山东省届高中数学夏令营试题解答

1、山东省2022届高中数学夏令营数学竞赛试题参考答案(此题共5道小题，每题8分，总分值40分)1函数f(x) J 2x J3 2x的最大值是 ；(王泽阳 供题)解：f(x).、厂阪、歹芯 2、2 ,其等号仅当_V2X2X即x -时成立，2所以,f(x) 最大= 2 22如果自然数a的各位数字之和等于5,那么称a为“桔祥数，将所有桔祥数从小到大排成一列 內砂,an.假设an=2022那么n=.(王继忠 供题)解:设x1x - xm为桔祥数 那么X1+X2+Xm=5,由xi 1和X2,Xm?0得(X1- 1)+X2 +Xm=4,所以,x2xm为第cm 3个桔祥数.1x2xm为第2个桔祥数. 由此得:

2、一位桔祥数共1个,二位桔祥数共C54 5个,三位桔祥数共C： 15个, 因以1为首位的四位桔祥数共C6415个，以2为首位的前两个四位桔祥数为2003 和 2022.故 n=1+5+15+15+2=38.那么 f(2022)=3.f(x)是2022次多项式，当n=0,1，,2022时，f(n)(王林供题)12022!解:当 n=0,1，,2022 时，(n+1)f(n)=n,即多项式(x+1)f(x) -x 有 2022 个根,设(x+1)f(x)-x二ax(x-1)(x-2)(x- 2022).取 x=-1,那么 1= 2022!a.故a一、x(x 1)(x 2)(x 2022) x2022

3、!20222022 ,f (x), f (2022)1 .2022!(x 1)x 12022!2022202220224.将圆周上5个点按如下规那么染色：先任选一点染成红色，然后依逆时针方向,第1步转过1个间隔将到达的那个点染红，第2步转过2个间隔将到达的那个点染红，第k步转过k个间隔将到达的那个点染红一直进行下去，可得到个红点.(龚红戈供题)解：将5个点依次编号0 4可得3个红点.5.如图，设0,1分别为 ABC的外心、内心，且 B 60 , AB BC , A的外角平分线交。0于D，AD 18,那么0I解：连接BI并延长交。0于E,那么E为弧AC0E、AE、CE、0C，由 B 60，易知

4、A0E、 C0E 均为正三角形由内心的性质得知：AE IE CE所以A、0、I、C四点共圆，且圆心为E.再延长AI交。0于F ,0C(李耀文供题)DAF由题设知 D、0、F 共线，于是 0EI 2 0AI , A0D 2 AFD 2 0AI ,又 0A 0D 0E IE ,从而 0AD 坐 E0I ,故 01 AD 18.(此题共5道小题，每题20分，总分值100分)6证明:对任给的奇素数p,总存在无穷多个正整数n使得p|(n2n-1).(陈永高供题)证明:取n=(p- 1)k,那么由费尔马小定理知2(p 1)k 1(mod p)，所以，p|(n2n-1)(p 1)k ?2(p 1)k 1(m

5、od p) (p 1)k 1(mod p) k 1(modp).取 k=pr- 1(r N*),即 n=(p-1)(pr-1)，就有(p 1)k?2(p 1)k 1(mod p)即 p|(n2n-1).7.如图，P是矩形ABCD内任意一点，延长 BP交AD于E,延长DP交AB于F,延长CP交矩形的外接圆于G。求证：GE丄GF.(叶中豪 供题)FCB证法1:设CG交AD于Q,由/ GBA = Z GDA及A交于 R,由 AD / BR, AD=BCR -得BCFB BR/ AGB = Z CGD 知厶 ABG QDG。延长 DF、CBBC QE又由 CpB 0卩及厶RPB DPE得-由得Ab兽说

6、明F,E壯ABGAQDG的相似对应点，故得 FBGEDG.所以，/ FGB二/ EGD,Z FGE二/BGD=90,即GE丄GF.证法 2:联结 GB,GD,令/ GCB=，/ GCD=GB sin由正弦疋理得:-爲BPsin PBCDPsin PDCBFsin BFP sin PBCBFDE sin DEP sin PDC DE由/ GBF=Z GDE 得厶 FBGEDG.QEDAPFaCB所以，/FGB= / EGD, / FGE=Z BGD=90,即 GE丄GF.8.对于i,A2,Aio满足:(1)|A i|=36,i=1,2,10;(2) AiU AU U A。二A;(3) |A i

7、AA|=8,i工j.请说明理由.(刘裕文 供题)解:答案:存在.Cw120个,每个作为集合A的一个元素.对每个j=1,2,10,第j项为1的0,1数列恰有C； 36个,它们是集合A的36个元素.对每对i,j 1,2,10(i2,故 u1,v1.由4v2-3u2三1(mod8知u,v为奇数，直接计算得 Umin = 15,Vmin = 13,k=56,所以，m 最小=15 x 13=195,n 最小=337.10.设实系数三次多项式p(x) x3 ax2 bx c有三个非零实数根.3求证：6a3 10(a2 2b)2 12ab 27c.(李胜宏 供题)证明：设，为p(x)=0的三个根，由根与系数关系ab得：c3a2 2b 222 原式6a(a2 2b) 10(a2 2bf 27c32 2 2 2 2 2 6()() 10()227.假设2220,那么成立.假设2220,不妨设|III,由的齐次性，不妨设222 9,