状态过程理想气体

1、6.1 状态 过程 理想气体6.1.1 气体的宏观描述1. 气体的状态参量：用来描述气体状态的变量。l l 压强P：垂直作用于容器器壁上单位面积上的力，是由分子与器壁碰撞产生的， 单位：Pa。l l 体积V：分子无规则热运动所能达到的空间，单位：m3。l l 温度T：表征气体分子热运动剧烈程度的物理量，单位：K。 描述气体的宏观平衡状态，是大量分子微观状态参量在足够长时间内的统计平均。图6-1 平衡态与平衡过程2. 平衡态与平衡过程l l 平衡态：在没有外界影响的条件下，系统状态参量长时间内不发生变化的状态，即“孤立系统热动平衡”。l l 平衡过程：系统状态变化所经历的所有中间状态都无限接近平

2、衡态的过程。3. 理想气体状态方程 理想气体：在任何情况下都遵守气体实验三定律及阿伏伽德罗定律的气体 状态方程： ，波耳兹曼常数状态方程适用条件：l l 理想气体； l l 平衡态。4. 用状态方程解题步骤l l 确定对象；l l 分析P、V、T（相当力学中受力分析）；l l 根据过程特点列方程；l l 解方程并讨论。6.2 分子热运动和统计规律6.2.1 气体的微观图象1. 分子观点 宏观物体由大量分子（原子）组成；分子本身有大小；分子之间存在一定的间隙。2. 分子运动观点 组成物质的分子在永不停息地作无规则运动，此运动与气体温度密切相关，称热运动。l l 证据：布朗运动、扩散现象、掺杂等l

3、 l 典型数据：平均速率 500m/s；平均路程 10-7 m；平均时间间隔10-10 s；每次碰撞时间10-13 s。l l 基本特征：分子的永恒运动和频繁的相互碰撞。6.2.2 分布函数和平均值 我们以人的身高为例，来引入分布函数的概念。图6-2 分布函数设N为总人数，dN(h)为身高在hh+dh间的人数。显然令 ，则。我们把 f(h)称为归一化分布函数。f(h)表征在单位高度内，身高为h的人数占总人数的比率。N个人的平均身高为： 推广至任一变量x有： 对具有统计性的系统来讲，总存在着确定的分布函数f(x)，因此，写出分布函数f(x)是研究一个系统的关键之处。6.3 气体动理论的压强公式图

4、6-3 分子间的相互作用力6.3.1 分子力观点 分子间有相互作用力,此力为短程力, 引力、视斥力距离而定。6.3.2 统计观点（平衡态时） 个别分子杂乱无章，大量分子集体行为有章可循。1) 分子速率分布；2) 朝各方向运动几率相等；3) 分子在空间各点几率相等，即 。 例证：伽尔顿板实验6.3.3 理想气体模型1) 宏观模型 满足气体实验三定律、或满足理想气体状态方程的宏观气体系统。2) 微观模型l l ，分子可视作质点，L为分子间距离，d为分子线度；l l 除碰撞瞬间，分子力为零；两次碰撞之间，分子作惯性运动；l l 分子与分子、分子与器壁碰撞为弹性碰撞；l l P不太高，T不太低。6.3

5、.4 统计假设（平衡态时）l l 分子向各方向运动机会相等；l l 分子数密度分布均匀；l l 分子速度在各方向分量平均值相等 。6.3.5 压强P的微观本质思想依据：理想气体微观模型和统计假设。图6-4 推导压强公式用图认为：压强是大量分子碰撞器壁在单位时间、作用于器壁单位面积的平均冲量；个别间歇性；大量持续。研究对象：立方容器：x, y, z 总分子数 N。平衡态：各处P相同，故只研究一个器壁 A1。先考虑一个分子撞击一次： 平均碰撞一次所用时间： 单位时间内碰撞次数： 单位时间内对A1面冲量： 单位时间内平均冲力：N 个分子单位时间内对A1面的平均冲力：对A1面的压强： 理想气体压强公式

6、：其中：为分子的平均平动动能。思考：为什么不考虑气体分子之间的碰撞？说明：l l P 是统计平均值“大量分子”；l l P 的微观本质；l l 分子平均平动动能概念，表征热运动剧烈程度。6.4 理想气体的温度公式6.4.1 分子平均平动动能 由状态方程 和压强公式得： 可见：从微观角度看，温度是分子大小的量度,表征大量气体分子热运动剧烈程度,是一统计平均值,对个别分子无意义。6.4.2 方均根速率 由： 可见：恒定时，T也是恒定的，所以温度是反映分子热运动剧烈程度的物理量，是一种统计量。6.5 能量均分定理、理想气体的内能6.5.1 运动自由度： 确定运动物体在空间位置所需要的独立坐标数目，称

7、为该物体的自由度图6-5 自由度1）质点的自由度空间：3个独立坐标；平面：2个独立坐标；直线：1个独立坐标。2）刚体的自由度质心位置：3（平动自由度）；转轴方位：2（转动自由度）；3）气体分子运动自由度单原子分子：3个平动自由度，i=3；双原子分子： 3个平动自由度，2个转动自由度，1个振动自由度，i=6；刚性双原子分子：i=5；图6-6 分子的自由度多原子分子：刚性： i=6。6.5.2 能量自由度 分子能量中，独立的速度和坐标的平方项数目6.5.3 能量按自由度均分定理 平动：分子在每个平动自由度上的平均动能相等，都等于kT/2推广： 平衡态时，任何一种运动或能量都不比另一种运动或能量更占

8、优势,在各个自由度上，运动的机会均等且能量均分。能量按自由度均分定理： 在温度为T的平衡态下，物质分子的任何一个能量自由度上均分配有kT/2 的平均动能。6.5.4 理想气体的内能 理想气体（刚性分子）的内能，是系统内全部分子的平动动能和转动动能之和。1mol理想气体的内能： 理想气体的内能： ，g为摩尔数。结论： ，理想气体的内能是温度的单值函数。6.6 麦克斯韦速率分布律6.6.1 实验图6-7 测定分子速率的实验装置示意图小孔充分小，改变w，测D上的沉积厚度，就可测气体速率分布。给定w 。 粒子速率分布实验曲线如图6-8所示。6.6.2 气体分子速率分布律（函数） 由于分子数目巨大且碰撞

9、频繁，故单个分子速率取值任意偶然。但又由分子平均平动动能公式知：温度T 一定时，大量分子的方均根速率却又是确定的。图68 分子速率分布实验曲线 说明：平衡态时，虽然单个分子的速率取值偶然，但大量分子的速率满足一定的统计规律。麦克斯韦从理论上得出如下规律： 满足归一化条件： 1. 速率分布的概念 分子可能的速率值： 速率区间：图6-9 不同温度下的速率分布曲线 使得： 内的分子数为，表示第i个速率间隔中的分子数占总分子数的百分比或表示单个分子速率值落在区间内的概率。实验证明： 平衡态时,分布在不同区间的不同,但却是确定的。2. 气体分子速率分布律 由实验知：与速率区间有关。当时，与无关，仅是的连

10、续函数，即速率分布函数 物理意义： 速率在v 附近单位速率间隔内的分子数占总分子数的百分比,或某分子速率出现在v 附近的单位速率间隔内的概率。归一化条件： 3. 三种速率：1）最概然速率（最可几速率）图6-10 速率区间的定义 与分子速率分布曲线的极大值对应的速率，2）平均速率 大量气体分子的速率的平均值， 图6-11 三种速率的比较（3）方均根速率4. 三种速率的比较如图6-11所示。已知f(v)是速率分布函数，说明以下各式的物理意义：（1）f(v)dv；（2）nf(v)dv，其中n是分子数密度；（3）；（4）（vp是最概然速率）。答：（1）f(v)dv表示某分子的速率在间隔内的几率。（2）

11、nf(v)dv表示单位体积内，分子速率在间隔内的分子数。（3）表示速率在v1v2间的分子对平均速率的贡献。（4）表示某分子的速率不大于vp的几率。设氢气的温度是300K，求速率在30003010ms1之间的分子数与速率在15001510ms1之间的分子数之比。解：氢气（H2）在温度T=300K时的最可几速率将麦克斯韦速率分布公式改写为式中所以速率在3000到3010间的分子数速率在1500到1510间的分子数所以 6.7 玻耳兹曼分布律 重力场中粒子按高度分布 在麦克斯韦速度分布率中，有一因子，即。假如气体分子有势能，。 玻耳兹曼推广：气体分子速度在区间， ， 位置在区间，分子数目为 。 玻耳

12、兹曼统计：温度T 的平衡状态下，任何系统的微观粒子按状态的分布，即在某一状态区间的粒子数与该状态区间的粒子的能量 E有关，而且与成正比。原子处于不同能级的原子数目图6-12 能级 重力场中的气体分子按位置分布：分子数处于位置区间， 令处，气体密度 气体密度随高度变化。恒温气压公式（高度计）： 设温度不随高度变化，即，由此式可知，根据压强变化可以测高度。因实际温度也随高度变化，故测大气高度有一定的范围，是近似测量。由上式可得高度h为： 6.8 分子的平均碰撞次数及平均自由程图6-13 平均碰撞次数和平均自由程计算用图 一个分子单位时间里受到的平均碰撞次数叫平均碰撞次数。 一个分子连续两次碰撞之间

13、经历的平均自由路程叫平均自由程。 则有平均碰撞次数Z 的导出： 设分子A 以相对平均速率运动，其它分子可设为静止。运动方向上，以 d 为半径的圆柱体内的分子都将与分子A 碰撞，该圆柱体的面积 s 就叫碰撞截面。 单位时间内分子 A 走，相应的圆柱体体积为 ， 则统计理论可计算平均自由程： 对空气分子，；标准状态下，。 特例：如果气体容器线度小于平均自由程计算值时，实际平均自由程就是容器线度的大小。6.9 气体内的迁移现象 系统各部分的物理性质，如流速、温度或密度不均匀时，系统处于非平衡态。非平衡态问题是至今没有完全解决的问题，理论只能处理一部分，另一部分问题还在研究中。图6-14 粘滞现象 最

14、简单的非平衡态问题：不受外界干扰时，系统自发地从非平衡态向物理性质均匀的平衡态过渡过程 - 迁移现象。 介绍三种迁移现象的基本规律：粘滞现象、热传导现象和扩散现象。6.9.1 粘滞现象： 现象：A盘自由，B盘由电机带动而转动，慢慢A盘也跟着转动起来。 解释：B盘转动因摩擦作用力带动了周围的空气层，这层又带动邻近层，直到带动A盘。这种相邻的流体之间因速度不同，引起的相互作用力称为内摩擦力，或粘滞力。 流速不均匀，沿 z 变化（或有梯度）不同流层之间有粘滞力流速大的流层带动流速小的流层，流速小的流层后拖流速大的流层。 设，dS的上层面上流体对下层面上流体的粘滞力为 df，反作用为df，这一对力满足

15、牛顿第三定律。实验测得 h 称为粘滞系数。图6-15 粘滞力 20 oC 时，水为 1.005 10-3 Pa s，空气为 1.71 10-7 Pa s。 用分子运动论应该可以从微观推导出上面公式。 微观上，这种粘滞力是动量传递的结果。下层：平均自由程的区域，单位时间通过 dS 面积，向上层输运动量的平均 x 分量 上层：平均自由程的区域，单位时间通过dS 面积，向下层输运动量的平均 x 分量 图6-16 粘滞力表达式推导用图 此处，u为Z坐标的函数。比较实验定律可得粘滞系数为：带入，h 与压强无关，只与温度有关 。结果支持了分子运动论。6.9.2 热传导 温度不均匀就有热传导。 图6-17

16、热传导现象设沿z方向有温度梯度，实验指出，dt 时间内，通过dS传递的热量为：负号表示热从温度高处向温度低处传递， k 为导热系数。微观推导与粘滞力情况相似，只是动量换成平均动能。其中：定容比热，为Z的函数。比较得： 6.9.3 扩散 密度不均匀就有扩散。图6-18 扩散现象 设沿 z 方向有密度梯度，实验指出，dt 时间内，通过 dS传递的质量为负号表示质量从密度高处向密度低处传递， D 为扩散系数。微观推导与粘滞力情况相似，只是密度不同。其中，n为 z的函数。6.10 真实气体、范德瓦尔斯方程图6-19 CO2的实验等温线 在非常温或非常压的情况下，气体就不能看成理想气体了。 实际气体的等

17、温线可以分成四个区域: 汽态区(能液化)，汽液共存区，液态区，气态区(不能液化)。饱和蒸汽压（汽液共存时的压强）与体积无关。 临界点以下汽体可等温压缩液化，以上气体不能等温压缩液化。 例：设P0=1atm，恒压下加热水，起始状态为a点。图6-20 水蒸气的等温线 ab：P = P0 不变，t 增加，直到到达 t =1000C的等温线上的b点。 这时液体中有小汽泡出现（汽化）。再继续加热，液体中有大量汽泡产生沸腾。但温度仍是t=1000C，它就是1大气压下水的沸点。 bc： 继续加热，水与水汽共存，温度保持不变，水吸收汽化热，直到全部变为水蒸气。 cd： 继续加热，水蒸气的温度升高。图6-21 分子力示意图如果在压强 P P0 的条件下加热水，因为饱和蒸汽压比较小，水的沸点也比较小，水在不到1000C的条件下保持沸腾状态（比如900C），温度上不去，饭就煮不熟。用高压锅制造一个局部高压，沸点就提高了。 实际气体要考虑分子大小和分子之间的相互作用，分子为刚性球，气体分子本身占有体积，容器容积应有修正,由v修正为v-b。对一摩尔气体：理论上 b 约为分子本身体积的 4 倍，估算 b 值10 -6 m3。 通常 b 可忽略，但压强