中科院计算流体力学最新讲义CFD2011-第7讲-有限体积法1

1、计算流体力学讲义计算流体力学讲义2011 第七讲第七讲 有限体积法（有限体积法（1）李新亮李新亮 ；力学所主楼；力学所主楼219； 82543801 知识点：知识点： 1讲义、课件上传至讲义、课件上传至 (流体中文网）流体中文网） - “流体论坛流体论坛” -“ CFD基础理论基础理论 ”讲课录像及讲义上传至网盘讲课录像及讲义上传至网盘 http:/cid- by Li Xinliang 有限体积法的基本概念有限体积法的基本概念 无粘通量及粘性通量的计算无粘通量及粘性通量的计算 多块网格多块网格Copyright by Li Xinliang2知识回顾：知识回顾： Roe 格式格式0)(xtU

2、fUUf(U)AUAU, 0)(xUt)()(1LRjjU,UfU,Uf经常记为)U,(UALR平均斜率平均斜率线性化，以平均增长率代替瞬时增长率)(12/12/1jjjffxxf0 xtUAUj,j+1区间内)U)(UU,(UA)f(U)f(ULRLRLR连续，且连续，且可通过相似变换对角化可通过相似变换对角化)(UAU)(U,A)U,(UALR)U,(UALR 应当具有的性质应当具有的性质)U,(UALR11/2jSSRLRL11ff(U )f(U )(UU )22常系数方程的Riemann解RULU()/ 2()/ 2()/ 2LRLLRRLLRRuuuHHH Copyright by

3、Li Xinliang3知识回顾知识回顾2： LU-SGS0yxt(U)f(U)fU21011yxtnn)(Uf)(UfUU21n1nn1nnUUQ)()(21212111yxtyxtnnnnnnffffffQnRHSBQAQQntyxtnn1,11,1ijijijijiji jijijiji jijabcdeQQQQQRULDLUD1)()(1UDDLDRHSQQAQQAQtBytxtBytxtytxtjijijijijijijijiBAij1 1,1, 1, 11,1, 1, 1*Step 1: 求解1,1ijijijijiji jijadeQQQR1,1()/ijijijijiji ji

4、jdeaQRQQ111111/ aQRStep 2: 求解1,1ijijijijiji jijijabcaQQQQ1,1()/ijijijijijiji jijabcaQQQQ/mnmnmnaQRCopyright by Li Xinliang4 7.1 结构网格有限体积法结构网格有限体积法有限体积法主要优势：有限体积法主要优势： 处理复杂网格处理复杂网格差分法处理复杂外形差分法处理复杂外形 坐标变换坐标变换),(),(),(zzyyxx321321VVVffftU)(32111fffJfzyx),(),(1zyxJ坐标变换函数坐标变换函数必须足够光滑必须足够光滑 否则损失精度否则损失精度实际

5、问题：实际问题： 外形复杂，外形复杂， 光滑的结构网格生成困难光滑的结构网格生成困难差分法差分法有限体积法有限体积法优点优点简单、计算量小、易简单、计算量小、易于提高精度于提高精度本身包含几何信息，本身包含几何信息，易处理复杂网格易处理复杂网格不足不足差分离散与几何解耦，差分离散与几何解耦，难以处理复杂网格难以处理复杂网格复杂、不易提高精度复杂、不易提高精度Copyright by Li Xinliang51. 基本概念基本概念1） 控制体控制体节点（中心）型控制体与网格型控制体节点（中心）型控制体与网格型控制体Copyright by Li Xinliang62） 积分型控制方程积分型控制方

6、程vvtxyxy1212F (U)F (U)F (U)F (U)U在控制体上积分110IJvIJIJdsdsUF nF nt1IJIJUUdV 物理含义：物理含义： 控制体内总质量控制体内总质量/动量动量/能量的增加能量的增加 = 穿过控制体边界流入穿过控制体边界流入的净质量的净质量/动量动量/能量能量无粘通量粘性通量Copyright by Li Xinliang7n2122()()()xyxxnnxnynuuvuupFnF nnnuvvpEp uEp vuuupnvupnEp uF nnF n物理含义：物理含义： 单位时间内，无粘流动流过单位时间内，无粘流动流过垂直于垂直于n方向的单位面积

7、的质量、动量和方向的单位面积的质量、动量和能量能量nxyuunvn法向速度Copyright by Li Xinliang83）有限体积法中物理量的含义）有限体积法中物理量的含义1IJIJUUdV 4） 残差残差11RIJIJvIJIJdsds UF nF nt残差残差=净通量净通量=右端项右端项含义：含义： 控制体内的平均量控制体内的平均量（平均质量密度、平均动量密度、（平均质量密度、平均动量密度、平均能量密度）平均能量密度）控制体控制体几何中心处几何中心处的当地密度、的当地密度、动量密度、能量密度动量密度、能量密度二阶精度二阶精度近似近似Copyright by Li Xinliang92

8、. 无粘通量的计算无粘通量的计算dsF n常用方法常用方法 （流过（流过AB边的通量）：边的通量）： a. 利用周围点的值，计算出利用周围点的值，计算出(I+1/2,J) 点处的物理量；点处的物理量； b. 利用该处的物理量，计算出流过利用该处的物理量，计算出流过AB边的流通量边的流通量方法方法1： 中心型有限体积法中心型有限体积法1/2,1,12IJI JIJUUU人工粘性项人工粘性项1/2,1/2,()IJIJvisFF UCopyright by Li Xinliang10方法方法2： 迎风型有限体积法迎风型有限体积法Step 1: 利用（偏）左侧点及（偏）右侧点利用（偏）左侧点及（偏）

9、右侧点的值，计算出的值，计算出I+1/2,J点的值点的值1/2,1,1,(,)LLIJIJI JIJUgUUU1/2,1,2,(,)RRIJI JIJIJUgUUU计算方法：计算方法： 与差分法完全相同与差分法完全相同各种差分格式，均可直接使用各种差分格式，均可直接使用也称为也称为“差分格式差分格式”0uuatx1/21/21iiiuuuxx1/21/20:.0:.iiauau该过程称为该过程称为“重构重构”（很多文献中称为（很多文献中称为“插值插值”）有限体积与有限差有限体积与有限差分共通之处分共通之处, 可直可直接使用差分格式接使用差分格式Copyright by Li Xinliang1

10、1常见的差分格式：常见的差分格式：1/2111/211211/2minmod(,)1/2minmod(,)LIIIIIIRIIIIIIUUUU UUUUUU UU2阶NND格式minmod(a,b) : a,b符号相反时取0， 符号相同时取绝对值小的1/2111/212(52)/6(25)/6LIIIIRIIIIUUUUUUUU 3阶迎风1/211111/4 (1/3)()(1/3)()LIIIIIIUUssUUsUU3阶MUSCL格式111221 112()()()()IIIIIIIUUUUsUUUU1/21222121/4 (1/3)()(1/3)()RIIIIIIUUssUUsUU121

11、2221212()()()()IIIIIIIIUUUUsUUUUTVD, WENO, GVC, 保单调格式保单调格式610Copyright by Li Xinliang12重构方式：重构方式： 原始变量、守恒变量及特征变量原始变量、守恒变量及特征变量以NND格式为例：1/2111/211211/2minmod(,)1/2minmod(,)LIIIIIIRIIIIIIUUUU UUUUUU UU守恒变量重构uUvE1/2111/211211/2minmod(,)1/2minmod(,)LIIIIIIRIIIIIIqqqq qqqqqq qq原始变量重构uqvp1/2111/211211/ 2m

12、inmod(,)1/ 2minmod(,)LIIIIIIRIIIIIIVVVV VVVVVV VV特征变量重构1/2(1,0,1,2)I kII kVSUk 先算出先算出UI+1/2 (可用可用UI和和UI+1的算术平均或的算术平均或Roe平均），再平均），再利用该值算出利用该值算出SI+1/211/21/21/211/21/21/2LLIIIRRIIIUSVUSV （称为数值流通量）（称为数值流通量） 的含义的含义Copyright by Li Xinliang13重要概念澄清：重构与插值0)(xuftuA. 有限差分法：有限差分法：xffxfjjj2/12/1j+1/2切线切线j-1/2j

13、j-12/1jf)(2/1jxf2/1jf2/1jf 注意：注意： 与与 f 在在xj+1/2点的值含义不同！点的值含义不同！2/1jf用周围几个点的值用周围几个点的值 计算计算 的过程称为的过程称为“重构重构”，不能理，不能理解为用解为用 来来插值插值2/1jf jf jf)(2/1jxf记号记号 确实容易混淆，让人容易联想起确实容易混淆，让人容易联想起 。记为。记为 更好些更好些2/1jf)(2/1jxf2/1jf否则，最高只能否则，最高只能达到达到2阶精度了！阶精度了！ 是控制体内的平均值是控制体内的平均值 （称为数值流通量）（称为数值流通量） 的含义的含义Copyright by Li

14、 Xinliang14重要概念澄清：重构与插值0)(xuftuB. 有限体积法：有限体积法：02/12/1xfftujjjj+1/2j-1/2)(2/12/1jjxff2/1jf2/1)(2/12/1jxxjjfxuff确实为确实为f在在xj+1/2点的值点的值 ！ 通常做法：通常做法： 1） 用用 计算出计算出 2） ju2/1ju)(2/12/1jjuff)(2/12/1jjxuuu在xj+1/2点的值！关键：关键： 是用是用 计算计算 （称为（称为重构重构） ，而不是用，而不是用 计算计算 （是标准的（是标准的插值插值）；否则最高也只能达到）；否则最高也只能达到2阶精度。阶精度。 ju2

15、/1ju ju2/12/1)(1jjxxjdxxuxujuju1ju1ju2/1juCopyright by Li Xinliang15Step 2: 利用利用 ， 计算出通量计算出通量 n1/2,LIJU1/2,LIJU 方法方法1：流通矢量分裂：流通矢量分裂 （FVS）1/21/21/2()()LRIIIUUfff方法方法2：通量差分分裂：通量差分分裂 (FDS)通过通过Riemann解，获得通量解，获得通量可利用近似可利用近似Riemann阶（阶（Roe, HLL, HLLC)11/2RLRLISS11ff(U )f(U )(UU )22Roe格式：格式：1111,pvu2222,pvu

16、xyxy方法方法3： AUSM方法方法压力项单独处理，其余项类似压力项单独处理，其余项类似Van Leer 分裂分裂Copyright by Li Xinliangn小技巧：小技巧： 利用局部坐标系，计算通量时简化利用局部坐标系，计算通量时简化为为1维问题维问题ABx yxy1111,pvu2222,pvuyxyuvpuvp x y1111,u v p2222,u vp“扩展的”一维问题xx,y坐标系下的Riemann问题（二维）x,y 坐标系下的Riemann问题（一维）x, y 坐标系下，切向速度坐标系下，切向速度v表现相当于表现相当于被动标量被动标量Copyright by Li Xin

17、liang173. 粘性通量的计算粘性通量的计算110IJvIJIJdsdsUF nF nt1111211120( )PrRevpUCTuvx F1222212220( )PrRevpUCTuvyFjidivVxujixuxuiiijjiij),322(),(关键问题：关键问题： 计算计算yx , ,u v T 对对 的导数同样计算的导数同样计算Copyright by Li Xinliang18方法方法1. 利用利用Jacobian变换变换yx ,1/2,1/2,xxIJIJx1,1/2,IJI JIJ1/2,11/2,11/2,11,1,11,11214IJIJIJI JIJI JIJxy

18、xyJyJxJyJxJx yy x , x y, 1/2,1/2,yyIJIJy方法方法2. 利用利用Green积分公式计算积分公式计算1/2,1/2,IJIJdsdn1/2,1/2,1IJIJdsn最终公式与方法最终公式与方法1相同相同Copyright by Li Xinliang19 7.2 边界条件及网格分块边界条件及网格分块1. 边界条件的处理方法边界条件的处理方法常用方法：常用方法： 虚网格虚网格设置设置1或或2层虚网格（如果采用高层虚网格（如果采用高精度格式，需设置更多重虚网格）精度格式，需设置更多重虚网格）虚网格点上的值根据边界条件给定虚网格点上的值根据边界条件给定 绝热固壁边

19、界条件绝热固壁边界条件11111111ppuuvv 超声速入口边界条件超声速入口边界条件1111uuvvpp超声速出口边界条件超声速出口边界条件11111111ppuuvv 0111()2qqq( , , , )Tqu v pCopyright by Li Xinliang20亚声速入口边界条件亚声速入口边界条件外部计算域内部(,)Tquvp1q0q1q0111()2qqq( , , , )Tqu v p边界特征分析： 内点提供一个边界条件，外部提供其余边界条件n0111()2pppcVVn调节作用， 内点速度降低时，增加入口压力； 内点速度增加时，降低入口压力；2000000()/()/()

20、/xyppcuunppcvvnppcCopyright by Li Xinliang21亚声速出口边界条件亚声速出口边界条件外部计算域内部1q0q1q0111()2qqq( , , , )Tqu v p边界特征分析：特征分析： 外部提供一个边界条件；外部提供一个边界条件； 通常情况下，指定背压通常情况下，指定背压n0pp如果边界处压力比内点高，则边界如果边界处压力比内点高，则边界处密度增加，速度降低；处密度增加，速度降低； 如果边界压力比内点低，则边界处如果边界压力比内点低，则边界处密度降低，速度升高；密度降低，速度升高；2010101100110()/()/()/xyppcuunppcvvnppcpCopyright by Li Xinliang222. 多块网格多块网格复杂外形情况下，单块结构网格很难实现，需要由多块网格实现复杂外形情况下，单块结构网格很难实现，需要由多块网格实现Copyright by Li Xinli