函数新定义问题训练

1、精选优质文档-倾情为你奉上函数中的定义型问题训练一、选择题 1.定义方程f(x)f(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新不动点”，如果函数g(x)x2(x(0，)，h(x)sinx2cosx，x(0，)，(x)2x的“新不动点”分别为、，那么、的大小关系是()A<< B<< C<< D<<2.对于函数f(x)，若存在常数a0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)f(2ax)，则称f(x)为准偶函数下列函数中是准偶函数的是()Af(x) Bf(x)x2 Cf(x)tanx Df(x)cos(x1)3.定义两个实数间的一种新运算“*”：x*yl

2、g(10x10y)，x，yR.对于任意实数a，b，c，给出如下结论：(a*b)*ca*(b*c)；a*bb*a；(a*b)c(ac)*(bc)其中正确结论的个数是()A 0 B 1 C 2 D 34.设函数yf(x)在(，)内有定义，对于给定的正数k，定义函数：，取函数，若对任意的x(，)，恒有，则()Ak的最大值为2 Bk的最小值为2 Ck的最大值为1 Dk的最小值为15.对于区间a，b上有意义的两个函数f(x)与g(x)，如果对于区间a，b中的任意实数x均有|f(x)g(x)|1，那么称函数f(x)与g(x)在区间a，b上是密切函数，a，b称为密切区间若m(x)x23x4与n(x)2x3在

3、某个区间上是“密切函数”，则它的一个密切区间可能是()A 3,4 B 2,4 C 2,3 D 1,4二、填空题 6.若直线l与曲线C满足下列两个条件：(1)直线l在点P(x0，y0)处与曲线C相切；(2)曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C.下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)直线l：y0在点P(0,0)处“切过”曲线C：yx3；直线l：x1在点P(1,0)处“切过”曲线C：y(x1)3；直线l：yx在点P(0,0)处“切过”曲线C：ysinx；直线l：yx在点P(0,0)处“切过”曲线C：ytanx；直线l：yx1在点P(1,0)处“切过”曲线C：yln

4、x.7.给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f(x)存在，且导函数f(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f(x)(f(x).若f(x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数以下四个函数在上不是凸函数的是_(把你认为正确的序号都填上)f(x)sinxcosx； f(x)lnx2x； f(x)x32x1； f(x)xex.8.已知函数yf(x)(xR)，对函数yg(x)(xI)，定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数yh(x)(xI)，yh(x)满足：对任意xI，两个点(x，h(x)，(x，g(x)关于点(x，f(x)对称若h(x)是g(x)关于f(x)3x

5、b的“对称函数”，且h(x)>g(x)恒成立，则实数b的取值范围是_9.给定区间D，对于函数f(x)，g(x)及任意的x1，x2D(其中x1>x2)，若不等式f(x1)f(x2)>g(x1)g(x2)恒成立，则称函数f(x)相对于函数g(x)在区间D上是“渐先函数”已知函数f(x)ax2ax相对于函数g(x)2x3在区间a，a2上是渐先函数，则实数a的取值范围是_10.函数f(x)的定义域为D，对D内的任意x1、x2，当x1<x2时，恒有f(x1)f(x2)，则称f(x)为非减函数已知f(x)是定义域为0,1的非减函数，满足f(0)0，对任意x0,1，有f(1x)f(x

6、)1，对于x0，恒成立，则的值为_三、解答题 11.对于定义在D上的函数yf(x)，若同时满足(1)存在闭区间a，bD，使得任取x1a，b，都有f(x1)c(c是常数)；(2)对于D内任意x2，当x2a，b时，总有f(x2)>c.称f(x)为“平底型”函数判断f1(x)|x1|x2|，f2(x)x|x2|是否是“平底型”函数？简要说明理由12.已知实数kR，且k0，e为自然对数的底数，函数，g(x)f(x)x.(1) 如果函数g(x)在R上为减函数，求k的取值范围；(2) 如果k(0，4，求证：方程g(x)0有且只有一个根xx0；且当x>x0时，有x>f(f(x)成立；(3)

7、 定义： 对于闭区间s，t称差值ts为区间s，t的长度； 对于函数g(x)，如果对任意x1、x2s，tD(D为函数g(x)的定义域)，记h|g(x2)g(x1)|，h的最大值称为函数g(x)在区间s，t上的“身高”问：如果k(0，4，函数g(x)在哪个长度为2的闭区间上“身高”最“矮”？13.设a是实数，函数f(x)ax2(a1)x2lnx（1）当a1时，求函数f(x)的单调区间；（2）当a2时，过原点O作曲线yf(x)的切线，求切点的横坐标；（3）设定义在D上的函数yg(x)在点P(x0，y0)处的切线方程为l：yh(x)，当xx0时，若0在D内恒成立，则称点P为函数yg(x)的“巧点”当a

8、时，试问函数yf(x)是否存在“巧点”？若存在，请求出“巧点”的横坐标；若不存在，说明理由14.若存在实数x0与正数a，使x0a，x0a均在函数f(x)的定义域内，且f(x0a)f(x0a)成立，则称“函数f(x)在xx0处存在长度为a的对称点”(1) 设f(x)x33x22x1，问是否存在正数a，使“函数f(x)在x1处存在长度为a的对称点”？试说明理由；(2) 设g(x)x(x0)，若对于任意x0(3，4)，总存在正数a，使得“函数g(x)在xx0处存在长度为a的对称点”，求b的取值范围15.已知函数f(x)x2(a2)xalnx.(1)当a1时，求函数f(x)的极小值；(2)当a1时，过

9、坐标原点O作曲线yf(x)的切线，设切点为P(m，n)，求实数m的值；(3)设定义在D上的函数yg(x)在点P(x0，y0)处的切线方程为l：yh(x)，当xx0时，若在D内恒成立，则称P为函数yg(x)的“转点”当a8时，试问函数yf(x)是否存在“转点”？若存在，请求出“转点”的横坐标；若不存在，请说明理由16.若斜率为k的两条平行直线l，m经过曲线C的端点或与曲线C相切，且曲线C上的所有点都在l，m之间(也可在直线l，m上)，则把l，m间的距离称为曲线C在“k方向上的宽度”，记为d(k)(1)若曲线C：y2x21(1x2)，求d(1)；(2)已知k>2，若曲线C：yx3x(1x2)

10、，求关于k的函数关系式d(k)17.已知函数f(x)x1lnx.(1)求函数f(x)的最小值；(2)求证：当nN*时，；(3)对于函数h(x)和g(x)定义域上的任意实数x，若存在常数k，b，使得不等式h(x)kxb和g(x)kxb都成立，则称直线ykxb是函数h(x)与g(x)的“分界线”设函数h(x)x2，g(x)ex1f(x)，试问函数h(x)与g(x)是否存在“分界线”？若存在，求出常数k，b的值；若不存在，说明理由18.对于函数f(x)，若存在实数对(a，b)，使得等式f(ax)·f(ax)b对定义域中的每一个x都成立，则称函数f(x)是“(a，b)型函数”(1)判断函数f

11、(x)4x是否为“(a，b)型函数”，并说明理由；(2)已知函数g(x)是“(1,4)型函数”，当x0,2时，都有1g(x)3成立，且当x0,1时，g(x)x2m(x1)1(m>0)，试求m的取值范围函数中的定义型问题训练答案解析1.【解析】由定义，令g(x)xx2，得2；对于h(x)sinx2cosx，x(0，)，令h(x)cosx2sinxsinx2cosx，得(，)；对于(x)2x，令(x)22x，得1.故<<，选C.2.【解析】由f(x)f(2ax)知f(x)的图象关于xa对称，且a0，A，C中两函数图象无对称轴，B中函数图象对称轴只有x0，而D中当ak1(kZ)时，

12、xa都是ycos(x1)的图象的对称轴故选D3.【解析】因为a*blg(10a10b)，故(a*b)*clg(10a10b)*clg(10lg(10a10b)10c)lg(10a10b10c)，同理a*(b*c)a*(lg(10b10c)lg(10a10lg(10b10c)lg(10a10b10c)，故“*”运算满足结合律；据定义易知运算符合交换律；(a*b)clg(10a10b)clg(10a10b)lg 10clg(10a10b)10clg(10ac10bc)(ac)*(bc)，故结论成立综上可知正确4.【解析】对任意x(，)，恒有fk(x)f(x)成立，即f(x)k恒成立，f(x)ex1

13、，当x>0时，f(x)<0;当x>0时，f(x)>0，f(x)在(，0)上单调递增，在(0，)上单调递减，从而f(x)在x0时取到最大值f(0)1，f(x)k恒成立，k1，故选D.5.【解析】|m(x)n(x)|1|x25x7|1，解此绝对值不等式，得2x3.故在区间2,3上|m(x)n(x)|的值域为0,1，|m(x)n(x)|1在2,3上恒成立，故选C.6.【解析】中由yx3得y3x2.又当x0时，切线斜率为0，故函数yx3在点(0,0)处的切线方程为y0.结合图象知正确中由y(x1)3得y3(x1)2.又当x1时，切线斜率为0，故函数y(x1)3在点(1,0)处的

14、切线方程为y0，故不正确中由ysinx得ycosx.又当x0时，切线斜率为1，故函数ysinx在点(0,0)处的切线方程为yx.结合图象知正确中由ytanx得y.又当x0时，切线斜率为1，故函数ytanx在点(0,0)处的切线方程为yx.结合图象知正确中由ylnx得y.又当x1时，切线斜率为1，故函数ylnx在点(1,0)处的切线方程为yx1，结合图象可知不正确7.【答案】【解析】对于，f(x)(sinxcosx)，x时，f(x)<0;对于，f(x)，在x时，f(x)<0;对于，f(x)6x，在x时，f(x)<0;对于，f(x)(2x)·ex在x时，f(x)>

15、0恒成立，所以f(x)xex不是凸函数8.【答案】(，)【解析】由已知得3xb，所以h(x)6x2b.h(x)>g(x)恒成立，即6x2b>，3xb>恒成立在同一坐标系内，画出直线y3xb及半圆y(如图所示)，可得>2，即b>，故答案为(，)9.【答案】【解析】设ax2<x1a2，由题意知f(x1)f(x2)>g(x1)g(x2)恒成立，即aax1(aax2)>2x13(2x23)恒成立，即a(x1x2)(x1x21)>2(x1x2)因为x1>x2，故不等式转化为a(x1x21)>2恒成立因为ax2x1a2，所以2a1x1x21

16、a5，故当a>0时，不等式恒成立转化为a(2a1)2，即2a2a20，解得a；当a<0时，a(2a5)2，即2a25a20，解得a.所以a的取值范围是.10.【答案】1【解析】对任意x0，有f(x)x，f()×；对任意x0,1，有f(1x)f(x)1，f()f()1.f(x)在0,1)上为非减函数，f()f()1f()，f()，f()，f().对任意x，有f()f(x)f()，f(x)(x)，<<< f()f()，f()f()1.11.【解析】f1(x)|x1|x2|是“平底型”函数，存在区间1,2使得x1,2时，f(x)1，当x<1或x>2

17、时，f(x)>1恒成立；f2(x)x|x2|不是“平底型”函数，不存在a，bR使得任取xa，b，都有f(x)常数12.【解析】(1) x在R上为减函数， g(x)110恒成立，即k恒成立，当且仅当ex，即x0时，的最小值为4， k4.(2) 由(1)知：k(0，4时，g(x)在R上为减函数，又g(0)0>0，g(4)4， k4， (k4)e44<0,g(4)<0, g(x)0在(0，4)上有一个根xx0.又g(x)为减函数， g(x)0有且只有一个根xx0. g(x)为减函数， x>x0时，有 g(x)<g(x0)0，即f(x)-x<0,x>f(

18、x)，又f(x)=为增函数， x>f(f(x)（3） 设，且，由（1）知，时，在上为减函数， 其中，当且仅当，即时，函数在长度为2的闭区间上“身高”最“矮”13.【答案】（1）当a1时，f(x)(x0)，由f(x)0得：；由f(x)0得：0x所以，f(x)的单调增区间为(，)，单调减区间为(0,) （2）当a2时，设切点为M(m，n) f(x)4x3(x0)，所以，切线的斜率k4m3又直线OM的斜率为，所以，4m3，即m2lnm10，又函数ym2lnm1在(0,)上递增，且m1是一根，所以是唯一根，所以，切点横坐标为1（3）a时，由函数yf(x)在其图象上一点P(x0,y0)处的切线方程

19、为：y(x0)(xx0)x02x02lnx0令h(x)(x0)(xx0)x02x02lnx0，设F(x)f(x)h(x)，则F(x0)0且F(x)f(x)h(x)x(x0)(xx0)()(xx0) (x)当0x02时，x0，F(x)在(x0,)上单调递增，从而有F(x)F(x0)0，所以，；当x02时，x0，F(x)在(,x0)上单调递增，从而有F(x)F(x0)0，所以，因此，yf(x)在(0，2)和(2，)上不存在“巧点”当x02时，F(x)，所以函数F(x)在(0,)上单调递减所以，x2时，F(x)F(2)0，；0x2时，F(x)F(2)0，因此，点(2，f(2)为“巧点”，其横坐标为2

20、14.【解析】解：(1) 由f(1a)f(1a)，得(1a)33(1a)22(1a)1(1a)33(1a)22(1a)1.即a(a1)(a1)0. a0， a1.(2) 令g(x)c，得xc，即x2cxb0.(*)由题意，方程(*)必须有两正根，且两根的算术平均值为x0. c0，b0，c24b0，x0.则0b对一切x0(3，4)均成立 b的取值范围是(0，915.(1)当a1时，f(x)2x3，当时，f(x)>0；当时，f(x)<0;当x>1时，f(x)>0.所以当x1时，f(x)取极小值2.(2)f(x)2x1(x>0)，所以切线的斜率k2m1，整理得m2lnm

21、10.显然m1是这个方程的解又因为yx2lnx1在(0，)上是增函数，所以方程x2lnx10有唯一实数解，故m1.(3)当a8时，函数yf(x)在其图像上一点P(x0，f(x0)处的切线方程为h(x)(xx0)10x08lnx0.设F(x)f(x)h(x)，则F(x0)0，则F(x)f(x)h(x)(xx0).若,F(x)在上单调递减，所以当时，此时，若x0>2，则F(x)在上单调递减，当x时，F(x)>F(x0)0，此时，所以yf(x)在(0,2)和(2，)上不存在“转点”若x02时，则F(x)(x2)2，F(x)在(0，)上是增函数，当x>x0时，F(x)>F(x0

22、)0；当x<x0时，F(x)<F(x0)0，所以点P(x0，f(x0)为“转点”故函数yf(x)存在“转点”，且2是“转点”的横坐标16.【解析】(1)y2x21(1x2)的端点为A(1,1)，B(2,7)，y4x，由y1得到切点为，当k1时，与曲线C相切的直线只有一条结合题意可得，两条平行直线中一条与曲线C：y2x21(1x2)相切，另一条直线过曲线的端点B(2，7)平行的两条直线分别为：xy90和xy0.由两条平行线间的距离公式可得，d(1).(2)曲线C：yx3x(1x2)的端点A(1,0)，B(2,6)，y3x21所以曲线C在点A(1,0)处的切线斜率为2，在点B(2,6)

23、处的切线斜率为11. 设斜率为k且过点A的直线为，过点B的直线为，为曲线上斜率为k的切点.下面分两种情况：当k11时，由，得或. 因为C：yx3x(1x2)，所以切点不在曲线C上，则曲线C上的所有点都在之间，所以d(k)；当时，由，得，或. 因为C：yx3x(1x2)，所以有且只有一条斜率为k的直线与曲线C相切由，得切线方程为，即设、在轴上的截距分别为、，则，因为，所以因为，令，则所以设，因为，所以则函数上是单调递减函数，因为，所以在上恒成立，所以，则曲线上的所有点都在、之间.所以d(k).综上得,17.解析(1)f(x)x1lnx(x>0)，f(x)1.当x(0,1)时，f(x)<0，f(x)递减；当x(1，)时，f(x)>0，f(x)递增f(x)的最小值为f(1)0.(2)证明：由(1)知当x>0