销售额的回归模型

1、销售额回归模型 20098511 袁少伟摘要公司销售额是对公司综合收益的一个重要表现，某公司希望通过公司与全行业销售额进行对比来对公司未来销售额进行预测。我们利用统计回归的方法，建立了回归模型，并利用MATLAB软件进行模型的求解与分析，再通过对模型进行变换，建立了优化后的回归模型。针对问题一:利用已知数据绘制散点图并建立起来线性回归模型，其拟合度是非常的好，看起来是合适的。针对问题二：利用残差作为随机误差的估计值，从的散点图，能够从直观上定性的判断随机误差存在自相关性；也可以用检验法去定量判断，对于本文中，由，随机误差存在自相关性。因此，模型是不可取的。针对问题三：为了消除随机误差存在的自相

2、关性，我们对模型进行优化变换后得到新的模型：，再对此模型用检验法进行判定，由于 ，随机误差无自相关性，因此，这个模型就可以作为预测公司的销售额的问题的回归模型。关键词： 回归模型 时间序列 拟合 自相关性 检验 一、 问题重述某公司想用全行业的销售额作为自变量来预测公司的销售额，附录I给出了1977-1981年公司销售额和行业销售额的分季度数据（单位：百万元）。（1） 画出数据的散点图，观察用线性回归模型拟合是否合适。（2） 建立公司销售额对全行业销售额的回归模型，并用DW检验诊断随机误差项的自相关性。（3） 建立消除了随机误差项自相关性后的回归模型。年季t公司销售额y行业销售额x年季t公司销

3、售额y行业销售额x19771978197912341234121234567891020.9621.4021.9621.5222.3922.7623.4823.6624.1024.01127.3130.0132.7129.4135.0137.1141.2142.8145.5145.319791980198134123412341112131415161718192024.5424.3025.0025.6426.3626.9827.5227.7828.2428.78148.3146.4150.2153.1157.3160.7164.2165.6168.7171.7表1 某公司的销售额与全行业的销

4、售额二、模型假设：公司的第t次季度销售额：全行业的第t次季度销售额:模型I中的常量与系数：由模型求得的公司的第t次季度销售额：公司的第t次季度销售额的残差三、模型的建立与分析1. 绘制散点图 利用已知表格（表1）绘制出散点图，绘制方法及程序见附录图1 行业销售额与公司销售额数据的散点图 根据图1，可以看出行业销售额增大，公司销售额也增大，且具有一定的线性关系，初步判断应以一次线性曲线为拟合目标，即选择线性回归模型，则目标函数为：2. 模型分析 利用Matlab程序求解a，b。程序设计见附录。得到回归系数估计值；则拟合的线性回归模型I为：参数参数估计值置信区间,0.1793=0.99879 F=

5、1488.8 p=0.007拟合系数和的95%的置信区间分别为：-1.9047 -1.0048和1.9047 0.1793r 中的数据表示模型拟合残差向量；rint中的数据表示模型拟合残差的95%的置信区间；在states 的数据中表示包含方差分析的F统计量方差分析的显著性概率模型方差的估计值四、 自相关性诊断与处理从表面上看得到的基本模型I的拟合度非常之高（），应该很满意了。但是，这个模型并没有考虑到我们的数据是一个时间序列（即将表1的年份序号打乱，不影响模型I的结果）。实际上，在对时间序列数据做回归分析时，模型的随机误差项有可能存在相关性，违背模型关于（对时间）相互独立的假设。残差可以作为

6、随机误差的估计值，画出的散点图（图1），能够从直观上判断的自相关性。模型I的残差可以在计算中得到，如表2，数据的散点图如图2，可以看到，大部分点子落在第1,3象限，表明存在正的自相关。为了对的自相关性作定量诊断，并在确诊后得到新的结果，我们考虑如下模型：其中，是自相关系数， ，相互独立且服从均值为零的正态分布，t123456-0.0261 -0.0620 0.02200.16380.04660.0464t7891011120.0436-0.0584-0.0944-0.1491-0.1480-0.0531t131415161718-0.02290.10590.08550.10610.02910.

7、0423t1920-0.0442-0.0330表2 模型I的残差图2 模型I 的散点图根据模型I得到的残差计算统计量如下：图3 与值对应的自相关状态对于显著性水平，查D-W分布表，得到检验的临界值和。现在，由图2可以认为随机误差存在自相关。且正自相关系数的估计值对模型中的变量作变换：；.则模型I化为：；代入数据得到：将式中还原为原始变量得到结果即是模型II：；结果分析：根据模型II得到的残差计算统计量如下：现在，由图2可以认为随机误差无自相关，从机理上看，对于带滞后性的经济规律作用下的时间序列数据，加入自相关的模型II更为合理，而且在本题当中，衡量与实际数据拟合程度的指标剩余标准差从模型I的0

8、.36514减小到0.28329 。我们将模型II、模型I的计算值与实际数据的比较，以及两个模型的残差表示在表3中，可以看出模型II更合适一些。表3 模型I、模型II的计算值与残差五、模型评价与预测 通过对本文的分析，对于数据为时间序列的回归模型的建立后，必须检验随机误差是否存在自相关性。如果无自相关性，则可以用此模型进行预测：如果存在自相关性，则必须对模型进行变换，得到新的模型后重复上述步骤，直到无自相关性后，模型才可以进行预测。 用模型II对未来的公司的销售额进行预测时，需先估计未来的全行业一季度的销售额比如,设时，容易由模型II得到六、参考文献1何晓群，刘文卿.应用回归分析，北京：中国人

9、民大学出版社，20012姜启源等 编著，数学模型（第三版），北京：高等教育出版社，2003.83刘勇，白林 著 基于MATLAB的回归分析模型在经济预测分析中的应用 成都理工大学七、附录.由原始数据绘制散点图在EXCEL中建立输入数据，并根据数据绘制散点图，选择合适的坐标轴。. 模型分析在MATLAB中输入：% 构造资本论观测值矩阵mx=ones(20,1) ,x;alpha=0.05;% 线性回归计算b,bint,r,rint,states=regress(y,mx,alpha)输出结果：b = -1.4548 0.1763 bint = -1.9047 -1.0048 ； 0.1732 0

10、.1793r = -0.0261 -0.0620 0.0220 0.1638 0.0466 0.0464 0.0436 -0.0584 -0.0944 -0.1491 -0.1480 -0.0531 -0.0229 0.1059 0.0855 0.1061 0.0291 0.0423 -0.0442 -0.0330rint = -0.1954 0.1433 ; -0.2319 0.1078 ; -0.1529 0.1969 ; 0.0132 0.3143 ; -0.1288 0.2220 ; -0.1304 0.2231 ; -0.1352 0.2225 ; -0.2367 0.1198 ;

11、-0.2691 0.0803 ; -0.3136 0.0153 ; -0.3129 0.0169 ; -0.2323 0.1262 ; -0.2037 0.1578 ; -0.0664 0.2781 ; -0.0879 0.2589 ; -0.0621 0.2743 ; -0.1440 0.2023 ; -0.1287 0.2134 ; -0.2116 0.1233 ; -0.1972 0.1311rint = -0.1954 0.1433 ; -0.2319 0.1078 ; -0.1529 0.1969 ; 0.0132 0.3143 ; -0.1288 0.2220 ; -0.1304 0.2231 ; -0.1352 0.2225 ; -0.2367 0.1198 ; -0.2691 0.0803 ; -0.3136 0.0153 ; -0.3129 0.0169 ; -0.2323 0.126