复变函数总结完整版

1、第一章复数1 i 2 =-1 i =4一1 欧拉公式 z=x+iy实部Rez虚部Imz2运算 Zi 三 Z2 = Re Zi = Re Z2 Im zi = Im Z2 z1 _ z2 = Re z1 _ z2 Im z1 - z2 = Re z1 - Re z2 r I Im z1 Im z2Zi Z2=xi iyi x2 iy2=x1x2 ixi y2 ix2 yi - yi y2二x1x2 -yy2i xi y2 x2y1I 1Zi _ Z1Z2_xiiyix2-iy2_x?yy?.yx?-xy2& =：=22-i22-Z2 Z2Z2x2iy2x2-iy2x2y2%N2z = x

2、 iy共腕复数:z Z =(x +iy '(x -iy )=x2 + y2 共腕技巧运算律Pi页3代数，几何表示z = x+iyz与平面点(x, y L一对应，与向量一一对应+ 2依 k=±1±2±3辐角当zw0时，向量z和x轴正向之间的夹角8 ,记作8 =Argz=80把位于-冗 < 备&九的小叫做Argz辐角主值记作£ =arg zo4如何寻找argz例：Z=1-i 一4冗 z=i 2冗z=1+i 4z=-1 几5 极坐标：x = r cos 日,y=rsin8z = x+iy=r (cos + i sin 日)利用欧拉公式e&

3、#39; = cos - i sin -仅供个人学习参考可得到z =reiu6高次窑及n次方凡是满足方程8n =z的值称为z的n次方根，记作0 =yzz = rei(SkJI) = 0n 即 r =第二章解析函数1极限2函数极限复变函数对于任一 Z w D都有Ww E与其对应3 = f (z)注：与实际情况相比，定义域，值域变化例 f z )二 zlim f (z )= A z t z0称f (z )当z t z0时以A为极限 z z当A = f已附，连续 ' _ z-. x y /例1 证明f (z) = z在每一点都连续证： f (zf (z0 = z - z0 = z - z0

4、T 0 z T z0所以f (z )= z在每一点都连续 I3导数例2f (z六C时有(C )=0证：对 Vz 有 ljmz)-f(z)=ym CC=0 所以(C)=0. z-0,z.z-0 ,-.；z例3证明f (z )= z不可导解：令 = z z0f z - f z°z -z° z -z0二 x -iyz zOz - z0z - z0 x iy当0T 0时，不存在，所以不可导。仅供个人学习参考定理：f (z )=u(x, y )+iv(x,y班z = x + iy处可导u u, v在(x, y处可微，且满足C-R条件_:ujv；:u:xjy.:y.:vu. :v一旦f

5、 (z)=+i:x；x Fx例4证明f (z )= z不可导 解：f (z )=z =x -iy 其中 u(x, y )= x v(x, y )= -y u,v 关于 x,y 可微 包=1 =史=-1不满足C-R条件所以在每一点都不可导.x二 y例 5 f z = Re z解：f z =Rez=xux, y =xvx, y =0I I- =1 #'=0不满足C-R条件所以在每一点都不可导:x二 y例 6: f (z )= |z|2解： f(z)=|z|2 =X2 +y2其中 u x, y = x2 y2v x, y )=0根据 C-R条件可得 2x = 0,2y = 0 = x = 0

6、, y = 0所以该函数在z = 0处可导4解析若f (z而z。的一个邻域内都可导，此时称f(z )在z。处解析。 口 I j ,用C-R条件必须明确u,v四则运算 f_g = f -g f g z = f g g z IF.-/ !r(f g ) = f' g + f g ' (ez ) =ez例：证明 f z = ez ez = ez解：f z =ez = excosy iexsin y贝U u x, y = ex cos y v x, y = ex sin y = ex cos y = = ex cos y 二 xcy- -=-ex sin y = -v = -exsin

7、 y 任一点 z = x * iy 处满足 C-R条件- y二 x所以 ez处处解析(z )=更 + i 史=ex cos y +iex sin y = ez ；:x；:x练习：求下列函数的导数解：f(z)=z2 z = (x2 + y2 仪+iy )=x3+ix2y + xy2+iy3 = x3 + xy2+i(x2y + y3)u(x, y )=x3 +xy2 v(x, y )= x2 y + y3所以-=3x2 + y2 - = x2 +3y2 x.:y=2xy- = -2xy根据C-R方程可得= 3x2+ y2 = = x2 +3y2.:yfxjx；:y所以当z = 0时f(z将在导数

8、且导数为0,其它点不存在导数。初等函数I常数H指数函数ez = ex cosy i sin y定义域 ez1 ez2 =ez1e2 ez42" = ez(cos2n+isin 2n )=ez (ez ) =ez II I .HI对数函数称满足z =eco的与叫做z的对数函数，记作6=lnz 分类：类比n/z的求法（经验）目标：寻找 包中=argco幅角主值可用:z=e z=rei1=u iv过程:iv ei 一u i e iv=re 尸 r=e,e =e所以。=u +iv = ln r +i ® +2kn )= ln r + iArgz = ln z +i(argz + 2

9、kn )k = 0,±1,±2 例：求 Ln(-1 )Ln (1+i )Ln(i )的值IV募函数对于任意复数a ,当z#0时=0,_1,-2 i 一 2例1:求i -i , u iv uz = re 一 - e 二 e e+的值 解：i1i =eln=e1iLni =1' ln"'" =e例 2：求 1.i 3 i =eln1,3r =e3 il=eV三角函数仅供个人学习参考定义：对于任意复数z = x+iy,由关系式可得z的余弦函数和正弦函数例：求 sin 1 i cos 5 i解：sin(1+i )=工 Si"LeT

10、9;) 2i第三章复变函数的积分1复积分定理3.1设C是复平面上的逐段光滑曲线f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在C上连续，则If (z )=u(x, y )+iv(x, y )在 C上可积，且有 1 f (z)dz = .Qu(x, y dx-v(x, y )dy + i u(x,y dy+ v(x, y )dx 注：C是线方式跟一元一样方法一：思路：复数一实化,_ L -. .把函数f (z)=u+iv与微分dz = dx + idy相乘，可得,方法二：参数方程法核心：把 C参数C: zt ：- <t < -例：求 fzdzC: 0- 1+i 的直线段 0C1T 1 ； 1

11、C2T1+i ,c角单： C: z t ,;-t it 0 MtM 1 C1 : zt )=t 0 <t <1结果不一样2柯西积分定理 I I ：1 2刑 n =1例：17dz = 3C(z-a0 n#1C：以a为圆心，p为半径的圆，方向：逆时针：ei”dz =2二七：ie% )dn解：C: z = a Pei z = x iy 0 _ 1 _ 2二积分与路径无关：单联通处处解析Kz=8 %x = a® sin8 )y = a 1 - cos-例：求(2z2 +8z+ldz,其中C是连接。到点(0,2m )的摆线: C解：已知，直线段L与C构成一条闭曲线。因f(z)=2z

12、2+8z+1在全平面上解析, 仅供个人学习参考贝 U2z2 8z 1dz = 0C TL即 c 2z9z2 dz =2二i z - - i9 - z 8z 1dz = L 2z2 8z 1dz把函数沿曲线C的积分化为沿着直线段L上的积分。由于故 2z2 8z 1 dz = 2二a - -： 2a2 8 ：a 1 iC3关键：恰当参数合适准确带入 z3不定积分定义3.2设函数f(z"区域D内连续，若D内的一个函数中(z)满足条件z定理3.7若可用上式，则f f(zdz = G(z)(z0 )z,z0 w D.z。 i例：计算oezdz,ii .解： f ezdz =ez =e'

13、 -1 002 i 2 一练习：计算ze3z 1dz1dz2z3e zi2 123z2 1 21 2 i 3z2 12. 4i -1e d(z )= ed(3z +1 )=6 224柯西积分公式仅供个人学习参考定理处处解析f(z件简单|用曲线C所围成的区域内则f(a )= czf：dz例1:Jz =Tzez -1dziz艮zz .e 1dz = ez -1= 0ziz-0zf例2:解：f 1;sin zdz+ z2 -1sin z ,1 sin zdz 二z2 -12 izl z -1,1 sin zdz -2 izl z - 1dz = 2i sin1例3:'z|=2 (9 - z

14、f (z + 7 )dz解:z=-i-z-dz = 士9一 z2(z+7)'zHz注：C: z D解:找到f (z)f(z底D内处处解析sinz z , dzizl2zz-1sin z zsinz z2.2sin z z sin z z=dz -4 dz = 2 i zz -1z| z-02z-25解析函数的高阶导数公式：f nn!zw =r sin1 1-Jn! fz Ni Tzn1应用要点：z-D精准分离sin z一2.例：一 z|m z _0 2 1 Z2ni fsinz、-2!、2 J $=06调和函数若g(x, y滴足Ag-2- 2:gs g. 2. 2x二 y=0则称g(x

15、,y)叫做D内的调和函数若f (z六u(x, y )+iv(x, y )在D内解析.2 2-2所以二 u二 u二v r =-2- 2:x：vx二yex .y把u,v称为共腕调和函数第四章级数理论1复数到Q匕距离d(z,0 >|z -<G谈极限对 1若有z0 W D使彳d d(zn,Zo )= zn - z0 T 0 (nT8)此时zo为zn )的极限点记作4 = lim zn或zn t zo (n-s s)n 1二：推广：对一个度量空间(x,d沛B可谈极限2极限的性质3zn =Xniyn > zo = X° Ty0 n .二4 J级数问题I / /I ,zSn =乙

16、+z2 +z3 + zn fen 部分和数列qQ若lim Sn =So = £ zn则4收敛，反之则发散。n一产na II I .性质：1若£ zn £%都收敛，则 臣zn )±(Z储)=£七±。n收敛2若一个收敛，一个发散，可推出发散3'Sn T SoSn+-> Son二若£ an|<= £ an绝对收敛! I右:Z an =+8但工an收敛，为条件收敛等比级数：Sn =z + z2 + +zn-'J :1 -zSn T z 1时收敛，其他发散(nT8)1。zqQ幕级数-Cn z-zo

17、 n n oQO=z - zo 则 Z Cnn n =o求收敛域=lim Cn1 5 Cn0 :二：二.二=& 色=0上=-hscn解：因为limCn 1例：求匚二的收敛半径及收敛圆= lim =1所以级数的U敛半径为R=1,收敛圆为z<1 ny1泰勒级数泰勒定理：设函数f (z而圆K:z-z0 k R内解析，则f (z)在K内可以展成幕级数0flf z 八 Cn z-z。n 0n其中，cn =f n Zon!,(n=0,1,2 ),且展式还是唯一的。例1:求f(z)=ez在z=0处的泰勒展式 解：f(z)=ez 在全平面上解析，f(nz) = ez, f(n0)=1 所以在z

18、= 0处的泰勒展式为1.一一例2:将函数f(z)=2展成z-i的号级数1 -z-1斛：f z )=：1 - z2(1-i) 一. n z-i ! I + ,1 i )罗朗级数 罗朗定理若函数f (z心圆环D： r < z - z0 < R(0 < r < R <00 )内解析,OQ则当 zW D 时，有 f(z)= Z Cn(z-z0尸其中 cn=；±L n=0,1,2例：将函数f(z) =1在圆环(1) 1<|z<2(2) 2<|z<十的z -1 z -2内展成罗朗级数。一，一， ,一 1 z ,一一 一解：(1)在1 <

19、 z <2内，由于<1, 土 <1 ,所以(2)在2<z <一 -12十°°内，由于一<1,一<1,所以孤立奇点定义：若函数f (z底Z0的去心邻域0<z-Zo <R(0cRE+8 )内解析，在Z0点不解析，则称Z0为f(z)的孤立奇点。2n+z = 0为可去奇点2n 1!_2_4Sin zzzn例：=1 - -1z3!5!2n 3-z + +(-1 JA+ z = 0为一级极点3!2n -1 !.1111彳 n11Sin = + +(-1 ) -2nr + z = 0为本性田点 z z 3! z2n -1 ! z第5章

20、留数理论(残数)定义：设函数f(z )以有限项点z。为孤立奇点，即f(z)在z。的去心邻域0<|z-z0|<R内解析，则称积分工i f (z dz的值为函数f (z施点z0处的留数2 二i C I1记作：Re s f z , z0f z dz2二i C其中，C:|z-z°|=P<R, C的方向是逆时针。例1:求函数f(z)=§n三在z = 1处的留数。z t1解：因为z4-1以z =1为一级零点，而sin1#0,因此f(z )以z = 1为一级极点。 I Iz 1例2:求函数f(z)=e z在z = 0处的留数解：z=0是f(z )的本性奇点，因为1111

21、所以C4=1 -!2! 2!3! n -1! n!111可得 Res f z ,0 =1 2! 2!3! n -1!n!第7章傅里叶变换通过一种途径使复杂问题简单化，以便于研究。定义：对满足某些条件的函数f(t %(-叼)上有定义，则称Fg )=广>« )e-dt为傅里叶变换。同时f (t )= r*f (t>e描d。为傅里叶逆变换 注：傅里叶变换是把函数f (t饯为函数F电)傅里叶逆变换是把函数F侬波为函数f (t )e：x：- 0 a求傅里叶变换或傅里叶逆变换，关键是计算积分 两种常见的积分方法：凑微分、分部积分1复习积分： e - dx = e-di&x = a1一 cos 7x 1 sin 7x 1 dxsin 7x 1 d 7x 1 =77-2- x e ，dx =2e3x % x2 = 1 e623x2