第八章叠加法求变形(3,4,5)

1、8-3 8-3 用叠加法计算梁的变形及用叠加法计算梁的变形及梁的刚度计算梁的刚度计算一、用叠加法计算梁的变形一、用叠加法计算梁的变形简捷方法简捷方法 叠加法应用的条件叠加法应用的条件即挠度、转角与载荷（如即挠度、转角与载荷（如P、q、M）均为一次线性关系）均为一次线性关系 在材料服从胡克定律、且变形很小的前在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下提下, ,载荷与它所引起的变形成线性关系。载荷与它所引起的变形成线性关系。 计算梁变形时须记住梁在简单荷载作用下计算梁变形时须记住梁在简单荷载作用下的变形的变形转角、挠度计算公式（见附录转角、挠度计算公式（见附录）。）。叠加法的两种处理方法：叠加法的两种

2、处理方法：（1 1）荷载叠加：）荷载叠加： 叠加原理：叠加原理： 当梁上同时作用几个载荷时，当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的变形是各自独立的，互不影各个载荷所引起的变形是各自独立的，互不影响。若计算几个载荷响。若计算几个载荷共同作用共同作用下在某截面上引下在某截面上引起的变形（挠度、转角），则可起的变形（挠度、转角），则可分别计算分别计算各个各个载荷单独作用下的变形（挠度、转角），然后载荷单独作用下的变形（挠度、转角），然后叠加（代数和）叠加（代数和）。例例1 1 如图用叠加法求如图用叠加法求Cw384EI5qL448EIPL3BACw、解：解：1.求各载荷产生的位移求各载荷产生的位

3、移2.将同点的位移叠加将同点的位移叠加16EIML2A24EIqL316EIPL23EIMLB24EIqL316EIPL26EIML=+例例2 2 试按叠加原理求图试按叠加原理求图a所示简支梁的跨中截面所示简支梁的跨中截面的挠度的挠度 wC 和两端截面的转角和两端截面的转角 A 及及 B。已知。已知EI为常量。为常量。为了能利用简单荷载作用为了能利用简单荷载作用下梁的挠度和转角公式，下梁的挠度和转角公式，将图将图a所示荷载视为与跨所示荷载视为与跨中截面中截面C正对称和反对称正对称和反对称荷载的叠加荷载的叠加(图图b)。例题例题 2解解: 在集度为在集度为q/2的正对称均的正对称均布荷载作用下，

4、查有关梁的布荷载作用下，查有关梁的挠度和转角的公式，得挠度和转角的公式，得 EIqlEIlqwC76853842/5441 48242/331EIqlEIlqB 48242/331EIqlEIlqA C A1 B1wC例题例题 2注意到反对称荷载作用下跨中截面不仅挠度为零，注意到反对称荷载作用下跨中截面不仅挠度为零，而且该截面上的弯矩亦为零，但转角不等于零，而且该截面上的弯矩亦为零，但转角不等于零，因此可将左半跨梁因此可将左半跨梁 AC 和右半跨梁和右半跨梁 CB分别视为分别视为受集度为受集度为 q/2 的均布荷载作用而跨长为的均布荷载作用而跨长为 l/2 的简的简支梁。查有关梁的挠度和转角的

5、公式得支梁。查有关梁的挠度和转角的公式得 384242/2/3322EIqlEIlqBA 在集度为在集度为q/2的反对称均布的反对称均布荷载作用下，由于挠曲线也是荷载作用下，由于挠曲线也是与跨中截面反对称的，故有与跨中截面反对称的，故有02 CwC A2 B2例题例题 2按叠加原理得按叠加原理得 EIqlEIqlwwwCCC7685076854421 38473844833321EIqlEIqlEIqlBBB 12833844833321EIqlEIqlEIqlAAA 例题例题 2 在材料力学中在材料力学中,计算梁的弯曲变形有许多方法计算梁的弯曲变形有许多方法,如积分法、如积分法、载荷叠加法、

6、有限差分法和能量法等。当受弯杆件是变截面载荷叠加法、有限差分法和能量法等。当受弯杆件是变截面梁或梁上载荷比较复杂时梁或梁上载荷比较复杂时,用积分法、载荷叠加法求弯曲变形用积分法、载荷叠加法求弯曲变形,计算相当困难。逐段刚化法不失为一种有效的方法计算相当困难。逐段刚化法不失为一种有效的方法,逐段刚化逐段刚化法是与上述几种方法既有所不同法是与上述几种方法既有所不同,又有所相联系的一种简易有又有所相联系的一种简易有效的方法。效的方法。逐段刚化法逐段刚化法的基本原理在材料服从虎克定律而且的基本原理在材料服从虎克定律而且弯曲变形微小的条件下弯曲变形微小的条件下,梁上所有载荷对梁某一段所引起的弯梁上所有载

7、荷对梁某一段所引起的弯曲变形曲变形,不会改变这些载荷对梁的其他部分的影响。因此不会改变这些载荷对梁的其他部分的影响。因此,计算计算梁的变曲变形时梁的变曲变形时,可以把梁分为若干部分可以把梁分为若干部分:首先计算其中一段的首先计算其中一段的变形变形,将其余部分仍然将其余部分仍然“刚化刚化”（视为刚体）（视为刚体）,其次再计算另一其次再计算另一段段,其余部分仍然刚化其余部分仍然刚化,不过值得注意的是不过值得注意的是,应当把变形段末端转应当把变形段末端转角所引起角所引起“刚化段刚化段”的刚体位移考虑进去的刚体位移考虑进去,最后最后,逐次将各段变逐次将各段变形所引起的整个梁的变形代数相加形所引起的整个

8、梁的变形代数相加,即得全梁的总变形即得全梁的总变形,其中也其中也包括附加的刚体的位移。包括附加的刚体的位移。 （2 2）逐段刚化法：）逐段刚化法：21CCC)2(222lBBC逐段变刚体逐段变刚体分别算变形分别算变形最后再叠加最后再叠加 （直接查表不好查时用）（直接查表不好查时用）例题例题1:1:试用叠加法求图示阶梯形变截面悬臂梁自由端试用叠加法求图示阶梯形变截面悬臂梁自由端C C 的挠的挠度。度。由于梁的抗弯刚度由于梁的抗弯刚度EI 在在B 处不连续，若由挠曲线微分方程积处不连续，若由挠曲线微分方程积分求解，须分段进行，工作量较大。可用叠加法求解。分求解，须分段进行，工作量较大。可用叠加法求

9、解。假定假定AB段刚化，研究自由端段刚化，研究自由端C 对截对截面面B的相对挠度的相对挠度;2. 解除解除AB段的刚化，并令段的刚化，并令BC段刚化。段刚化。ABC2EIEIl/2l/2ppcBwc1c)(243)2(331EIPlEIlPwcPMB=Pl/2ABCwc2wBBBC 悬臂梁悬臂梁BCBC)(96522)2(2123)2(323BEIPlEIlPlEIlPwEIPlEIlPlEIlP163222122)2(22B由梁的变形连续条件，直线由梁的变形连续条件，直线BC因因AB段的弯曲变形而移位到段的弯曲变形而移位到 的位置，使的位置，使C点有相应的挠度点有相应的挠度CB 将将1和和2

10、两种情况的变形叠加后，即可求得自由端两种情况的变形叠加后，即可求得自由端 C 的挠度的挠度 EIplEIplEIplwwwccc1634872433321 EIpllwwBBc487232APMB=Pl/2BCwc2BBC pcBwc1cwBpEwE 1pwE 2pBPPplEIlp323EAlp2EIlpl22EAplEIpl2323WB2=CCWB3=BB 试按叠加原理求图试按叠加原理求图a所示外伸梁的截面所示外伸梁的截面B的转的转角角 B，以及，以及A端和端和BC段中点段中点D的挠度的挠度wA和和wD。已。已知知EI为常量。为常量。例题例题 5-5解解:用逐段刚化法解用逐段刚化法解：（1

11、）将）将BC视为刚体，视为刚体，AB则变为一个悬臂梁，如则变为一个悬臂梁，如图图(b)示。示。A点的挠度为点的挠度为 EIqawA8241（2）将）将AB视为刚体，将均布荷载视为刚体，将均布荷载2q合成力合成力2qa向向B点平移点平移得到一个集中力和力偶矩：得到一个集中力和力偶矩： ，如图，如图(c)示。示。2B,2qaMqa 图图(c)中所示简支梁中所示简支梁BC的受力情况以及约束情况的受力情况以及约束情况与原外伸梁与原外伸梁BC段完全相同，简支梁段完全相同，简支梁BC，由，由q产生的产生的 Bq 、wDq(图图d)，由，由MB产生的产生的 BM 、wDM (图图e)。可。可查有关式，将它们

12、分别叠加后可得查有关式，将它们分别叠加后可得 B、wD，它们也，它们也是外伸梁的是外伸梁的 B和和wD。 )(241162238454224 EIqaEIaqaEIaqwwwDMDqD 3132242323EIqaEIaqaEIaqBMBqB 图图( (b)所示悬臂梁所示悬臂梁AB的受力情况与原外伸梁的受力情况与原外伸梁AB段相同，图段相同，图(c)(c)中外伸梁的中外伸梁的B截面的转角截面的转角 B，因，因为假设为假设AB为刚体，为刚体，由此引起的由此引起的A端挠度端挠度w1=| B|a，应叠加到图应叠加到图b所示悬臂梁的所示悬臂梁的A端挠度端挠度w2上去上去, ,才是原才是原外伸梁的外伸梁

13、的A端挠度端挠度wA EIqaaEIqaEIaqwwwA43421127 318)2(例题例题5：求外伸梁：求外伸梁C点的位移。点的位移。LaCABP解：将梁各部分分别将梁各部分分别引起的位移叠加引起的位移叠加ABCP刚化EI=PCfc11）BC部分引起的位移fc1、 c1c1EIpafc331EIpac2212）AB部分引起的位移fc2、 c2CABP刚化EI=fc2B2PPaB2aEIPaLafBc322EIPaLB3221cccfff21BccEIPac22EIPaL3EIpafc33aEIPaL3例题例题6 欲使欲使AD梁梁C点挠度为零，求点挠度为零，求P与与q的关系。的关系。解：解：

14、EIaqwC384)2(54EIaPa16)2(2 0Pqa56例题例题7 用叠加法求图示梁端的转角和挠度。用叠加法求图示梁端的转角和挠度。CBqaEIqaEI3364顺时针BqaaEIqaaEI22223216()qaEI312顺时针 EIqaEIqaawBC245844解解:例题例题9 求图示梁求图示梁B、D两两处的挠度处的挠度 wB、 wD 。解：解： EIqaEIaqaEIaqwB3143)2(8)2(434 EIqaEIaqawwBD3848)2(2243例例10 10 求图示梁求图示梁C C点的挠度点的挠度 w wC C。解：解：二二. . 梁的刚度条件梁的刚度条件 例例8-88-

15、8图示工字钢梁，图示工字钢梁，l =8m，Iz=2370cm4,Wz=237cm3， w/l = 1500，E=200GPa，=100MPa。试根据梁。试根据梁的刚度条件，确定梁的许可载荷的刚度条件，确定梁的许可载荷 PP，并校核强度。，并校核强度。刚度条件：刚度条件：;maxlwlww、是构件的许可挠度和转角，它们决定于构是构件的许可挠度和转角，它们决定于构件正常工作时的要求。件正常工作时的要求。max机械：1/50001/10000,土木：1/2501/1000机械：0.0050.001radP解：由刚度条件解：由刚度条件500483maxlwEIPlw250048lEIP 得所以 .P

16、711kNmaxmaxMWz所以满足强度条件。PlWz460MPa 711.kN 图图a所示简支梁由两根槽钢组成所示简支梁由两根槽钢组成( (图图b) )，试按，试按强度条件和刚度条件选择槽钢型号。已知强度条件和刚度条件选择槽钢型号。已知 =170 MPa， =100 MPa，E=210 GPa， 。4001 lw例题例题 5-7 一般情况下，梁的强度由正应力控制，选择梁一般情况下，梁的强度由正应力控制，选择梁横截面的尺寸时，先按正应力强度条件选择截面尺横截面的尺寸时，先按正应力强度条件选择截面尺寸，再按切应力强度条件进行校核，最后再按刚度寸，再按切应力强度条件进行校核，最后再按刚度条件进行校

17、核。如果切应力强度条件不满足，或刚条件进行校核。如果切应力强度条件不满足，或刚度条件不满足，应适当增加横截面尺寸。度条件不满足，应适当增加横截面尺寸。例题例题 5-7解解:1. 按正应力强度条件选择槽钢型号按正应力强度条件选择槽钢型号 梁的剪力图和弯矩梁的剪力图和弯矩图分别如图图分别如图c和图和图e所所示。最大弯矩为示。最大弯矩为Mmax=62.4 kNm。梁。梁所需的弯曲截面系数所需的弯曲截面系数为为 3663maxm10367Pa10170mN104 .62 MWz例题例题 5-7 而每根槽钢所需的弯曲截面系数而每根槽钢所需的弯曲截面系数 Wz36710-6 m3/2=183.510-6

18、m3=183.5 cm3。由。由型钢表查得型钢表查得20a号槽钢其号槽钢其Wz=178 cm3，虽略小于所，虽略小于所需的需的Wz= 183.5 cm3，但，但所以可取所以可取20a号槽钢。号槽钢。%5%9 . 2%1001781785 .183 例题例题 5-72. 按切应力强度条件校核按切应力强度条件校核 图图c最大剪力最大剪力FS,max=138 kN。每根槽钢承受的最。每根槽钢承受的最大剪力为大剪力为N10692kN13823max,S F例题例题 5-7 Sz,max 为为20a号槽钢的中性轴号槽钢的中性轴z以下以下半个横截面的面积对中性轴半个横截面的面积对中性轴z的静的静矩。根据该

19、号槽钢的简化尺寸矩。根据该号槽钢的简化尺寸(图图d)可计算如下：可计算如下： 3*max,mm0001042mm11100mm773mm11100mm50mm100mm73 zSz例题例题 5-7当然，当然， 的值也可按下式得出：的值也可按下式得出：*max, zS 3*max,mm104000 mm211100mm7mm11100mm211100mm11mm73 zS 每根每根20a号槽钢对中性轴的惯性矩由型钢表查号槽钢对中性轴的惯性矩由型钢表查得为得为 Iz =1780.4 cm4 1780cm4例题例题 5-7 故故20a号槽钢满足切应力强度条件。号槽钢满足切应力强度条件。于是于是MPa

20、57.6Pa106 .57m)107)(m10(1780m10104N)1069()2/(6348-36-3max,max,Smax dISFzz例题例题 5-73. 校核梁的刚度条件校核梁的刚度条件 如图如图a，跨中点，跨中点C处的挠度为梁的最大挠度处的挠度为梁的最大挠度wmax。由叠加原理可得由叠加原理可得m1066. 4)m101780Pa)(21048(210mN101671)m6 . 04m4 . 23()m6 . 0)(N1012()m9 . 04m4 . 23()m9 . 0)(N1040()m8 . 04m4 . 23()m8 . 0)(N1030()m4 . 04m4 . 2

21、3()m4 . 0)(N10120(481)43(4834893222322232223222234122max EIblEIbFwwiiiiC例题例题 5-7梁的许可挠度为梁的许可挠度为6mmm106m4 . 240013 llww由于由于mm66. 4maxww 因此，所选用的槽钢满足刚度条件。因此，所选用的槽钢满足刚度条件。例题例题 5-7三三. . 提高弯曲刚度的措施提高弯曲刚度的措施 影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况有关，而且还与梁的材料、截面尺寸、形状和情况有关，而且还与梁的材料、截面尺寸、形状和梁的跨度有关。所以，要想提高弯曲刚

22、度，就应从梁的跨度有关。所以，要想提高弯曲刚度，就应从上述各种因素入手。上述各种因素入手。一、增大梁的抗弯刚度一、增大梁的抗弯刚度EIEI；EIMwnL二、减小跨度二、减小跨度L或增加支承降低弯矩或增加支承降低弯矩M；三、改变加载方式和支承方式、位置等三、改变加载方式和支承方式、位置等( (即降低即降低M)。8-5 8-5 梁的弯曲应变能梁的弯曲应变能一一. .梁的弯曲应变能梁的弯曲应变能WV 1.纯弯曲：纯弯曲：2.横力弯曲：横力弯曲：lxxIExMVd)(2)(2MW21IElMMV21IElM22cM cxM)( EIxxMxMV2dd )(21d2W二二. .小结小结：1 1、杆件变形

23、能在数值上等于变形过程中、杆件变形能在数值上等于变形过程中外力所做的功。外力所做的功。V=W2 2、线弹性范围内，若外力从、线弹性范围内，若外力从0 0缓慢的增加到缓慢的增加到最终值：最终值：PWV21则：其中：其中：P-P-广义力广义力 -广义位移广义位移拉、压：拉、压：轴力NNFPEALFL扭矩TPEITLP扭转：扭转：弯矩MPEIMLz弯曲：弯曲：例题例题 试求图示悬臂梁的变形能，并利试求图示悬臂梁的变形能，并利用功能原理求自由端用功能原理求自由端B B的挠度。的挠度。Bw解：解：PxxM)(lxIExMVd2)(2lxIEPx02d2)(P lEI2 36BPwW21得由WVEIPlw

24、B331. 1. 超静定梁的概念超静定梁的概念 2.2. 多余约束、超静定梁的基本多余约束、超静定梁的基本结构结构多余约束多余约束：对维持梁的平衡而言对维持梁的平衡而言是多余的约束，相应的反力称为是多余的约束，相应的反力称为多余约束力。用多余约束力（或多余约束力。用多余约束力（或称多余反力）代替多余约束，就称多余反力）代替多余约束，就得到一个形式上的静定梁，该梁得到一个形式上的静定梁，该梁称为原超定梁的称为原超定梁的基本结构基本结构，又称，又称静定基（相当系统）静定基（相当系统）。超静定梁超静定梁=多余约束多余约束+静定梁静定梁梁的约束（或约束力）个数梁的约束（或约束力）个数多于独立静力平衡方

25、程的个多于独立静力平衡方程的个数。数。8-4 8-4 简单超静定梁简单超静定梁一、基本概念一、基本概念二. 超静定梁的解法思路超静定梁的解法思路 和拉压、扭转超静定问题一样，解超静定梁的思路也要考虑平和拉压、扭转超静定问题一样，解超静定梁的思路也要考虑平衡方程（静力平衡方面）、变形相容方程（几何变形方面）和物衡方程（静力平衡方面）、变形相容方程（几何变形方面）和物理方程（物理关系）。关键在于寻找变形协调关系作为补充方程。理方程（物理关系）。关键在于寻找变形协调关系作为补充方程。平衡方程平衡方程物理方程物理方程几何方程几何方程联立求解联立求解3.超静定次数超静定次数超静定次数超静定次数=多余约束

26、（或多余约束力）个数多余约束（或多余约束力）个数=超静定结构全部超静定结构全部未知力个数结构的独立静力平衡方程个数未知力个数结构的独立静力平衡方程个数=解超静定结构所需解超静定结构所需要建立的补充方程个数。要建立的补充方程个数。注意：基本结构的选取不是唯一的。注意：基本结构的选取不是唯一的。三、比较变形法解简单超静定梁三、比较变形法解简单超静定梁 步骤步骤: (1)选取静定基本结构选取静定基本结构(静定基静定基):即去掉超静定结即去掉超静定结构的多余约束构的多余约束,用多余约束力来代替用多余约束力来代替,得到超静得到超静定结构的基本结构。定结构的基本结构。 （2）计算静定基在原有外力和多余约束

27、力作）计算静定基在原有外力和多余约束力作用下在解除约束处的位移（变形）。用下在解除约束处的位移（变形）。 （3）根据变形与约束相协调列出变形协调条）根据变形与约束相协调列出变形协调条件，即多余约束处的位移（变形）必须满足该件，即多余约束处的位移（变形）必须满足该处的实际情况。处的实际情况。 （4）将算得的位移代入变形协调条件得到补）将算得的位移代入变形协调条件得到补充方程。充方程。 （5）联立静力平衡方程和补充方程最后求出）联立静力平衡方程和补充方程最后求出全部未知力。全部未知力。例例1 1 解超静定梁，并画梁的内力图。解超静定梁，并画梁的内力图。解解（1 1）选超静定梁的）选超静定梁的基本结

28、构：如图基本结构：如图(b)(b)示。示。（2 2）计算基本结构在）计算基本结构在荷载和多余反力共同作荷载和多余反力共同作用下在多余约束处用下在多余约束处B B 的的位移：位移：由叠加法：由叠加法：EIlFEIqlwwwBBFBqB3834(a)（3 3）根据变形与约束相协调列出变形协调条件，即）根据变形与约束相协调列出变形协调条件，即多余约束处的位移（变形）必须满足该处的实际情况：多余约束处的位移（变形）必须满足该处的实际情况：0Bw(b)(4)(4)将算得的位移代入变形协调条件得到补充方程：将算得的位移代入变形协调条件得到补充方程：将将 (a) 、(b)得到得到03834EIlFEIqlw

29、BBqlFB83所得所得FB为正值表示原来假设的指向为正值表示原来假设的指向( (向上向上) )正确。正确。(5)(5)联立静力平衡方程和补充方程最后求出全部未知力联立静力平衡方程和补充方程最后求出全部未知力: : 固定端的两个约束力利用基本结构由静力平衡条件固定端的两个约束力利用基本结构由静力平衡条件求得为求得为 28185qlMqlFAA ，(6)(6)画梁的内力图画梁的内力图 思考：思考： 该超静定梁可否取简支梁为基本结构该超静定梁可否取简支梁为基本结构求解？如何求解？求解？如何求解？例例2 2 为了提高悬臂梁为了提高悬臂梁ABAB的强度和刚度，用短梁的强度和刚度，用短梁CD加加固。设二

30、梁固。设二梁EI相同，试求：相同，试求：二梁接触处的压力二梁接触处的压力解：解除约束代之以解：解除约束代之以约束反力，得到基本约束反力，得到基本结构。结构。DCDDABwwEIaREIaREIPaDD3365333即RPD54变形协调条件为变形协调条件为：例例3 3 梁梁ABC由由AB、BC两段组成，两段梁的两段组成，两段梁的EI相同。试相同。试绘制剪力图与弯矩图。绘制剪力图与弯矩图。解：变形协调解：变形协调条件为：条件为：BBCBABwwEIaREIaREIqaBB338334即qaRB163例例4 试求图试求图a所示结构中所示结构中AD杆内的拉力杆内的拉力FN。梁。梁AC和杆和杆AD的材料

31、相同，弹性模量为的材料相同，弹性模量为E； AD杆的横截杆的横截面积为面积为A，AC梁的横截面对中性轴的惯性矩为梁的横截面对中性轴的惯性矩为I 。1.梁梁AC共有三个未知力共有三个未知力( (图图b) )FN，FB，FC ，但平面，但平面仅有两个平衡方程，故为一次超静定问题。仅有两个平衡方程，故为一次超静定问题。解：解： 2. 把把AD杆视为梁杆视为梁AC的的“多余多余”约束，相应的约束，相应的“多余多余”未知力为未知力为FN。位移。位移(变形变形)相容条件为梁的相容条件为梁的A截面的挠度截面的挠度wA等于杆的伸长量等于杆的伸长量 lDA(图图b)，即，即wA= lDA。3. 求求wA和和 l

32、DA wA是由荷载产生的是由荷载产生的wAq(图图c)和和FN产生的产生的wAF (图图d)两部分组成，两部分组成，EIqawAq1274 把图把图d所示外伸梁，所示外伸梁，A处的位移可由逐段处的位移可由逐段刚化法来求：分成刚化法来求：分成两部分，即两部分，即(e)图和图和(f)图图)(332,)(3)(32,323)2)(3N3N3N3N23N12NN EIaFEIaFEIaFwEIaFwEIaFawEIaFEIaaFAFABABM EAlFlEIaFEIqawwwDAAFAqAN3N4 127 ，4. 把把wA和和 lDA代入代入位移位移( (变形变形) )相容条件得补充方程：相容条件得补

33、充方程：由此求得由此求得EAlFEIaFEIqaN3N4127 34N 127AalIAqaF 例例5 5 试求图试求图a所示等截面连续梁的所示等截面连续梁的约束反力约束反力FA , FB , FC，并绘出该梁的剪力图和弯矩图。已知梁的弯并绘出该梁的剪力图和弯矩图。已知梁的弯曲刚度曲刚度EI=5106 Nm2。1. 该梁有三个未知力该梁有三个未知力FA、 FB 、 FC ，仅有两个平，仅有两个平衡方程。故为一次超静定问题。衡方程。故为一次超静定问题。解：解： 2. 若取中间支座若取中间支座B处阻止其左、右两侧截面相对处阻止其左、右两侧截面相对转动的约束为转动的约束为“多余多余”约束，则约束，则

34、B截面上的一对弯截面上的一对弯矩矩MB为为“多余多余”未知力，基本结构如图未知力，基本结构如图b。BB 基本结构的位移条件是基本结构的位移条件是B处两侧截面的相对转角处两侧截面的相对转角等于零，即等于零，即3. 查关于梁位移公式的附录查关于梁位移公式的附录可得可得 EIMEIBB3m424m4N/m102033 EIMEIBB3m5m56m2m5m2m3N10303 4. 将将 B B代入位移相容条件补充方程，从代入位移相容条件补充方程，从而解得而解得 这里的负号表示这里的负号表示MB的实际转向与图的实际转向与图b中所设相中所设相反，即为反，即为MB负弯矩。负弯矩。mkN80.31 BM5.

35、利用图利用图b可得可得约束力分别为约束力分别为 kN64.11kN66kN05.32CBAFFF绘出剪力图和弯矩图分别如图绘出剪力图和弯矩图分别如图c,d所示。所示。(c)(d)FS 超静定梁多余约束的选择可有多种情况，例如，超静定梁多余约束的选择可有多种情况，例如，若以支座若以支座B为多余约束，为多余约束，FB为多余未知力，位移条件为多余未知力，位移条件为为wB=0，基本结构如图，基本结构如图(e)所示。有如以支座所示。有如以支座C为多为多余约束，余约束，FC为多余未知，位移条件为为多余未知，位移条件为wC=0，基本结，基本结构如图构如图(f)所示。所示。 位移条件容易计算的基本结构就是最适

36、宜的。位移条件容易计算的基本结构就是最适宜的。(f)FC(e)FB* *II. II. 支座沉陷和温度变化对超静定梁的影响支座沉陷和温度变化对超静定梁的影响 超静定梁由于有超静定梁由于有“多余多余”约束存在，因而支约束存在，因而支座的不均匀沉陷和梁的上座的不均匀沉陷和梁的上, ,下表面温度的差异会下表面温度的差异会对梁的对梁的约束力约束力和内力产生明显影响，在工程实践和内力产生明显影响，在工程实践中这是一个重要问题。中这是一个重要问题。(1) (1) 支座不均匀沉陷的影响支座不均匀沉陷的影响 图图a所示一次超静定梁，在荷载作用下三个支所示一次超静定梁，在荷载作用下三个支座若发生沉陷座若发生沉陷

37、 A 、 B 、 C，而沉陷后的支点，而沉陷后的支点A1 、B1 、C1不在同一直线上时不在同一直线上时( (即沉陷不均匀时即沉陷不均匀时) )，支座，支座约束力约束力和梁的内力将不同于支座均匀沉陷时的值。和梁的内力将不同于支座均匀沉陷时的值。210CABBBBw 现按如图现按如图a中所示各支点沉陷中所示各支点沉陷 B C A的情的情况进行分析。此时，支座况进行分析。此时，支座B相对于支座相对于支座A 、C 沉陷沉陷后的点后的点A1 、C1 的连线有位移的连线有位移于是，如以支座于是，如以支座B1作为作为“多余多余”约束，以约束力约束，以约束力FB为为“多余多余”未知力，则作为基本静定系的简支

38、未知力，则作为基本静定系的简支梁梁A1C1(参见图参见图b)在荷载在荷载 q 和和“多余多余”未知力未知力FB共共同作用下应满足的位移相容条件就是同作用下应满足的位移相容条件就是210CABBBBw 于是得补充方程于是得补充方程由此解得由此解得 EIlFEIqlEIlFEIlqwwwBBBFBqBB6245482384253434 2624534CABBEIlFEIql 2245413CABBlEIqlF其中的其中的wB按叠加原理有按叠加原理有( (参见图参见图c、d):):再由静力平衡方程可得再由静力平衡方程可得 23833CABCAlEIqlFF(2) (2) 梁的上梁的上, ,下表面温度差异的影响下表面温度差异的影响 图图a所示两端固定的梁所示两端固定的梁AB在温度为在温度为 t0 时时安装安装就位，其后，由于梁的就位，其后，由于梁的顶顶面温度升高至面温度升高至 t1，底，底面面温度升高至温度升高至 t2，且，且 t2t1，从而产生，从而产生约束力约束力如图如图中所示。中所示。