2020年高考文科数学《不等式》题型归纳与训练

1、2020年高考文科数学不等式题型归纳与训练【题型归纳】题型一一元二次不等式解法及其应用 例1 若a >b >0 , c<d<0,则一定有(D.A.11【解析】由c<d <0: - > >0 ,又d ca >b>0 ,由不等式性质知：a>b>0,所以刍<2d cd c1322例2 关于x的不等式x -2ax -8a < 0 a a 0)的解集为(x1, x2),且 x2 - X = 15 ,则 aD.1525715A. -B. -C.224【答案】A【解析】由 x2 一2ax 8a2 <0 (a a 0),

2、得(x 4a)(x +2a) <0 ,即-2a<x<4a,x1 = 2a,x2 =4a .一 、一 一155 ，- x2 -x1 =4a -(-2a) =6a =15 ,a =一 =一.故选 A .62.， x -9八一例3不等式x一9 > 0的解集是. x-2【答案】(-3,2) 一(3，二)的取值范围【解析】不等式可化为(x +3)(x -2)(x-3) > 0采用穿针引线法解不等式即可.例4 已知函数f (x) =x2 +mx-1,若对于任意 xWm,m+1,都有f(x)<0成立，则实数 m是.2【答案】(一一,0)2【解析】由题意可得f(x) <

3、;0对于xWm, m+1上恒成立,日口 f (m) =2m2 -1 <0珈/曰.2 八即' '2,解得J <m<0.f (m 1) = 2m 3m ： 02题型二应用基本不等式求函数最值例1 已知x <5 ,则函数y =4x -2 + 1 的最大值.44x -5【答案】1【解析】因4x5<0,所以首先要 调整”符号，又(4x241 $不是常数， 所以对4x-2要进行拆、凑项.；x < ,.-, 5 -4x >0 , 二 y =4x -2 +- = - '5 -4x 十一-(十3 - -2+ 3 144x -55-4x一，1当且仅

4、当5 4x即x=1时，上式等号成立，故当 x = 1时，ymax=1.5 -4x【易错点】注意x <5，则4x-5为负数，要提-“'使其变"+” .4【思维点拨】 本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值 例2 当0<x<4时，则y =x(82x)的最大值是 .【答案】8.【解析】因为 y =x(82x)=52x(8 2x) <l(2x+8-2x)2 =8222当且仅当2x=82x,即x =2时取等号，所以当 x = 2时，y = x(8 2x)的最大值为8.【思维点拨】 由0 < x m 4知，8-2x>0 ,利用均值不等式求

5、最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。 注意到2x+(8-2x) =8为定值，故只需将y = x(8-2x)凑上一个系数 即可.2_, x2 7x 10例3函数y = -一20 (x A 1)的值域为 。x 1【答案】9, .二【解析】工'十7工十10 (工十1"十5a+1)十4 ，八 4 二y =(x + 1) + 5工十 1x +1x +1当x >T,即x+1 >0时，y之2 J(x+1)父一4+5 =9 (当且仅当x=1时取 匚”号).【思维点拨】 本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项，再将其分离1

6、9例4 已知x >0, y >0 ,且一 + =1,则x + y的最小值为.x y【答案】16【解析】：'x >0, y >0,1+9 =1 ,二 x+y =（x+y，1+9 = +9x+10>6 + 10=16 x ylx y J x yy 9x19.当且仅当上=时，上式等号成立，又 一十一=1,可得x = 4,y=12时，（x+yLn=16. xyx y【易错点】错解：x >0, y >0 ,且二十旦=1 ,= x + y = 1 +- |'x + y ）>2 叵 2*Qy = 12x yx yxy '故 x - y

7、min =12错因：解法中两次连用均值不等式，在 x + y > 2历等号成立条件是x = y ,在1+9至2叵等号成立条件 x y - xy-19是一=即y =9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成x y立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。【思维点拨】 多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错 1例5已知a , b为正头数，2b+ab+b = 30,则函数y =的最小值是 .ab18【易错点】本题考查不等式 亘上 >Vab (a,bw R5的应用、不等式的解法及运算能力；如何由已知 2不等

8、式ab=a+2b+30(a,b= R5出发求得ab的范围，关键是寻找到 a+b与ab之间的关系，由此想到不等式且二 >Vab (a,bw R 5 ,这样将已知条件转换为含 ab的不等式，进而解得 ab的范围.2【思维点拨】 这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。题型三线性规划 -y +2 >0例1已知x + y 4之0 ，则:2x -y -5

9、 _ 0(1) z = x +2y -4的最大值(2) z = x2 + y2 10y +25 的最小值2y 1 , (3)z ='一的取值范围是x 1(3)【答案】(1) 21;【解析】作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标A(1,3),B(3,1), C(7,9).(1)易知直线x+2y 4 =z过点C时，z最大.所以x= 7,y= 9时，z取最大值21.(2)2 = 乂2+(丫5 2表示可行域内任一点(x,y您|J定点M(0,5)的距离的平方,过点M作直线AC的垂线，易知垂足 N在线段AC上,故z的最小值是92y- -1"2 2 1，(3) z = 2 三一"表

10、不可行域内任一点(x, y将定点Q -1,x-(-1 )<1 一-|连线斜率的27.3 37倍.因为kQA= , kQB =一，所以z的取值氾围为.匚，二.48_4 2【易错点】作出直线图像后要熟练掌握如何找到满足条件的可行域1.【思维点拨】(1)把直线直线x + 2y -4=z变形为y = -x + z+4可知在y轴上你的截距越大z就越大； 2(2)根据点线距离求即可;，、，11(3)先确定定点 Q -1, - - |再利用斜率求.<2Jlx -1,例2已知xy+1W0,贝Ux2+y2的最小值是2x-y -2<0【答案】5【解析】如图，只要画出满足约束条件的可行域，而x2

11、+y2表示可行域内一点到原点的距离的平方,由图易知 A1, 2 )是满足条件的最优解，x2 + y2的最小值是为5.【思维点拨】 本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下,寻求最优解。题型四基本不等式的应用作出可行域,例1已知a、b、cwR+，且a+b+c=1。求证:口一1丫1一1丫1一心8.laAb 人 c【答案】va、b、cwR + a+b+c=1/. -1 =1 = blc >Zbc a a a a同理1 _i _2_ac , 1_2Jb上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得 b b c cl1 一W2、ac1 一a = b = c =一时取等节3【思维

12、点拨】 不等式右边数字8 ,使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2连乘，又1-1 a上a =b_c _2_bc ,可由此变形入手.例 2 若 a>b>1, P=Jg a lg b,Q =)(lg a +lg b), R = lg(9-),则 P,Q,R的大小关系是22【答案】R Q P1【斛析】a > b >1 . . lg a0,lg b >0 ,则 Q =( Ig a+lgb)Jlga “g b = p2_ a b 1R = lg() aIg % ab = Ig ab = Q . R >Q > P.22【思维点拨】 因为Ig a >

13、; 0,lg b a 0所以可以利用均值不等式进行判断大小.【巩固训练】题型一 一元二次不等式解法及其应用.一 21 .不等式x+x 2 M0的解集为.【答案】-2,1【解析】易得不等式x2+x2<0的解集为(2,1).22 .已知关于x的不等式x -ax+2a>0在R上恒成立，则实数 a的取值范围是 .【答案】0, 8【解析】因为不等式x2 -ax +2a >0在R上恒成立.= (a)2 8a < 0 ,解得0 < a <8 .3 .已知函数f(x)=x2+ax+b(a,bw R)的值域为0 , +2),若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m,m

14、+ 6), 则实数c的值为.【答案】c = 9【解析】因为f(x)的值域为0,+ 8,所以A=0,即a 2 = 4b, 222 a 一 一一，一 ， ， ，、一一 一 一 a-一一所以x +ax +c=0的两根，由韦达定理得 2m+6 =a,m(m+6)=c,解得c = 9.44-24.已知函数f(x)=4x 1,x0，则满足不等式f (1x2)> f(2x)的x的范围是.1, x ：:：0【答案】(-1,、.2-1)21 - x - 2x 【解析】22=> x = (-1,V2 -1).1 - x 025.已知f(x)的定义域为 R的偶函数，当x至0时，f(x)=x 4x,那么，

15、不等式f(x + 2)<5的解集.【答案】(7,3)【解析】当x >0时，令x24x<5,解得，0&x<5 .又因为f(x)为定义域为 R的偶函数，则不等式f(x+2) <5 等价于5<x+2 <5,即7v x <3;故解集为(-7,3).题型二应用基本不等式求函数最值一 .281.已知x, y, >0, +=1 ,则xy的取小值是 x y【答案】64【解析】xy =xy12 =a2 y J32 = 644y 64 x ” c32-2x y一,281当且仅当一 =一 =3时，即x =4.y = 16,上式取“=,”故(xy in =

16、642.已知0 <x <1 ,则函数的最小值是1 一 x【答案】9【解析】因为0<x<1,所以1x>0。4141所以 y = = x - i1 -xx 1 -x-x 1 -x4 1 -x x=5 9x 1 - x当且仅当4 1 -x x2一时，即x=2 ,上式取“=：故Ymin =933.若 log4（3a +4b ）=log2 Vab ,则 a+b 的最小值是（）A. 6+2V3B. 7 +233C. 6+4、；3D. 7+4<3【解析】 由已知得3a+4b =ab,且ab >0,可知a >0,b >0 ,生+3a > 7+4>

17、;/3 .4 34所以一+一 =1 （a >0,b >0）, a+b=（a + b）（ a b当且仅当他=3a时取等 a b4.若2x+2y =1 ,则x + y的取值范围是（A. 0,2B.0C.-2,-：）D. （00,-2【解析】因为1所以x y=2x +2y 至2,2x 2y ,即 2x也 <2 ,< -2 ,当且仅当2x =2y,即x = y时取等5.若正实数x ,y满足xy=2x + y+6 ,则xy的最小值是【答案】18 【解析】因为 x>0, y>0 ,所以 xy = 2x + y+6±2,2xy+ 6, xy-2厄亍-6 2 0,

18、解得Jxy主3后或Jxy WJ2 （舍） 等号当且仅当2x = y=6时成立，故xy的最小值为18.题型三线性规划2x - y <21.设变量x、y满足约束条件d x y2-1 ,则z =2x +3y的最大值为 x y -1【答案】18【解析】如图，画出可行域，得在直线 2x y = 2与直线x y = -1的交点A(3, 4虺，目标函数z最大值为18x 0Qy 0Q 一一， 一，_，2.在约束条件下，当3ESE5时，目标函数z = 3x+2y的最大值的变化范围是()y x _ sy 2x < 4A. 6,15B. 7,15C. 6,8D. 7,8【答案】D【解析】 画出可行域如图

19、所示 ，当3Esc4时，目标函数z=3x + 2y在B(4 s,2s 4)处取得最大值，即 Zmax =3(4 s)+2(2s4) =s+4引7,8);当4MsM5时，目标函数 z = 3x+2y在点E(0, 4)处取得最大值，即 Zmax =3父0 +2M4 =8，故 zW7,8,从而选 D.3.在平面直角坐标系中，不等式组«x-y4y±0()A. 4&B.4【答案】B【解析】如图，作出可行域，易知不等式组-2上0表示,的平面区域的面积是C. 242D.2x + y-2E0,«x y+2之0表小的平面区域7个一'x-y=-2y之0hr+ 7 - sx + y -2 <0角形。容易求二角形的三个顶点坐标为A(0,2 ),11的面积为：S =-| BC |，| AO |二-父4父2 =4.从而选 B 22题型四基本不等式的应用1 . 91.已知x >0, y>0且一十=1,则使/、等式x + x yB(2, 0), C(-2, 0).T#二角形/、.y至m恒成立的实数m的取值范围是.y+2x=4【答案】m -二,1619 / x y 9x 9y (10 y 9x (【解析】 令 x+y=k,x>0, y>