角的余弦值1BABC12(本小题 14 分)在等腰梯形中，是ABCD/ /ADBC12ADBC60ABCN的中点将梯形绕旋转，得到梯形（如图） BCABCDAB90ABC D （1）求证：平面； ACABC（2）求证：平面；/ /C NADD（3）求二面角的余弦值AC NC13. （本题满分 14 分） 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，AD/BC，ADC=90，平面 PAD底面 ABCD，Q 为 AD的中点，M 是棱 PC 上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=123（I）求证：平面 PQB平

7、面 PAD； （II）若二面角 M-BQ-C 为 30，设 PM=tMC，（第 22 题图）ABCA1B1C1ACDBNDCPABCDQM精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业试确定 t 的值14如图，直角梯形ABCD中，AB/CD， = 90 , BC = CD = ,AD = BCD2BD：EC丄底面ABCD, FD丄底面ABCD 且有EC=FD=2.( I )求证：AD丄 BF :(II )若线段 ECEC 上一点 M M 在平面 BDFBDF 上的射影恰好是BF的中点N,试求二面角 B-MF-CB-MF-C的余弦值. 1.证明：（I）如图，连结 OP，以 O 为坐标原点，分别以 O

8、B、OC、OP 所在直线为轴，x轴，轴，建立空间直角坐标系 O，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m yzxyz则，由题意得，0,0,0 , (0, 8,0), (8,0,0),(0,8,0),OABC(0,0,6),(0, 4,3),PE4,0,3F因，因此平面 BOE 的法0,4,0 ,G(8,0,0),(0, 4,3)OBOE 向量为，得，又直线不(0,3,4)n ( 4,4, 3FG 0n FG FG在平面内，因此有平面BOE/ /FGBOE（II）设点 M 的坐标为，则，因为00,0 xy00(4, 3)FMxy 平面 BOE，所以有，因此有，即点FM /FMn 0094,4xy

9、M 的坐标为，在平面直角坐标系中，的内部区域满足不等式组94,04xoyAOB，经检验，点 M 的坐标满足上述不等式组，所以在内存在一点，使008xyxyABOM平面，由点 M 的坐标得点到，的距离为w.w.w.k.s.5.u.c.o.m FM BOEMOAOB94,4 x y z 精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业2. 解法：（）,ACACBDO连设1.APBGOG1与面BD D交于点，连1111/,PCBDD BBDD BAPCOG因为面面面故。所以。/OGPC122mOGPC又.111,AODB AOBBAOBDD B所以面故11AGOAPBDD B即为与面所成的角。在，即.Rt

10、22tan3 22AOGAGOm中，13m 故当时，直线。13m AP11与平面BD DB所成的角的正切值为2（）依题意，要在上找一点，使得.11A CQ1D QAP可推测的中点即为所求的点。11A C1OQ因为，所以1111.D OA C111D OAA111.D QACC A 面又,故。11.APACC A 面11D OAP从而111D OAD PAP在平面上的射影与垂直。解法二：（）建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,)，C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1).所以1( 1, 1,0),(0,0,1),BDB

11、B ( 1,1,),( 1,1,0).APm AC 又由的一个法向量.110,0AC BDAC BBACD D 1知为平面BB设与所成的角为，AP11BDD B面则2|2sincos()2| |22AP ACAPACm 精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业依题意有：，解得.2223 2221 (3 2)m13m 故当时，直线。13m AP11与平面BD DB所成的角的正切值为2（）若在上存在这样的点，设此点的横坐标为，11A CQx则。1( ,1,1),( ,1,0)Q xxDQxx 依题意，对任意的 m 要使 D1Q 在平面 APD1 上的射影垂直于 AP。等价于11AP10(1)02

12、DQAP D Qxxx 即为的中点时，满足题设的要求.Q11A C3. () 在图甲中，由ABC 是等边三角形，E，D 分别为 AB，AC 的三等分点，点 G 为BC 边的中点，易知 DEAF，DEGF，DE/BC 2 分在图乙中，因为 DEAF，DEGF，AFFG=F，所以 DE平面 AFG又 DE/BC，所以 BC平面 AFG 4 分() 因为平面 AED平面 BCDE，平面 AED平面 BCDE=DE，DEAF，DEGF，所以 FA，FD，FG 两两垂直以点 F 为坐标原点，分别以 FG，FD，FA 所在的直线为轴，建立如图所示zyx,的空间直角坐标系则，所以xyzF )32 , 0 ,

13、 0(A)0 , 3, 3(B)0 , 2, 0( E，0) 6 分)32, 3, 3(AB, 1 , 3(BE设平面 ABE 的一个法向量为),(zyxn 则，即，00BEnABn0303233yxzyx取，则，则 8 分1x3y1z) 1, 3, 1 (n显然为平面 ADE 的一个法向量，)0 , 0 , 1 (m所以10 分55|,cosnmnmnm二面角为钝角，所以二面角DAEB的余弦值为12 分DAEB554. 方法一：（1）证明：因为 AC=BC，M 是 AB 的中点，所以 CMAB精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业又 EA 平面 ABC，所以 CMEM（2）解：过点 M

14、作 MH平面 CDE，垂足是 H，连结 CH 并延长交 ED 于点 F，连结 MF、MD，FCM 是直线CM 和平面 CDE 所成的角因为 MH平面 CDE，所以 MHED， 又因为 CM平面 EDM，所以 CMED， 则 ED平面 CMF，因此 EDMF设 EAa，BDBCAC2a，在直角梯形 ABDE 中，AB2a，M 是 AB 的2中点，所以 DE3a，EM，MD a，3a6得EMD 是直角三角形，其中EMD90所以 MF2EM MDaDE在 RtCMF 中，tanFCM=1，所以FCM=45，M FM C故 CM 与平面 CDE 所成的角是 45方法二：如图，以点 C 为坐标原点，以

15、CA，CB 分别作为 x 轴和 y 轴，过点 C 作与平面 ABC 垂直的直线为 z 轴，建立直角坐标系 C-xyz，设 EA=a，则A（2a，0，0） ，B（0，2a，0） ，C（2 a，0，a） ，A（0，2 a，2 a） ，A（a，a，0）.（1）证明：因为=（-a，a，-a） ，=（a，a，0） ，EM C M所以=0，EM C M故.EMC M（2）解：设向量 n=（1，）与平面 CDE 垂直，oy0 x则，nC EnC D即 =0，=0.n C En C D因为=（2a,0,a）, =(0,2a,2a),EC C D所以 y =2，z =-2，00即 n=（1，2，-2） ，精选优

16、质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业，2cos,2C M nn C MM nAA直线 CM 与平面 CDE 所称的角是 45.5. 方法一：（）证明：过点作交于，连结，EEGCFCFGDG可得四边形为矩形，BCGE又为矩形，ABCD所以，从而四边形为平行四边形，ADEG ADGE故AEDG因为平面，平面，AE DCFDG DCF所以平面AEDCF（）解：过点作交的延长线于，连结BBHEFFEHAH由平面平面，得ABCD BEFCABBC平面，AB BEFC从而AHEF所以为二面角的平面角AHBAEFC在中，因为，所以，RtEFG3EGAD2EF 60CFE1FG 又因为，所以，CEEF4CF

17、从而3BECG于是3 3sin2BHBEBEHA因为，tanABBHAHBA所以当为时，二面角的大小为AB92AEFC60方法二：如图，以点为坐标原点，以和分别作为轴，轴和轴，建立CCBCF，CDxyz空间直角坐标系Cxyz设，ABaBEbCFc，则，(0 0 0)C，( 3 0)Aa，( 3 0 0)B，( 30)Eb，(00)Fc，（）证明：，(0)AEba ，( 3 0 0)CB ，(00)BEb ，所以，从而，0CB CE A0CB BE ACBAECBBE所以平面CB ABE因为平面，CB DCF所以平面平面ABEDCF故平面AEDCF（）解：因为，(30)EFcb ，( 30)CE

18、b ，DABEFCHGDABEFCyzx精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业所以，从而0EF CE A| 2EF 23()03()2b cbcb ，解得34bc，所以，( 33 0)E，(0 4 0)F，设与平面垂直，(1)nyz ，AEF则，0n AE A0n EF A解得3 3(13)na ，又因为平面，BA BEFC(0 0)BAa ，所以，2|3 31|cos|2| |427BA nan BABAnaa A A，得到92a 所以当为时，二面角的大小为AB92AEFC606. 方法一： （）解：取线段 EF 的中点 H，连结A H因为及 H 是 EF 的中点，A EA F所以A H

19、EF又因为平面平面 BEF，及平面A EFA H.A EF所以平面 BEF。A H如图建立空间直角坐标系.Axyz则(2,2,2 2),(10,8,0),(4,0,0),(10,0,0).ACFD故( 2,2,2 2),(6,0,0)FNFD 设为平面的一个法向量( , , )nx y zA FD精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业所以222 2060 xyzx取2,(0, 2,2)zn则又平面 BEF 的一个法向量(0,0,1)m 故3cos,3| |n mn mnm 所以二面角的余弦值为3.3 （）解：设(4,0,0)FMxMx则因为翻折后，C 与 A 重合，所以 CM=A M故，2

20、22222(6)80( 2)2(2 2)xx 得214x 经检验，此时点 N 在线段 BG 上所以21.4FM 方法二： （）解：取截段 EF 的中点 H，AF 的中点 G，连结，NH，GHA G因为及 H 是 EF 的中点，A EA F所以H/EF。A又因为平面EF平面 BEF，A所以H平面 BEF，A又平面 BEF，AF 故，A HAF又因为 G，H 是 AF，EF 的中点，易知 GH/AB，所以 GH，AF于是面GHAF A所以为二面角DFC 的平面角，A GHA精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业在中，Rt A GH2 2,2,2 3A HGHA G所以3cos.3A GH故二面

21、角DFC 的余弦值为。A33 （）解：设，FMx因为翻折后，G 与重合，A所以，CMA M而222228(6)CMDCDMx222222222(2 2)(2)2A MA HMHA HMGGHx得214x 经检验，此时点 N 在线段 BC 上，所以21.4FM 7. 解：（）证： ABAC，D 为 BC 的中点，BCAD PO平面 ABC POBC，而 POAD=OBC平面 ADP APBC（）当 CMAP 时，二面角 A-MC-B 为直二面角，2 5OBOC6PBPC41ABAC5AP AM平面 MBC平面 AMC平面PABPACAMCAMBAMMB MBC2541 363cos2 54141

22、PAB 3cos41341AMPAB AB方法二：精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业8. （）因为，分别是，的中点，所以是的中位线，所以MNPBPDMNPBD / /MMBD 又因为平面，所以MN ABCD 平面/ /MMABCD（）方法一： 连结交于，以为原点，所在直线为，轴，建立空ACBDOOOCODxy间直角坐标系，如图所示Oxyz 在菱形中，得ABCD120BAD ，2 3ACAB36BDAB 又因为平面，所以PA ABCD PAAC 在直角中，得PAC2 3AC 2 6PA AQPC ，2QC 4PQ 精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业 由此知各点坐标如下， ，(3

23、, 0, 0)A (0,3, 0)B ，( 3 , 0, 0)C(0,3, 0)D ，(3 , 0, 2 6)P 33(,6)22M ，33(,6)22N 32 6(, 0,)33Q 设为平面的法向量( , )x y zmAMN 由，知33(,6)22AM 33(,6)22AN 336022336022xyzxyz 取，得1x (2 2 , 0,1)m 设为平面的法向量( , )x y znQMN 由，知5 336(,)623QM 5 336(,)623QN 5 33606235 3360623xyzxyz 取，得5z (2 2 , 0,5)n 于是 33cos,| |33m nm nmn|

24、所以二面角的平面角的余弦值为AMNQ3333精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业 方法二： 在菱形中，得ABCD120BAD ，ACABBCDA3BDAB 有因为平面，所以PA ABCD ，PAABPAACPAAD 所以PBPCPD 所以PBCPDC 而，分别是，的中点，所以MNPBPD ，且MQNQ1122AMPBPDAN 取线段的中点，连结，则MNEAEEQ ，AEMNQEMN 所以为二面角的平面角AEQAMNQ 由，故2 3AB 2 6PA 在中，得AMN3AMAN132MNBD 3 32AE 在直角中，得PACAQPC ，2 2AQ 2QG 4PQ 在中，得PBC2225cos2

25、6PBPCBCBPCPB PC 222cos5MQPMPQPM PQBPC 在等腰中，得MQN5MQNQ3MN 22112QEMQME 在中，得AEQ3 32AE 112QE 2 2AQ 22233cos233AEQEAQAEQAE QE精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业 所以二面角的平面角的余弦值为AMNQ33339. 方法一：（）取中点，在线段上取点，使得，连结，BDOCDF3DFFCOPOFFQ 因为，所以，且3AQQC/ /QFAD14QFAD 因为，分别为，的中点，所以是的中位线，OPBDSMOPBDM所以，且/ /OPDM12OPDM又点是的中点，所以，且MAD/ /OPA

26、D14OPAD从而，且/ /OPFQOPFQ所以四边形为平行四边形，故OPQF/ /FQQF又平面，平面，所以平面PQ BCDOF BCD/ /PQBCD（）作于点，作于点，连结CGBDGGHBMHCH 因为平面，平面，所以，AD BCDCG BCDADCG 又，故平面，CGBDADBDDCG ABD又平面，所以BM ABDCGBM 又，故平面，所以，GHBMCGGHGBM CGHGHBMCHBM 所以为二面角的平面角，即CHGCBMD60CHG 设BDC 在中，Rt BCDcos2 2cosCDBD ，cos2 2cos sinCGCD 2sin2 2sinBGBC 在中，Rt BDM22

27、3sin3BG DMHGBM 在中，Rt CHG3costan3sinCGCHGHG 所以tan3 从而，即6060BDC方法二：（）如图，取中点，以为原点，BDOOODOP所在射线为，轴的正半轴，建立空间直角坐标系yzOxyz精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业 由题意知，(02 2)A，(02 0)B，(02 0)D， 设点的坐标为，因为，所C00(0)xy，3AQQC以003231()4442Qxy， 因为是的中点，故又是的中点，故MAD(02 1)M，PBM1(0 0)2P， 所以00323(0)444PQxy ， 又平面的一个法向量为，故BCD(0 0 1)a ，0PQ a 又

28、平面，所以平面PQ BCD/ /PQBCD（）设为平面的一个法向量()mx y z，BMC由，知00(21)CMxy ，(0 2 2 1)BM ，00( 2)02 20 x xyyzyz取，得1y 002(1 2 2)ymx，又平面的一个法向量为，于是BDM(1 0 0)n ， ，002002|1|cos|=2|29yxm nm nm nyx ，即 （1）20023yx又，所以，故BCCD0CB CD ，0000(20) (20)0 xyxy ，即 （2）22002xy精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业联立（1） ， （2） ，解得（舍去）或0002xy 006222xy 所以00ta

29、n32xBDCy又是锐角，所以BDC60BDC10（1）因为，平面，平面， / /ADBCAD ADEFBC ADEF所以平面， 3 分/ /BCADEF又平面，平面平面，BC BCEFBCEF ADEFEF所以 6 分/ /BCEF（2）在平面内作于点，ABCDBHADH 因为平面，平面，所以，DE ABCDBH ABCDDEBH 又，平面，ADDE ADEFADDED所以平面，BH ADEF所以是三棱锥的高 9 分BHBDEF在直角三角形中，所以，ABHo60BAD2AB 3BH 因为平面，平面，所以，DE ABCDAD ABCDDEAD又由（1）知，且，所以，所以，12 分/ /BCEF

30、/ /ADBC/ /ADEFDEEF所以三棱锥的体积 14 分BDEF11131 133326DEFVSBH 11. 如图，以为正交基底，建立空间直角坐标系1,CA CB CC Cxyz则，所以，(1,0,0)A(0,1,0)B1(1,0,2)A1(0,1,2)B1(0,1,2)CB ( 1,1,0)AB ，1( 1,1,2)AB 1(1, 1,2)BA （1）因为，111111330cos,1065CBBACB BACB BA 所以异面直线与夹角的余弦值为1BA1CB3010 4 分（2）设平面的法向量为，1CAB( , , )x y zm则 即110,0,ABCB mm20,20,xyzy

31、z 取平面的一个法向量为；1CAB(0,2, 1)m 所以二面角平面角的余弦值为 10 分1BABC105H（第 16 题图）FACDEBxyz（第 22 题图）ABCA1B1C1精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业12. （1）证明：因为，是的中点12ADBCNBC所以，又ADNC/ /ADBC所以四边形是平行四边形，所以ANCDANDC又因为等腰梯形，60ABC所以 ，所以四边形是菱形，所以ABBNADANCD1302ACBDCB所以，即90BACACAB由已知可知 平面平面，C BAABC因为 平面平面C BAABCAB所以平面 4 分AC ABC（2）证明：因为， / /ADBC

32、/ /ADBC ,ADADA BCBCB所以平面平面/ /ADDBCC又因为平面,所以 平面 8 分C NBCC/ /C NADD（3）因为平面,同理平面，建立如图如示坐标系AC ABCAC ABC设，1AB 则, ，9 分(1,0,0)B(0, 3,0)C(0,0, 3)C13( ,0)22N则，( 1,0, 3)BC (0,3, 3)CC 设平面的法向量为，有 ，得 C NC( , , )nx y z0BC n 0C C n ( 3,1,1)n 设平面的法向量为，有ANC),(zyxm 0, 0mACmAN 得 12 分)0 , 1 , 3(m所以 13 分55cosnmmn由图形可知二面角为钝角AC NC所以二面角的余弦值为 14 分AC NC55xzyACDBNDC精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业13. （I）AD / BC，