考研数学真题数一2011数一真题解析

1、无忧-您身边的辅导！2011 年入学统一试题一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指(1)【】(C)置上= x -1, y¢ = 1, y¢¢= 0 ， y = (x - 2)2, y¢ = 2(x - 2), y【】记 y11122y = (x - 3)3, y¢ = 3(x - 3)2, y¢¢= 6(x -333y = (x - 4)4, y¢ = 4(x - 4)3, y¢¢=12444y&#

2、162;¢ = (x - 3)P(x) ，其中 P(3) ¹ 0 ， y¢¢故选(C)(2)【】(C)x=3 = 0 ，在 x = 3 两侧，导数符号变化，【】观察选项：(A)，(B)，(C)，(D)四个选项的收敛半径均为 1，幂级数收敛区间的中心在 x = 1处，故(A)，(B)错误；因为an 单调减少， lim an= 0 ，所以an ³ 0 ，所以，故原幂级数在 x = 2n®¥¥¥nå an 为正项级数，将 x = 2 代入幂级数得å an ，而已知Sn= å akn

3、=1n=1k =1¥å处发散，(D)不正确当 x = 0 时，交错级数(-判别法收敛，故 x = 01) a 满足nnn=1¥时å(-1)n a 收敛故正确为(C)nn=1(3)【】(A)¶z】|= f ¢(x) × ln f ( y) |= f【,(0,0)(0,0)¶xf ¢( y) |¶z |= f ¢(0) = 0, 故 f ¢(0) = 0 ,= f (x) ×(0,0)(0,0)¶yf ( y)A = ¶ z2¢= f (x

4、) × ln f ( y)|(0,0)¶x2f ¢( y)¶2 z¢B = ¶x¶y |(0,0) =f (x) ×|f ( y) (0,0)¶2 zC = ¶y2|(0,0) =f (x) ×又 AC - B2 = f ¢¢(0)2 × ln f (0) > 0, 故 f (0) > 1, f ¢¢(0) > 0 (4)【】(B)】因为0 < x < p 时， 0 < sin4【，第 1 页 共 1

5、1 页唯一2000人学子备考】无忧-您身边的辅导！又因ln x 是单调递增的函数，所以lnsin故正确(5)【为(B)】 (D)【】由于将 A 的第 2 列加到第 1æ 1矩阵 B ，故0 ö010Aç 10 ÷ = B ，ç÷ç 01 ÷èø即 AP = B ， A = BP-1 11由于交换 B 的第 2 行和第 3 行得æ 1矩阵，故00 öç 001 ÷ B = E ，ç÷ç 00 ÷1èø

6、;即 P B = E, 故 B = P-1 = P 因此， A = P P-1 ，故选(D)2222 1(6)【】(D)【】由于(1, 0,1, 0)T 是方程组 Ax = 0 的一个基础解系，所以 A(1, 0,1, 0)T = 0 ，且r(A) = 4 -1= 3 ，即 a + a = 0A = 0 由此可得 A* A =| A | E = O ，即 ，且 13a a,a, a, = )O ，这说明a ,a ,a ,a 是 A*x = 0 的解*A (12341234由于r( A) = 3 ，a + a = 0 ，所以a ,a ,a 线性无关又由于r( A) = 3 ，所以r( A*) =

7、 1，13234因此 A*x = 0 的基础解系中含有 4 -1 = 3 个线性无关的解向量而a ,a ,a 线性无关，且234为 A*x = 0 的解，所以a ,a ,a 可作为 A*x = 0 的基础解系，故选(D)234(7)【】(D)【】选项(D)+¥ é f(x)F (x) + f (x)F (x)ùdx = +¥ éF (x)dF (x) + F (x)dFòòë1ûë122211-¥-¥+¥ò-¥=d F (x)F (x)ù

8、; = F (x)F (x) |= 1 é+¥ë2û12-¥1所以 f1F2 (x) + f2 F1 (x) 为概率密度(8)【】(B)X ³ Y ,U = maxX ,Y = ì X ,= minX ,Y = ì Y ,XXVíí【】因为îY , X < Y ,î X ,所以，UV = XY ，于是 E(UV ) = E(XY ) = E(X )E(Y ) 第 2 页 共 11 页唯一2000人学子备考】无忧-您身边的辅导！二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共

9、 24 分，请将(9)【】ln (1+2 )写在答题纸指置上1+ ( y¢)2 dx =ds =1+【】选取 x 为参数，则弧pp40ò所以 s =sec xd40(10)【】 y = e-x sin x 【】由通解公式得y = e-òdx (ò e-x cos x × eòdxdx + C)= e-x (òcos xdx + C)= e-x (sin x + C)由于 y(0) = 0, 故C =0所以 y = e-x sin x (11)【】4¶Fsin xy【】=× y ，¶x1+ (xy

10、)2¶2Fy cos xy - sin xy × 2xy2= y ×，¶x21+ (xy)2 2¶2F|(0,2) = 4 故¶x2(12)【】p 【】取 S : x + y - z = 0, x2 + y2 £ 1，取上侧，则由公式得，dydz¶¶xdzdx¶¶ydxdy¶¶z y22原式= òòS= òò ydSxzx因 z = x + y, z'= 1, z'= 1. 由转换投影法得xyò

11、42; ydydz + xdzdx + dxdy =S第 3 页 共 11 页唯一2000人学子备考】无忧-您身边的辅导！òòx2 + y2 £1=(-x - y +1)dxdy = pòòx2 + y2 £1dxdy = p =(13)【】a = 1【】由于二次型通过正交变换所得到的标准形前面的系数为二次型对应矩阵 A 的特征值，故 A 的特征值为 0，1，4二次型所对应的矩阵æ 11öaA = ç a31÷ ，ç÷ç 11÷1èø1

12、a3111 = 0 Þ a = 113A = Õli = 0 ，故 a由于i=11(14)【】 m (m2 + s 2 ) 】根据题意，二维随量( X ,Y ) 服从 N (m, m;s 2 ,s 2 ;0) 因为 r= 0 ，所xy【，所以 X ,Y 2 从而有以由二维正态分布的性质知随量 X ,YE ( XY 2 ) = E ( X ) E (Y 2三、解答题：1523 小题，共 94 分请将解答写在答题纸指定的位置上解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(15)(本题满分 10 分) 1 ex -1lim ln(1+ x) -1 1 ln(1+ x)= ex®

13、;0 xex -1【】limxx®0x- 1 x2 +o( x2 )-x2lim ln(1+ x)-xlim= ex®0= ex®0x2x2- 1 x2 +o( x2 )- 12 lim 2= ex®0x2= e(16)(本题满分 9 分)f xy, yg(x)】 z =【¶z =f ¢xy, yg(x)× y + f ¢xy, y¶x12第 4 页 共 11 页唯一2000人学子备考】无忧-您身边的辅导！¶2 zf ¢xy, yg(x)+=¶x¶y1+g¢

14、;(x) × f2¢xy, yg(x)因为 g(x) 在 x = 1 可导，且为极值,所以 g¢(1) = 0 ，则d 2 z¢¢¢|= f1 (1,1) + f11 (1,1) + f12 (1x=1dxdy y=1(17)(本题满分 10 分)【】显然 x = 0 为方程一个实根x当 x ¹ 0 时，令 f ( x) =- k,arctan xarctan2f ¢( x) =( arctan x)2令 g (Î R ，1+ xg¢(= (，+ x 2 )2g¢( x) > 0

15、 即 x Î R,又因为 g ( 0) = 0 ，即当 x < 0 时， g ( x) < 0 ； 当 x > 0 时， g ( x) > 0 当 x < 0 时， f '( x) < 0 ；当 x > 0 时， f '( x) > 0 所以当 x < 0 时， f ( x) 单调递减，当 x > 0 时， f ( x) 单调递增x又由lim f ( x) = lim- k = 1- k ，x®0 arctan xx®0xlim f ( x) = lim- k = +¥ ，x&#

16、174;¥ arctan xx®¥f ( x) 在(-¥, 0)， (0, +¥) 内各有一个零点；所以当1- k < 0 时，由零点定理可知f ( x) 在(-¥, 0)， (0, +¥) 内均无零点当1- k ³ 0 时，则综上所述，当k > 1时，原方程有三个根当k £ 1 时，原方程有一个根第 5 页 共 11 页唯一2000人学子备考】无忧-您身边的辅导！(18)(本题满分 10 分)Î é0, 1 ùf (【】()设êën 

17、0;û显然 f (x) 在é0, 1 ù 上满足日的条件，êën úûf æ 1 ö - f (0) = ln æ1+ç n ÷çèøèæ1 ö所以x Î 0,时，çn ÷èø11111111111 ×<×<×，即：<n +×<，1+ x n11+ x nn1+ 0 nn1+n1æ1 ö

18、;1< ln 1+<亦即：çn ÷n +1èøn结论得证111n1+- ln n = å（II）设an = 1+23nk =1 k先证数列an 单调递减é1n+1åa- a =- l，ên+1nkë k =11< ln(1+ 1) ，所以n1æ1 ö- ln 1+< 0 得到 a< a ，即利用（I）的结论可以得到çn ÷n+1nn +1n +1èø数列an 单调递减再证数列an 有下界n1knæ1 

19、46;åk =1åan =- ln n >ln 1+- l，ç÷èkøk =1næ1 önæ kåçÕçln 1+=ln，÷èkøk =1 èk =1n1knæåk =1åçan =- ln n >lnèk =1第 6 页 共 11 页唯一2000人学子备考】无忧-您身边的辅导！得到数列an 有下界利用单调递减数列且有下界得到an 收敛(19)(本题满分 11 分)

20、1111òòòò】 I =xdxyf (x, y)dy =xdxydf (x, y)''【xyx0000ùúû10)f (x,1) = 0 ，所以 f ' (x,1) = 0 因为x1I = -xdxfx (x, y)dy =-dyxf (x, y)dx111òòòò''x0000= -dy éxf (x, y) |1 -f (x, y)dxù = -dy é f (1, y) -1111f (x, y)ò

21、òòò0êëfdxdy = a úû0êë000= òòD(20)(本题满分 11 分)【】(I)由于a1,a2,a3 不能由 b1, b2, b3 线性表示，对(b1, b2, b3,a1,a2,a3) 进行初等行变换：æ112334a(b , b , b ,a ,a ,a ) = ç1ç123123ç1èö÷÷-ø当 a = 5 时，r(b1, b2, b3) = 2 ¹ r(b1,

22、 b2, b3,a1) = 3 ，此时，a1 不能由 b1, b2, b3 线性表示， 故a1,a2,a3 不能由 b1, b2, b3 线性表示(II)对(a1,a2,a3, b1, b2, b3) 进行初等行变换：æ 1011135, b , b ) = ç 0(a ,a ,ç123123ç 1èöö÷11®÷ ®÷÷÷-øø第 7 页 共 11 页唯一2000人学子备考】无忧-您身边的辅导！ö÷ ，®

23、÷÷-ø故 b1 = 2a1 + 4a2 -a3 ， b2 = a1 + 2a2 ， b3 = 5a1 +10a2 - 2a3 (21)(本题满分 11 分)æ 11 öæ -1 1 ö【】(I)由于 Aç 00 ÷ = ç 00 ÷ ，设a= (1, 0, -1)T ,a = (1, 0,1)T ，则ç÷ç÷12ç -11 ÷ç 11 ÷èøèøA(a1,a2 )

24、= (-a1,a2 ) ，即 Aa1 = -a1, Aa 2 = a 2 ，而a1 ¹ 0,a2 ¹ 0 ，知 A 的特征值为l1 = -1, l2 = 1，对应的特征向量分别为 k1a1 (k1 ¹ 0) ， k2a2 (k2 ¹ 0) 由于r ( A) = 2 ，故A = 0 ，所以l3 = 0 由于 A 是三阶实对称矩阵，故不同特征值对应的特征向量相互正交，设 l3 = 0 对应的特征向量为a3 = (3 ) ，则Tìa a = 0,- x = 0,Tìx1313í即ía a = 0,x + x = 0T&#

25、238; 13î 2 3()(k ¹ 0) 解此方程组，得a = 0,1, 0，故l = 0 对应的特征向量为k aT333 33(II) 由于不同特征值对应的特征向量已经正交，只需化：a112(1, 0, -b =1æ -1çö÷，令Q = (b , b), b，则Q AQ = L =T1ç÷123ç0 ÷èøTAæçö0220222022÷æ -1ç=÷ç1 çç÷

26、;ç÷ç0 ÷èç -è2ø第 8页 共 11 页唯一2000人学子备考】a1无忧-您身边的辅导！æ 2öæç0 ÷ç - 2 2 20 2 22ç÷20 2 2ç= ççç 20 ÷ç÷2ç÷ç0 ÷ç 0çèøçè（22）（本题满分 11 分）【】(I)因为 PX

27、2 = Y 2 = 1 ，所以 P X 2 ¹ Y 2 = 1- P X 2P X = 0,Y = -1 = P X即利用边缘概率和概率的关系得到P X = 0,Y = 0 = P；P X = 1,Y = -1 = PY = -；P X = 1,Y = 1 = PY = 1 - P即( X ,Y ) 的概率分布为Y-101X001/3011/301/3(II) Z 的所有可能取值为-1, 0,1 13PZ = -1 = PX = 1,Y = -1 =13PZ = 1 = PX = 1,Y = 1 =PZ = 0 = 1- PZ = 1 - PZ = -1Z = XY 的概率分布为Z-101P1/31/31/3 Cov ( XY )E ( X(III)因为 rXY = = ，D( X ) D(Y )其中第 9 页 共 11 页唯一2000人学子备考】无忧-您身边的辅导！111111E ( XY ) = E (Z ) = -1×= 0 ， E (Y ) = -1×+ 0 ×+1×+ 0 ×+1×= 0 333333所以 E ( XY ) - E ( X )× E (Y ) = 0 ，即 X ， Y 的相关系数 rXY（23）（本题满分 11 分）= 0 -( x-m0 )21【