轴向拉伸与压缩

1、第七章 轴向拉伸和压缩一、内容提要轴向拉伸与压缩是杆件变形的基本形式之一，是建筑工程中常见的一种变形。(一)、基本概念1. 内力 由于外力的作用，而在构件相邻两部分之间产生的相互作用力。这里要注意产生内力的前提条件是构件受到外力的作用。2. 轴力 轴向拉（压）时，杆件横截面上的内力。它通过截面形心，与横截面相垂直。拉力为正，压力为负。3. 应力 截面上任一点处的分布内力集度称为该点的应力。与截面相垂直的分量称为正应力，与截面相切的分量称为切应力。轴拉（压）杆横截面上只有正应力。4. 应变 单位尺寸上构件的变形量。5. 轴向拉（压） 杆件受到与轴线相重合的合外力作用，产生沿着轴线方向的伸长或缩短

2、的变形，称为轴向拉（压）。6. 极限应力 材料固有的能承受应力的上限，用0表示。7. 许用应力与安全系数 材料正常工作时容许采用的最大应力，称为许用应力。极限应力与许用应力的比值称为安全系数。8. 应力集中 由于杆件截面的突然变化而引起局部应力急剧增大的现象，称为应力集中。(二)、基本计算1. 轴向拉（压）杆的轴力计算求轴力的基本方法是截面法。用截面法求轴力的三个步骤：截开、代替和平衡。求出轴力后要能准确地画出杆件的轴力图。画轴向拉（压）杆的轴力图是本章的重点之一，要特别熟悉这一内容。2. 轴向拉（压）杆横截面上应力的计算任一截面的应力计算公式 等直杆的最大应力计算公式 3. 轴向拉（压）杆的

3、变形计算虎克定律 虎克定律的适用范围为弹性范围。泊松比 4. 轴向拉（压）杆的强度计算强度条件塑性材料： max脆性材料： tmaxtcmaxc强度条件在工程中的三类应用（1）对杆进行强度校核在已知材料、荷载、截面的情况下，判断max是否不超过许用值，杆是否能安全工作。（2）设计杆的截面在已知材料、荷载的情况下，求截面的面积或有关尺寸。 （3）计算许用荷载在已知材料、截面、荷载作用方式的情况下，计算杆件满足强度要求时荷载的最大值。再由FN与外荷载FP的关系求出FP。强度计算是本章的重点，要能灵活地运用强度条件解决工程中的三类问题。(三)、 材料的力学性质材料的力学性质是指材料在外力作用下所表现

4、出来的强度和变形方面的特性。它是通过实验来测定的。本章仅介绍了在常温、静荷载作用下两类代表性材料（塑性材料低碳钢，脆性材料铸铁）的性质。学习这部分内容时要从应力应变图入手。材料的力学性质是解决强度、刚度问题的重要依据。学习重点是掌握低碳钢的应力应变图，了解力学性质指标。二、思考题提示或解答7-1简述轴向拉（压）杆的受力特点和变形特点。判断图示杆件中，哪些属于轴向拉伸？哪些属于轴向压缩？各杆自重均不计。（空12行） 思7-1图答：轴拉（压）杆受力特点：作用于杆上外力（或外力的合力）作用线与杆轴线重合 变形特点：纵向伸长或缩短a）全段轴向拉伸；b）柱上段轴向压缩，下段可能不是轴向压缩；c）全段轴向

5、压缩；d）BC为二力轴压杆。7-2什么是轴力？简述用截面法求轴力的步骤。答：轴力与杆轴线相重合的内力。截面法求轴力的步骤：1） 截开：用假想的截面，在要求内力的位置处将杆件截开，把杆件分为两部分。2） 代替：取截开后的任一部分为研究对象，画受力图。画受力图时，在截开的截面处用该截面上的内力代替另一部分对研究部分的作用。3）平衡：由于整体杆件原本处于平衡状态，因此被截开后的任一部分也应处于平衡状态。根据作用在该部分上的力系情况，建立平衡方程，从而可求出截面上的内力。7-3 正应力的“正”指的是正负的意思，所以正应力恒大于零，这种说法对吗？为什么？答：这种说法不对。正应力的“正”指的是正交的意思，

6、即垂直于截面。其本身有正负规定：拉为正，压为负。7-4 力的可传性原理在研究杆件的变形时是否适用？为什么？答：不适用。因为应用力的可传性原理会改变杆件各部分的内力及变形。7-5 什么是危险截面、危险点？对于等截面轴向拉（压）杆而言，轴力最大的截面一定是危险截面，这种说法对吗？答：危险截面应力最大的截面； 危险点应力最大的点；破坏往往从危险截面上的危险点开始。 对于等截面轴向拉（压）杆而言，轴力最大的截面一定是危险截面，这种说法正确。7-6 内力和应力有何区别？有何联系？答：（1）两者概念不同：内力是杆件受到外力后，杆件相连两部分之间的相互作用力；应力是受力杆件截面上某一点处的内力分布集度，提及

7、时必须明确指出杆件、截面和点的位置。（2） 两者单位不同： 内力kN、kN·m，同力或力偶的单位；应力N/m2或N/mm2，Pa（帕）或MPa（兆帕）。（3）两者的关系：整个截面上各点处的应力总和等于该截面上的内力。在弹性范围内，应力与内力成正比。7-7 两根材料与横截面面积均相同，受力也相同的轴向拉（压）杆只是横截面形状不同，它们的轴力图是否相同？横截面上的应力是否相同？答：轴力图相同，横截面上的应力也相同。（并且变形也相同）7-8 低碳钢拉伸时的应力应变图可分为哪四个阶段？简述每个阶段对应的特征应力极限值或出现的特殊现象；分析图示三种不同材料的应力应变图，回答：哪种材料的强度高？

8、哪种材料的刚度大？哪种材料的塑性好？（空7行） 思7-8图答：低碳钢拉伸时的应力应变图可分为四个阶段（1）弹性阶段 在此阶段材料的变形是完全弹性的，在此范围内卸载后，试件能恢复原长。弹性阶段的最高点对应的应力值为弹性极限，用e表示。（2）屈服阶段 进入屈服阶段后，由于材料产生了显著的塑性变形，应力应变关系已不是线性关系了。若试件表面光滑，可以看到在试件表面出现了一些与杆轴线大约成45°的倾斜条纹，通常称之为滑移线。在此阶段应力基本不变但应变显著增加。屈服阶段对应的特征应力值为屈服极限，用s表示。（3）强化阶段 经过屈服阶段后，材料的内部结构重新得到了调整，材料又恢复了抵抗变形的能力，

9、要使试件继续变形就得继续增加荷载。强化阶段对应的特征应力极限值为强度极限，用b表示。（4）缩颈阶段 在试件某一段内的横截面面积将开始显著收缩，出现颈缩现象。16Mn钢强度高（曲线高）；16Mn钢刚度大（曲线线斜率大）；黄铜塑性好（延伸率大）。7-9 有一低碳钢试件，由实验测得其应变= 0.002，已知低碳钢的比例极限p=200MPa，弹性模量E = 200GPa，问能否由拉（压）虎克定律= E·计算其正应力？为什么？答：能否用胡克定律计算正应力，要看这个低碳钢试件是否在弹性阶段。先计算出应力达到比例极限时对应的线应变 而现在测得应变=0.002，已超出弹性范围，胡克定律也就不再适用了

10、。7-10 塑性材料与脆性材料的主要区别是什么？什么是延伸率？塑性材料、脆性材料的延伸率各自在何范围内？延伸率是不是衡量材料塑性大小的唯一指标？答：塑性材料与脆性材料的主要区别是拉伸试验中有无屈服现象。断裂后的标距长度l1与原标距长度l 的差值除以原标距长度l的百分率称为材料的延伸率，用符号表示。5%为塑性材料，5%为脆性材料。延伸率不是衡量材料塑性大小的唯一指标。截面收缩率也是指标之一。7-11 现有低碳钢和铸铁两种材料，在图示结构中，AB杆选用铸铁，AC杆选用低碳钢是否合理？为什么？如何选材才最合理？答：不合理。对实际结构进行受力分析可知：AB为二力拉杆，AC为二力 （空6行12字）压杆。

11、由此可见，AC杆应选用铸铁。 思7-11图7-12 一圆截面直杆，受轴向拉力作用，若将其直径变为原来的2倍，其它条件不变。试问： 轴力是否改变？ 横截面上的应力是否改变？若有改变，变为原来的多少倍？ 纵向变形是否改变？若有改变，是比原来变大还是变小了？答：（1）轴力不会改变；（2）根据，面积变为4倍后，应力变为原来的四分之一；（3）根据，变形也变为原来的四分之一。7-13 什么是极限应力？许用应力？安全系数？工作应力？并回答：塑性材料和脆性材料的极限应力各指什么极限？答：极限应力 材料能承受的最大应力； 许用应力 极限应力除以一个大于1的系数后，作为构件最大工作应力所不允许超过的数值。 安全系

12、数 一个大于1的系数，因塑性材料与脆性材料不同而异； 工作应力 杆件受力后实际应力的最大值。 塑性材料的极限应力指屈服极限； 脆性材料的极限应力指强度极限。7-14 材料经过冷作硬化处理后，其力学性能有何变化？答：材料经过冷作硬化处理后，提高了弹性极限以及屈服极限，在提高承载力的同时降低了塑性，使材料变脆、变硬，易断裂，再加工困难等。7-15 分别写出轴向拉（压）杆件用塑性材料和脆性材料时的强度条件，并简述强度条件在工程中的三类应用。答：塑性材料抗拉、压强度条件 脆性材料抗拉强度条件 t脆性材料抗压强度条件 c 强度条件在工程中的三类应用，即强度校核、设计截面、确定许用荷载。7-16 什么是应

13、力集中？答：因杆件截面尺寸的突然变化而引起局部应力急剧增大的现象，称为应力集中。三、习题解答7-1 求图示各杆指定截面上的轴力。解a) 1-1截面，截开取左，如图所示。列平衡方程，可得 FN1 = -30 kN 2-2截面，截开取右，如图所示。列平衡方程，可得 FN 2= 20 kN（空16行） 题解7-1图a 题解7-1图bb) 2-2截面，截开取右，如图所示。列平衡方程，可得 FN 1= -3 FP 1-1截面，截开取右，如图所示。列平衡方程，可得 FN 2= - FPc) 1-1截面，截开取上，如图所示。列平衡方程，可得 FN 1= -60 kN 2-2截面，截开取上，如图所示。列平衡方

14、程，可得 FN 2= -260 kN（空12行） 题解7-1图c 题解7-1图dd）1-1截面，截开取上，如图所示。列平衡方程，可得 FN 1= 0 2-2截面，截开取上，如图所示。列平衡方程，可得 FN 2= - FP7-2 画图示各杆的轴力图，并求|FNmax|。（各杆均不考虑自重）解 a)、b)、c) 各杆轴力图如图所示（空22行）题7-2图由图可知 a) | FNmax | = 50 kNb) | FNmax | = 18 kNc) | FNmax | = 250 kN d）图中AB、AC都是二力杆。根据平衡条件可得 FNAB = 200 kN（拉） FNAC = -200 kN（压）

15、 | FNmax | = 200 kN7-3 画图示各杆的轴力图，并找出危险截面。（各杆均考虑自重，设杆的横截面面积均为A，材料的重度均为）。 （空14行）题7-3图解：各杆考虑自重，所以应纳入轴力的计算，利用截面法计算各控制截面轴力。 a) 截面A FNA = - FP 截面B FNB = -（FP +AH） 并且两截面间轴力呈线性变化，可作出轴力图如图示。截面B为危险截面。 b) 截面C FNC = 0截面B下端 FNB 1= AH 截面B上端 FNB2 = FP + AH 截面A FNA = FP +2 AH并且三个截面间轴力呈线性变化，可作出轴力图如图所示。截面A为危险截面。7-4 判

16、断下列各杆的轴力图是否正确，若有错，指出错在哪里，并加以改正。 （空10行14字） 题7-5图解：a) 错误。FN 图与杆截面没有上下对正。 b) 错误。BC段FN 图应画在x轴下方。 c) 错误。FN 图中未标数值。 d) 错误。BC段轴力应为10 kN。 正确的图形标于原图下方或旁边，如图所示。7-5 图示三角支架中，AB杆为圆截面，直径d = 25mm，BC杆为正方形截面，边长a = 80mm，FP =30kN，求在图示荷载作用下AB杆、BC杆内的工作应力。（空22行） 题7-4图解：（1）求轴力。AB、BC杆均为二力杆，根据几何关系可求出 FNAB = 60kN FNBC = 30kN

17、 = 51.96kN （2）计算工作应力。 AB杆：mm2 = 491 mm2 MPa =122.2MPa（拉） BC杆：mm2 = 6400 mm2 MPa = -8.21MPa（压）7-6、各杆的横截面及荷载情况如图所示。求各杆横截面上的最大工作拉应力和最大工作压应力。解：a) 先画出轴力图，如图所示。（空12行） 题7-6图a 计算最大工作应力 拉应力（AB段） MPa = 382.2MPa 压应力（BC段） MPa = -95.5MPa b) 先画出轴力图，如图所示。（空12行） 题7-6图b 计算最大工作应力 压应力（AB段） MPa = -66.7MPa 拉应力（BC段） MPa

18、=127.4MPa7-7 钢杆的受力情况如图所示，已知杆的横截面面积A = 4000mm2，材料的弹性模量E=200GPa，试求： 杆件各段的应力 杆的总纵向变形 （空12行16字） 题7-7图解：（1）先画出轴力图，如图所示。 （2）计算各段应力 MPa = -10MPa MPa = -15MPa （3）计算纵向变形7-8 拉伸试验时，低碳钢试件的直径d =10mm，在标距l =100mm内的伸长量l = 0.06mm，材料的比例极限P = 200MPa，弹性模量E = 200GPa。求试件内的应力，此时杆所受的拉力是多大？解：（1）计算线应变 （2）计算应力 =E=200×103

19、×0.0006MPa =120Mpa <=200MPa （3）计算杆受的拉力 F =A=（120×25）N= 9425N = 9.425kN7-9 若低碳钢的弹性模量E1=210GPa，混凝土的弹性模量E2 = 28GPa。求： 在正应力相同的情况下，低碳钢和混凝土的应变的比值。 在线应变相同的情况下，低碳钢和混凝土的正应力的比值。 当线应变=-0.00015时，低碳钢和混凝土的正应力。解：（1）根据胡克定律 即 所以 与弹性模量成反比 （2）仍根据胡克定律 即 所以 与弹性模量成正比 （3） 7-10、一根直径d=20mm，长度l=1m的轴向拉杆，在弹性范围内承受轴

20、向拉力FP=80kN，材料的弹性模量E=2.1×105MPa，泊松比=0.3。试求该杆的纵向变形l和横向变形d。（空7行） 题7-10图解：根据胡克定律 7-11、图示结构为石油钻井用的A型井架，架高H=28m，风荷载q=3kN/m，斜杆AB的长度l=5m，倾角=60°，由两根20a的工字型钢组成。若材料的许用应力为=160MPa。试校核拉杆AB的强度。（井架的宽度可略去不计）。 （空14行18字） 题7-11图解：（1）画出井架受力简图如b所示 kNkN （2）强度校核 查附表 20 a工字钢 < 由此可知，拉杆AB满足强度要求。7-12、若用钢索起吊一钢筋混凝土管

21、，起吊装置如图所示，若钢筋混凝土管的重量FW=15kN，钢索直径d=40mm，许用应力=10MPa。试校核钢索的强度。（空14行） 题7-12图解：（1）取吊钩A为研究对象，画出受力图如b所示，根据几何关系可知钢索拉力 （2）强度校核< 由此可见，钢索满足强度要求。7-13、图示结构中，AC、BD两杆材料相同，许用应力=160MPa，AC杆为圆截面，BD杆为一等边角钢，弹性模量E = 200GPa，荷载FP = 60kN。试求： AC杆的直径。 BD杆的角钢型号。（空12行） 题7-13图解：（1）先画出杆AB的受力图如b所示。根据杆AB的平衡，可求出杆AC、BD的轴力。 （2）设计杆A

22、C。根据强度条件，确定杆AC面积，进而确定直径。 即 取 （3）设计杆BD，根据强度条件，确定杆BD面积，再查附表选择角钢型号。 查附表，选用 36×4， A=275.6mm2 或选用 45×3， A=265.9mm27-14、图中木构架受集中荷载FP=15kN，斜杆AB采用正方形截面，木材的许用应力=3MPa，试确定AB杆截面的边长。（空12行） 题7-14图解：（1）先画出杆CD的受力图如b所示。根据杆CD的平衡，即可求出杆AB的轴力。 （2）根据强度条件，确定杆AB的面积，进而确定其边长。 即 取。7-15、图中所示为建筑工程中某雨蓬的计算简图，沿水平梁的均布荷载q=

23、10kN/m，BC杆为一拉杆，材料的许用应力=160MPa，若斜拉杆BC由两根等边角钢组成。试选择角钢的型号。（空12行） 题7-15图解：（1）先画出杆AC的受力图如b所示。根据杆AC的平衡，即可求出杆AC的轴力。 （2）根据强度条件，确定杆AC的面积，再查附表选择角钢型号。 查附表，可选用220×3， A=2×113.2mm2=226.4mm27-16、一正方形截面混凝土柱如图所示，设混凝土的重度=20kN/m3，柱顶荷载FP=300kN，容许压应力c=2MPa。试根据柱的正应力条件选择截面边长a。（空12行） 题7-16图解：工程中对较长的、材料容重较大而材料强度不高

24、的构件，都应考虑构件的自重影响。本题属于这种情况。求解时应将柱看作是在轴向压力FP及自重共同作用下的等直杆。（1）计算柱的轴力 柱的轴力沿高度呈直线规律变化柱顶 FP=300kN柱底 轴力图c所示。（2）设计柱的截面 由强度条件 得 而边长 取 7-17、一装置简图如图所示，自重不计，拉绳AB的截面面积A=400mm2，许用应力=60MPa。试根据拉绳AB的强度条件确定容许重量FW。（空10行） 题7-17图解：（1）先画出整个结构的受力简图如b所示，根据几何关系可得 再由平衡条件 （2）根据强度条件，确定杆AB的许用荷载，进而计算出容许重量W。 kN所以 kNkN即 kN7-18、图示为一拉杆结构，AC杆的横截面积 AAC = 600mm2，材