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文档简介
1、高中数学竞赛培训专题讲座:重要不等式(一)一基础知识(1) 均值不等式设是个正实数,记,分别称为这个正数的调和平均,几何平均,算术平均和平方平均,则 ,等号成立当且仅当.特别地, (当且仅当时取等号); ,;.(2) Cauchy 不等式设 ,则 ,当且仅当或存在一个常数,使得时,等号成立.推论1:设 ,则 ;推论2:设,则.二例题精讲1已知都是正数.求证:.2. 若,证明:(1);(2) .3. 设为正实数,求证:.4. 已知为正实数,若,求证:.(2008全国高中数学联赛江苏省复赛试题)5. 求证:数列是单调递增数列.6. 设都是正数,证明:.7.设证明:8. 已知,.求证:.9.设是正实
2、数,且满足.证明:.10.设,.求证:.11. 设,证明:.12.已知实数满足,.求的最大值.13.设是一列互不相同的正整数,求证:.(第二十届IMO试题)14. 设为正数,且,又 证明:.15. 设实数是正数.求证:思考题1.求函数在上的最大值.2. 已知,.求证:.(2009年清华大学自主招生试题)3. 已知,关于的方程有一个实根,求的最小值.4. 设为正数,且 ,求证:. (2008年南开大学自主招生试题)5. 已知,求证:(华约自主招生试题)6. 若正数满足,求证:.7.设.求证:. (2014年北约自主招生试题)8. 设都为正数,且.求证:.9.设,且.求证:.10.已知都是正数,.证明:.(1976年英国数学奥林匹克试题)11.求证:数列是单调递减数列.12.设,证明:.(2003年全国高中数学联赛试题)13. 设是的一个排列.求证:.(2002年女子数学奥林匹克试题)14.设,且.求证:15. 已知实数均为正数且满足 求证:16. 设是整数.证明:.1
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