非线性方程求根

1、第7章 非线性方程求根本章主要内容：1.区间二分法.2切线法.3.弦位法.4.一般迭代法.重点、难点 一、区间二分法 区间二分法是求方程f(x)=0根的近似值的常用方法。 基本思想：利用有根区间的判别方法确定方程根的区间a,b ,将有根区间平分为二；再利用有根区间的判别方法判断那一个区间是有根区间；重复上述步骤，直到小区间端点差的绝对值小于等于精度要求的数值，则用将上一区间的分半值作为方程的根的近似值。区间二分法的计算步骤如下：1. 计算区间端点的函数值f(a) , f(b)（不妨设f(a)0,f(b)0）； 确定初始有根区间a,b. 2.二分有根区间a,b，并计算 取 3.判断： 若，则方程

2、的根为； 若 ，则有根区间为 ；令若 ，则有根区间为；令 4. 如果b-a<（为误差限），则方程的根为；否则转向步骤2，继续二分有根区间a1,b1，并计算中点值，继续有根区间的判断，直到满足精度要求为止，即bn-an< 二分次数的确定：如果给定误差限，则需要二分的次数可由公式 确定应二分的次数。例1 用区间二分法求方程在某区间内实根的近似值（精确到0.001） 【思路】参见上述区间二分法的计算步骤 解 f(1.8)=-0.1680, f(1.9)=0.3590 f(x)在区间1.8 ，1.9内有一个根。由公式 取n=6， 计算结果列表如下：nanbnxnf(xn)11.81.91.

3、85+21.81.851.825-31.8251.851.8375+41.8251.83751.83125-51.831251.83751.834375+61.831251.8343751.8328125则方程在区间1.8，1.9内所求近似值为x* x = 1.8328125 区间二分法的优点是计算程序简单，只要f(x)在区间a,b上连续，区间二分法就可使用，但区间二分法不能用来求偶次重根，由于区间二分法收敛比较慢，在实际计算中，区间二分法常用来求比较好的含根区间和初始近似值，以便进一步使用收敛更快的迭代法求出更精确的近似值。迭代序列收敛阶的概念设迭代序列收敛于，如果存在实数与正常数c，使得

4、，则称序列是阶收敛于。特别地，当时，称序列为线性（一次）收敛； 为线性收敛时，必须要求。当时，称序列为平方（二次）收敛；当时，称序列为超线性收敛； 收敛阶越大，则序列与的误差缩减越快，也就是序列收敛越快。 二、切线法(牛顿法) 1. 切线法的基本思想：假设方程f(x)=0在区间a,b上有唯一根x*,过曲线y= f(x)上的一点（x0,f(x0)），作曲线的切线，用此切线与x轴的交点的横坐标x1作为方程的根x*的新的近似值, 再过点（x1,f(x1)），作曲线的切线，则又得到新的近似值,按此方法进行迭代计算，直到满足精度要求为止。 切线法(牛顿法)的迭代公式为 2.切线法的收敛性 我们利用定理（

5、7.1）来判断切线法的收敛性。定理（7.1）还给出了一个初始值x0的选择方法，定理7.1. 设f(x)在a,b上存在二阶连续导数，且满足条件 f(a)f(b)< 0； f /(x) 在a,b上不等于零 （3）f /(x) 在a,b上不变号 则对任意初值x0a,b ，只要满足f(x0) f /(x)0. 则由切线法迭代公式得到的近似根序列平方收敛于方程f(x)=0在区间a,b的唯一根x*。2. 切线法的计算步骤：先判断有根区间a,b，然后选择初始值x0（一般地，若f/(x)>0，则选择区间的右端点；若f/(x)< 0，则选择区间的左端点），再建立迭代公式进行计算（列表计算）。例

6、2 用切线法求例1中方程在1，2内根的近似值，精确到0.000001 【思路】根据f(x0)f/(x)>0在有根区间上选择初始值x0，代入迭代公式进行计算 解 计算得n01234xn11.8571428571.834787351.8342435041.834243185 例3 证明 计算的切线法迭代公式为 （n=0,1,）解 因为计算等同于求方程的根，将，代入切线法迭代公式得： 三 、弦位法 1. 弦位法的基本思想：假设方程f(x)=0在区间a,b上有唯一根x*,在区间a,b内的曲线y= f(x)上任取两点作弦，用此弦与x轴的交点横坐标作为方程根的近似值。按此方法进行迭代计算，直到满足精

7、度要求为止。 弦位法分为单点弦法和双点弦法。 2.单点弦法 建立弦的迭代公式时，固定其中一个点，而另一个点变动的迭代求根方法。单点弦法的迭代公式 （1）单点弦法的收敛性 利用定理7.2判断其收敛性。单点弦法收敛所满足条件和切线法的收敛条件相同，不同的是单点弦法迭代公式所产生的序列是线性收敛于f(x)=0在区间a,b上有唯一根x* 。我们计算时应注意，在选择固定点c时，也要求满足条件 。 （2）单点弦法的计算步骤同切线法类似。3双点弦法 建立弦的迭代公式时，两个点都变动的迭代求根方法。双点弦法的迭代公式为: （1）双点弦法收敛性 利用定理（7.3）判断。f(x)在a,b上满足的条件为: f(a)

8、f(b)< 0; f/(x)0 KR1,其中K=M2/2m1, M2 = maxf/(x), m1 = minf/(x), R=maxx0-x*，x1-x*. 则以a,b为初始值， 由双点弦法迭代公式得到的序列超线性收敛于方程f(x)=0在区间a,b的唯一根x*。 （2）双点弦法的计算步骤同切线法类似。但在计算时应注意收敛性的判断和初始值的选 择。 例4 试导出计算的单点弦法迭代公式，并用它计算，准确到。解 因为计算等同于求方程 的正根，令 ，代入单点弦法迭代公式，得： 例5 分别用单点弦法和双点弦法求方程 在1，2内根的近似值， 精确到10-3【思路】参见单点弦法和双点弦法的计算步骤

9、解 方法一. 单点弦法方法二. 双点弦法 四、 一般迭代法 一般迭代法的基本思想：若方程f(x)=0在区间a,b上有唯一根x*,将方程变形为同解方程x=（x），且（x）连续，则建立迭代公式xn+1=（xn）(n=0,1,)。 设x0是方程的一个近似根, 将它代入迭代公式进行迭代，求出的一系列近似根，直到满足精度要求为止。 1. 一般迭代法的迭代公式： 2.一般迭代法的收敛性 建立一般迭代法的迭代公式可以有许多方法，但是有些迭代公式产生的迭代序列不收敛，所以判断迭代公式的收敛性就十分重要。我们利用定理（7.4）判断一般迭代法的收敛性问题。 3. 一般迭代法的计算步骤同切线法类似。计算时也应注意收

10、敛性的判断和初始值的选择。例6 设证明 由 ，得到的序列收敛于 。证明 由 ，两式相减，应用中值定理得 由 得 。例7 用一般迭代法求方程在区间0，1内的根，要求xn+1-xn10-4 【思路】 根据所给方程找一个能表示为x=（x）的同解方程,建立迭代式，并判断方程近似根的敛性.选取初始近似根x0(一般选有根区间的端点值),然后逐次迭代, 直到满足精度要求为止。 解第8章 常微分方程数值解法 本章主要内容： 1欧拉法、改进欧拉法. 2龙格-库塔法。 3单步法的收敛性与稳定性。 重点、难点 一、微分方程的数值解法在工程技术或自然科学中，我们会遇到的许多微分方程的问题，而我们只能对其中具有较简单形

11、式的微分方程才能够求出它们的精确解。对于大量的微分方程问题我们需要考虑求它们的满足一定精度要求的近似解的方法，称为微分方程的数值解法。本章我们主要讨论常微分方程初值问题的数值解法。 数值解法的基本思想是：在常微分方程初值问题解的存在区间a,b内，取n+1个节点a=x0x1xN=b （其中差hn= xn xn-1称为步长，一般取h为常数，即等步长），在这些节点上把常微分方程的初值问题离散化为差分方程的相应问题，再求出这些点的上的差分方程值作为相应的微分方程的近似值（满足精度要求）。 二、欧拉法与改进欧拉法 欧拉法与改进欧拉法是用数值积分方法对微分方程进行离散化的一种方法。 将常微分方程变为 1欧

12、拉法（欧拉折线法）欧拉法是求解常微分方程初值问题的一种最简单的数值解法。欧拉法的基本思想：用左矩阵公式计算（）式右端积分，则得欧拉法的计算公式为：欧拉法局部截断误差或简记为O（h2）。我们在计算时应注意欧拉法是一阶方法，计算误差较大。欧拉法的几何意义：过点A0（x0，y0），A1（x1，y1），A n（x n，y n ），斜率分别为f（x0，y0），f（x1，y1），f（x n，y n）所连接的一条折线，所以欧拉法亦称为欧拉折线法。例1用欧拉法解初值问题 在x0 (0.2) 1处的近似解。（计算过程保留4位小数）。 【思路】 用欧拉法求解常微分方程的初值问题时，首先熟练掌握欧拉公式的

13、一般形式， 根据具体题目写出找出欧拉公式的迭代式，并根据初始条件和所给步长进行迭代求解。 解 f(x，y)2xy ，h0.2，欧拉公式为： 列表计算如下：nxnyny(xn)y(xn)-yn0011010.210.9608-0.039220.40.920.8521-0.067930.60.77280.6977-0.075140.80.58730.5273-0.06510.39940.3679-0.0315 2改进欧拉法 改进欧拉法比欧拉法的计算准确，是对欧拉法的改进。改进欧拉法的基本思想：用梯形公式计算（）式右端积分，则得改进欧拉法的计算公式为： 利用改进欧拉法计算常微分方程初值问题时，我们应

14、注意此公式为隐式表达式，需要对它进行迭代求解。计算时可以采用一次迭代和多次迭代，因此，就有改进欧拉法预估-校正法公式和反复迭代的改进欧拉法预估-校正法公式。改进欧拉法预估-校正法公式： 反复迭代的改进欧拉法预估-校正法公式： 改进欧拉法的局部截断误差或简记为O（h3）。从局部截断误差的形式看，改进欧拉法是二阶方法，因此，它比欧拉法更精确。例2用预估-校正法求初值问题 在x=0（0.2）1的解。【思路】掌握预估-校正法的计算公式，根据已知条件迭代求解。解 步长h=0.2，将代入预估-校正公式，整理得列表计算如下：nx ny ny(x n)001110.20.807200.8046320.40.6

15、36900.6314530.60.490480.4891840.80.377800.37720510.291030.29100 例3用改进欧拉法求解例1的初值问题,要求。 【思路】掌握改进欧拉法的计算公式，根据已知条件迭代求解，并检验迭代解是否满足精度要求，若满足则确定此解为常微分方程在某点的近似解。 解 将代入改进欧拉法的计算公式得： 列表计算如下：ny(xn)y(xn)-yn0011111010.210.960.96160.96150.9608-0.000720.40.88460.85230.85490.85490.8521-0.002830.60.71810.70030.70250.70

16、220.6977-0.004540.80.53370.53250.53270.53270.5273-0.0054510.36220.37500.37250.37300.3679-0.0051 三、龙格-库塔法 1龙格-库塔法龙格-库塔法具有精度高、收敛、稳定，不需要计算高阶导数等优点，是求解微分方程初值问题的一组著名的显示单步方法，广泛应用于求解常微分方程的初值问题。本章我们介绍了二、三、四阶龙格-库塔法。龙格-库塔法的基本思想： 在计算初值问题的数值解时，考虑均差，则由微分中值定理可得， 由初值问题可得公式为：上式中称为区间上的平均斜率。如果给平均斜率一种计算方法，就可得到计算y（x n+1

17、）的近似值yn+1的公式。 如果仅取处的斜率值作为平均斜率的近似值，则得到的的公式为欧拉公式； 如果取处的斜率值，的平均值作为平均斜率的近似值，则得到的的公式改进欧拉公式。 二阶龙格-库塔法的公式和局部截断误差：在上式中选择不同的参数，会得到不同的二阶龙格-库塔法公式，所以二阶龙格-库塔法公式不唯一。二阶龙格-库塔法公式的局部截断误差为（h3）。常见的二阶龙格-库塔法公式有以下两种改进欧拉法迭代公式 三阶龙格-库塔法的公式和局部截断误差： 常见的三阶龙格-库塔法公式为 三阶龙格-库塔法公式的局部截断误差为（h4）。 四阶龙格-库塔法公式 通常所说的龙格-库塔法是指四阶龙格-库塔法，也称为标准龙

18、格-库塔法。由于它是一步法，（即已知，就可以求出，无需知道，的值）且它的计算精度高，所以应用较多，但在计算时，因为每一步都需要计算四次f（x，y）的值，计算量较大，所以，一般用来计算前几项的近似值，即“表头”。四阶龙格-库塔法公式为的公式和局部截断误差： 四阶龙格-库塔法的局部截断误差为（h5）。 四、单步法的收敛性和稳定性 1收敛性 如果在无舍入误差且步长h充分小的情况下，求得的近似值足够精确地逼近真解 ，即：当时，一致地有 欧拉法整体截断误差：其中为真解，为在无舍入误差情况下，从y0用欧拉法计算公式求得的近似解。 欧拉法的收敛条件：如果f(x,y)关于y满足Lipschitz条件，且局部截断误差Rn有界，即则欧拉法收敛。且欧拉法的整体截断误差估计式为： 其中L为Lipschitz常数，b-a为求解区间的长度，。 3.稳定性和绝对稳定性 稳定性：指初始（或某步）产生的误差在后面的迭代计算中不会再扩大。即存在常数C及h0,0hh0时，对任意两个初始值满足不等式 。 欧拉法稳定性的条件：如果f(x,y)关于y满足Lipschitz条件，则欧拉法稳