第13章_非正弦周期电流电路

1、第十三章第十三章 非正弦周期电路分析非正弦周期电路分析2. 2. 非正弦周期函数的有效值和平均功率非正弦周期函数的有效值和平均功率l 重点重点3. 3. 非正弦周期电流电路的计算非正弦周期电流电路的计算1. 1. 周期函数分解为付里叶级数周期函数分解为付里叶级数6.1 6.1 非正弦周期信号非正弦周期信号 生产实际中不完全是正弦电路，经常会遇到非正弦周生产实际中不完全是正弦电路，经常会遇到非正弦周期电流电路。在电子技术、自动控制、计算机和无线电技期电流电路。在电子技术、自动控制、计算机和无线电技术等方面，电压和电流往往都是周期性的非正弦波形。术等方面，电压和电流往往都是周期性的非正弦波形。l

2、非正弦周期交流信号的特点非正弦周期交流信号的特点(1) (1) 不是正弦波不是正弦波 (2) (2) 按周期规律变化按周期规律变化例例1 1半波整流电路的输出信号半波整流电路的输出信号)()(kTtftf 例例2 2示波器内的水平扫描电压示波器内的水平扫描电压周期性锯齿波周期性锯齿波计算机内的脉冲信号计算机内的脉冲信号 Tt例例3 3基波（和原基波（和原函数同频）函数同频）二次谐波二次谐波（2 2倍频）倍频） 直流分量直流分量高次谐波高次谐波011112( )cos()cos()mkmkkf tAAtAk t6.2 6.2 周期函数分解为付里叶级数周期函数分解为付里叶级数 )cos()(111

3、0 tAAtfm )2cos(212 tAm )cos(1nnmtnA 周期函数展开成付里叶级数：周期函数展开成付里叶级数：sincos)(1110tkbtkaatfkkk tkbtkatkAkkkkm 111sincos )cos( 也可表示成：也可表示成：kkkkkmkkkmkkkkmabAbAabaAaA arctansin cos2200 系数之间系数之间的关系为的关系为011112( )cos()cos()mkmkkf tAAtAk t 20112011000)(sin)(1)(cos)(1)(1ttdktfbttdktfatdtfTaAkkT求出求出A0、ak、bk便可得到原函数便

4、可得到原函数f(t)的展开式。的展开式。系数的计算：系数的计算：频谱：频谱： 一个周期函数分解为傅氏级数，这种数学表达一个周期函数分解为傅氏级数，这种数学表达式虽然详尽而又准确的表达了周期函数的分解结果，式虽然详尽而又准确的表达了周期函数的分解结果，但很不但很不 直观：直观： 为了表示一个周期函数分解为傅氏级数后包含为了表示一个周期函数分解为傅氏级数后包含哪些频率分量及各分量所占的比重，用长度与各哪些频率分量及各分量所占的比重，用长度与各次谐波幅值大小相对应的线段，按频率的高低顺次谐波幅值大小相对应的线段，按频率的高低顺序把它们依次排列起来，这样的图形成为序把它们依次排列起来，这样的图形成为

5、的的频谱图。频谱图。( )f t幅度频谱幅度频谱 相位频谱相位频谱 的图形的图形 1mkAk的图形的图形 1kk101010( )5sinsin2sin323f tttt O104510210 2 34103kmAtT/2TSimI周期性方波信号的分解周期性方波信号的分解例例1解解图示矩形波电流在一个周期内图示矩形波电流在一个周期内的表达式为：的表达式为： TtTTtItiS2 020 )(m21)(102/0mTTmSOIdtITdttiTI 直流分量：直流分量：谐波分量：谐波分量： 20) (sin)(1tdtktibSKK为偶数为偶数K为奇数为奇数 kItkkImm20)cos1(020

6、01() cos()1sin0kSmaitkt dtIktksi的展开式为：的展开式为：)5sin513sin31(sin22 tttIIimmS ttt基波基波直流分量直流分量三次谐波三次谐波五次谐波五次谐波七次谐波七次谐波周期性方波波形分解周期性方波波形分解基波基波直流分量直流分量直流分量直流分量+基波基波三次谐波三次谐波直流分量直流分量+基波基波+三次谐波三次谐波)5sin513sin31(sin22 tttIIimmS tT/2TSimIIS01si3si5siIS01si3si5si等效电源等效电源 20200)(cos 0)(sinttdkttdk6.2 6.2 有效值、平均值和平

7、均功率有效值、平均值和平均功率1.1. 三角函数的性质三角函数的性质 （1）正弦、余弦信号一个周期内的积分为）正弦、余弦信号一个周期内的积分为0。k整数整数 （2）sin2、cos2 在一个周期内的积分为在一个周期内的积分为 。 )(cos )(sin202202ttdkttdk（3 3） 三角函数的正交性三角函数的正交性 0)(sinsin 0)(coscos0)(sincos202020 tdtptkttdptkttdptk pk 2. 非正弦周期函数的有效值非正弦周期函数的有效值01( )co s()kkki tIIkt若若则有效值则有效值:2020011( )1cos( )TTkkkI

8、itd tTIIktd tTttkIITITkkkdcos1201m0 d)(cos102122mTkkkIttkIT d102020TItIT 0d)cos(2100TkttkIT 0d)cos()cos(210mmTqqkkttqItkITqk 21220 kkIII 周期函数的有效值为直流分量及各次谐波周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分量有效值平方和的方根。分量有效值平方和的方根。利用三角函数的正交性得：利用三角函数的正交性得： 222120 IIII结论结论3. 非正弦周期函数的平均值非正弦周期函数的平均值00d)(1IttiTIT其直流值为其直流值为)cos()(1m0kkktk

9、IIti若若其平均值为其平均值为TttiTI0avd)(1正弦量的平均值为正弦量的平均值为 898. 0d)cos(10mavTIttITI4. 非正弦周期交流电路的平均功率非正弦周期交流电路的平均功率 TdtiuTP01)cos()(10ukkktkUUtu )cos()(10ikkktkIIti 利用三角函数的正交性，得：利用三角函数的正交性，得：.)( cos210100 PPPIUIUPikukkkkkk klaxh平均功率直流分量的功率各次谐波的平均功率平均功率直流分量的功率各次谐波的平均功率 coscos 22211100 IUIUIUP结论结论 6.4 6.4 非正弦周期交流电路

10、非正弦周期交流电路的计算的计算1. 计算步骤计算步骤（2 2） 利用正弦交流电路的计算方法，对各谐波信号利用正弦交流电路的计算方法，对各谐波信号 分别应用相量法计算；分别应用相量法计算； （注意（注意: :交流各谐波的交流各谐波的 XL、XC不同，对直流不同，对直流C 相当于相当于 开路、开路、L相于短路。）相于短路。）（1 1） 利用付里叶级数，将非正弦周期函数展开利用付里叶级数，将非正弦周期函数展开 成若干种频率的谐波信号；成若干种频率的谐波信号；（3 3） 将以上计算结果转换为瞬时值迭加。将以上计算结果转换为瞬时值迭加。2. 计算举例计算举例例例1 1方波信号激励的电路。求方波信号激励的

11、电路。求u, 已知：已知：STICLRm 28. 6 A157pF1000 mH1 20 、tT/2TSimIRLCuSi解解（1）已知方波信号的展开式为：）已知方波信号的展开式为：)5sin51 3sin31(sin22 tttIIimmS sTAIm28.6,157 代入已知数据：代入已知数据：直流分量直流分量A5.78215720IIm A 10014.357.1221 mmII基波最大值基波最大值A205115 mmII五次谐波最大值五次谐波最大值rad/s101028.614.32266 T 角频率角频率三次谐波最大值三次谐波最大值AIImm 3.333113 A5 .780 SI

12、电流源电流源各频率的谐波分量为：各频率的谐波分量为：A10sin10061 tis A103sin310063 tis A105sin510065 tis mV57.1105.7820600 SRIU （2 2） 对对各种频率的谐波分量单独计算：各种频率的谐波分量单独计算：（a) a) 直流分量直流分量 IS0 作用作用RIS0u0电容断路，电感短路电容断路，电感短路: :A5 .780SI（b)b)基波作用基波作用tis6110sin100 k11010k110100010113611261LC RLCuSi k50)()()()(1RCLRXXXXjRjXjXRZCLCLCL XLRK50

13、)(1 ZmV2500050210100(6111 ） ZIUA10sin10061tis (c)(c)三次谐波作用三次谐波作用tis63103sin3100 03333119.895 .374)()()3(CLCLXXjRjXjXRZ k31010333.0101000103113631263 LKC 0613319.895 .3742103 .33)3( ZIUSmV2.89247.120 (d)(d)五次谐波作用五次谐波作用A105sin510065 tis 53.893 .208)5()()5(55551CLCLXXjRjXjXRZ k510105)K(2 .0101000105113

14、651265 LC mV53.892166.453.893 .20821020)5(6155 ZIUs (3) (3)各各谐波分量计算结果瞬时值迭加：谐波分量计算结果瞬时值迭加：mV)53.895sin(166.4 )2.893sin(47.12 sin500057.15310 tttuuuUu mV57. 10UmV2 .89247.123UmV250001UmV53.892166. 45UV. )42000cos(601000cos12030: ttu已知已知例例2V1L1C1C2L240mH10mHu+_25F25F30bcdA3A2V2V1A1a求电路中各表读数求电路中各表读数( (有

15、效值有效值) ) 。解解(1)u0=30V作用于电路，作用于电路，L1、L2短路，短路，C1、C2开路。开路。i0= iL20 = u0/R =30/30=1A, iC10=0, uad0= ucb0 = u0 =30VaiiC1iL2L1C1C2L240mH10mHu+_25F25F30bcdaiC10iL20L1C1C2L2+_30bcdu0i0(2) u1=120cos1000t V作用作用40102510001111010101000 40104010006213231CCLLV01201U00cb1211UIILA90340j0120j1111UCICV012011adUU1U1I11CI21LIj40j40j40j10a+_30bcd并联谐振并联谐振下 页上 页返 回(3) u2=60cos(2000t+ /4)V作用作用20102520001212120101020002 ,801040200026213231CCLLV45602UA45320j4560j22122LUIL0122CIIV4560 0 2cb2ad2UUU2I12CI22LIj80j20j20j202Ua+_30bcd并联谐振并联谐振下 页上 页返 回i=i0+ i1 + i2 =1A 所求电压、电流的瞬时值为：所求电压、电流的瞬时值为：iC1= iC10 +iC11 +iC12 =3cos(100