广东省2020年全国卷适应性考试理科数学试题含答案

1、精品资料适应性考试理科数学、选择题：本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合xx2 4x 3 0, Bx2x1,则 AIA. 3, 1B. (, 3U 1,0)C.(,3)U(1,0D.(,0),3U 1,), B,0)，AI B (,3U 1,0).2.若z(a柩 ai为纯虚数，其中R,则7 i1 aiA. i【答案】B. 1C. iD.【解析】 z为纯虚数，a i7.2 i (.2i)(12i)1 ai 1 .2i (1 、2i)(1 、2i)3j33.设&为数列an的前n项的和，且Sn|(an1)(nA. 3(3n

2、2n)B.3nC. 3nD.2n 1a1Sia1a22(a12(a21)1)经代入选项检验，只有C符合.4.执行如图的程序框图,如果输入的a1N 100,则输出的xA. 0.95C. 0.99【答案】CB.D.0.981.00(121 2,1)(2 3) (13 41 1)3 4199 100(-)99 1001 x=x+n(n+ 1)n=n+1991005.三角函数f（x） sin（ 2x） cos2x的振幅和最小正周期分别是（）6A.B.居C- V2,2【解析】f (x) sin cos2x cossin2x cos2x663-3 .八 -.3-1 .八、cos2x sin 2x 、3(c

3、os2x sin2x)2222y3 cos（2x ）,故选 B .6. 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（A. 12C. 4【答案】DB. 6D. 2正四棱锥二一231(2+1) 2 2 .27.设p、q是两个命题，若 （p q）是真命题,那么（）A. p是真命题且q是假命题B. p是真命题且q是真命题C. p是假命题且q是真命题D. p是假命题且q是假命题【答案】D128.从一个边长为 2的等边三角形的中心、各边中点及三个顶点这离小于1的概率是（）7个点中任取两个点,则这两点间的距1A.一7【答案】A【解析】两点间的距离小于4C. 一7D.1共有3种情况,分别为中心到三个中点

4、的情况,故两点间的距离小于1的概率P3C29.已知平面向量 a、|b|1, a(a2b),则 |ab| ()A. 0B. <2C. 2【答案】D【解析】一a1 2-a2(a12b)a (a 2b) 0|a b | (a b)2、a2 2a b b2,210. (x2x)6的展开式中，常数项是(5A.4【答案】5B.4C.151615D.16【解析】1 C6(x2)6r 1 r1 r 12()(-)C6x2x 23r令 12 3r4.常数项为1 4 4(2)C6151611.(广东适应)已知双曲线的顶点为椭圆1长轴的端点，且双曲线的离心率与椭圆的离心率的乘积等于1,则双曲线的方程是(22.

5、A. x y 12b. yx2 1C.22D. y x【解析】椭圆的端点为 (0, J2),离心率为立，双曲线的离心率为272,依题意双曲线的实半轴a72, . c 2, b12 .如果定义在 R上的函数f(x)满足：对于任意 X1X2 ,者B有X1 f ( X1) X2 f ( X2 )xf(X2)X2 f (X1),则称f(x)为“H函数下列函数：yy 3x2( sin xcos x)；ln | x | x0，其中H函数”的个数是(0A. 4【答案】CB.C. 2D. 1【解析】一X f(x1)x2f (x2)Xi“X2)x2 f ( Xi),(Xix2)f(x1)收)0,f(x)在R上单

6、调递增.2) y、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，满分20分.13.已知实数x, y满足约束条件的取值范围是.2x y 2x y 1,若目标函数z 2x ay仅在点（3, 4）取得最小值，则ax y 1【解析】不等式组表示的平面区域的角点坐标分别为A(1,0), B(0,1),C(3,4),【答案】（,2）Za Sn为其前n项和，且对任意n N，均有an、Sn、an成等差数列,则an 【答案】n【解析】: an, Sn, a2成等差数列，2Sn an a2当 n 1 时，2a1 2S( a a又 a 0a1 1, Zb a , zc 6 4a.2.6 4a6 4a14.已知双曲线16y2

7、P1的左焦点在抛物线 y2 2Px的准线上，则p15.已知数列an的各项均为正数,当n 2时，2an2(Sn Sn1)an2anan (a2an 1 )(an【答案】42【解析】3 2 (R)2, p 4.162二(an an 1)(an an 1) (an an 1) 0 ,又 an an 10,anan 11,an是等差数列，其公差为1,*、a11，.二 an n(n N ).16 .已知函数 f(x)的定义域 R,直线x 1和x 2是曲线y f(x)的对称轴，且 f(0) 1,则f(4)f(10) .【答案】2【解析】直线x 1和x 2是曲线y f(x)的对称轴, f (2 x)f(x)

8、, f (4 x) f(x), f (2 x)f (4 x) ,y f (x)的周期 T 2.f (4) f (10) f (0)f(0)2.三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17.(本小题满分12分)已知顶点在单位圆上的ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,且2acosA ccosB bcosC .(1) cos A 的值；(2)若b22- bc b c a 4 3 1, c24,求 ABC的面积.【解析】(1)2acosA ccosB bcosC,2sin A cosA sinCcosB sinBcosC,1- 2sin A cosA sin(B C),ABC ，

9、二 sin(B C) sin A , . 2sin A cosA sin A .0 A , sin A 0 ,2cosA 1, cosA 1 .2(2)由 cosA由2,得 a 2sin A 73 . sin A2. 22.一S ABC-bcsin A 2 a b c 2bccos A,精品资料员工编号12345678910年薪(万兀)33. 5455. 56. 577. 585018.(本小题满分12分)某单位共有10名员工，他们某年的收入如下表:求该单位员工当年年薪的平均值和中位数;(1)从该单位中任取 2人，此2人中年薪收入高于 5万的人数记为，求 的分布列和期望;(2)(3)已知员工年

10、薪收入与工作年限成正相关关系，某员工工作第一年至第四年的年薪分别为3万元、4.5万元、5.6万元、7.2万元，预测该员工第五年的年薪为多少?附：线性回归方程1bx台中系数计算公式分别为:n(x x)(yi i 1 n(xi x)2 i 1y)yx ,其中x、y为样本均值.【解析】(2)(1)平均值为10万元，中位数为 6万元.年薪高于5万的有6人，低于或等于5万的有4人;取值为01, 2.P( 0)B z, p( 1)岑包 p(C20 15C20152)C2C6C2C10由线性回归方程为 y 1.4x 1.5 .可预测该员工年后的年薪收入为8.5万元.的分布列为012281P15153E()

11、0 92"x 2.5, y(3)设xi, yi (i1,2,3,4)分别表示工作年限及相应年薪，则(Xi2 一 一x) 2.250.250.252.25(Xix)( yiy)1.5(2)(0.5)(0.8) 0.50.6 1.5 2.2 7,(Xi x)(yiy)i 1n_(xi x)2i 11.4a? yb?x 5 1.42.5 1.5,精品资料19.(本小题满分12分)如图，在直二面角 E ABC中，四边形ABEF是矩形,AB2, AF2J3, ABC是以A为直角顶点的等腰直角三角形，点(1)证明：FB 面PACP是线段BF上的一点，PF3.(2)求异面直线PC与AB所成角的余弦

12、值.【解析】(1)证明：以 A为原点，建立空间直角坐标系，如图,则 A(0,0,0) , B(2,0,0)，C(0,2,0),F(0,0, 2肉, BF AB2AF24, PF 3,uuu FB(2,0, 2 4),uuurAC(0,2,0)uuu AP33(-,0,22)uuu FBuuurACuuu FBuuu AC .uuu FBuurAPuuuFBuurAP .1 FBFBAC,平面FBAPC .AP, AC IAPA,uuu(2) . AB(2,0,0)uurPC (2,2,uuuuuu记AB与PC夹角为cos | =uur uur_AB PC 33.7uur ii uur 产 .P

13、C 2.714AB【方法 2】（1） FB 4，cos PFAcos BFA,32(2)过PM /AB,PN /AF ,分别交BE, BA于点 M , N ,PA .'PF2 FA2 2PF FA cos PFAJ9 12 2 3 2氐 73/2 卮_2 2 _ -_2 PA PF 3 9 12 AF , . PA BF .平面ABEF 平面ABC ,平面ABEF I平面ABC AB ,AB AC , AC 平面 ABC , AC 平面 ABEF . BF 平面 ABEF , AC BF . PAI AC A, BF 平面 PAC .MPC的补角为PC与AB所成的角.连接33PN MB

14、 , AN22nc Jan2 ac2 5, bc 2V2, 2PC .PN2NC2,7,MCMB"BC2 T'cos MPC135 7 443273714.异面直线PC与AB所成的角的余弦值为3.71420.（本小题满分12分）2已知抛物线C： y 4x,过其焦点F作两条相互垂直且不平行于X轴的直线，分别交抛物线 C于点Pl、P2和点P3、P4,线段P1P2、P3P4的中点分别为Mi、M2.（1）求 FM1M2面积的最小值;（2）求线段M1M2的中点P满足的方程.【解析】（1）由题设条件得焦点坐标为F(1,0),设直线PP2的方程为y k(x 1)联乂 2,y 4x2(2 k

15、2)2y k(x得 k2x24k2k2设 P(X1, y1 ) , P2 (x2, y2),贝UxM1设以(*乂1 , yM1 ),则yM11),2(216(1k 0.22k2)x k2 0. (*)x1x2x1 x22k( XM1类似地，设M2（XM2,yM2）,则.IFM1I (1 丁)2IFM2I , (2k2)2 ( 2k)(2)5k2)0._ _22(2 k )1)xM2yM2k22 k2k22( k1/1k22k2k2 12k2k2;1 k2 ,2|k| .1 k2 ,因此S FM 1M 21|k|I k | 2 , S FM1M21当且仅当| k |,即k|k|4,1时，S FM

16、1M 2取到最小值4.(2)设线段M1M2的中点P(x, y)，由(1)得1k2112 OOx (xmi xm2 ) 一(2 2k ) 1 k21-IFM1I IFM2I 2( |k|).1k 12k21 ,、1 ,2 .1y 2(yM1 yM2)2k)k -消去k后得y2 x 3.线段M1M2的中点P满足的方程为y2 x 3.(本小题满分12分)12.八设函数 f(x) x ln x mx ( m 0).2(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)的零点个数;(3)证明：曲线y f(x)没有经过原点的切线._ 1 x mx 1【解析】(1) f(x)的定义域为(0,), f(x) x 1

17、m -一mxxx令 f (x) 0,得 x一12-1记 g(x) x In x 1 (x 0),则 g(x) x 一2x令g (x) 0 ,解得x 1.当 0 x 1 时，g (x) 0,当 x 1 时，g (x) 0, mx 1 0 .m 2时，f (x) 0 , 2.2时，由x mx 1m2 42X2 f(x)在(0,0解得Xx2 ,)内单调递增.在区间(0, x1)及(x2,)内，f (x) 0,在(x1,x2)内，f (x) 0, f (x)在区间(0,为)及(x2,)内单调递增，在(2)由(1)可知，当0 m 2时，f (x)在(0,1又 f(x) x(x 2m) lnx,，当 0

18、x2(为？2)内单调递减.)内单调递增，f (x)最多只有一个零点.2m且 x 1 时，f(x) 0;x 2m且x 1时，f (x) 0,故f(x)有且仅有一个零点.m 2时，f(x)在(0,x1)及(x2,)内单调递增，在(x，x2)内单调递减,1 ,m<m4 2 f(x1)-()22m2 m m2 4 2,m . m2 4In 2m . m2 4 ln-m(m2 m 而m22m . m44)22 cmm2- °，2),f(x1) 0,由此知 f (x2)f(x1)0,2(m m2 4)内有且仅有一个零点.又.当 x 2m 且 x 1 时，f(x) 0,故 f(x)在(0,

19、综上所述，当m 0时，f(x)有且仅有一个零点.(3)假设曲线y f (x)在点(x, f(x) (x 0)处的切线经过原点,12-x In x mxf (x),即 2 xx1 2化简得：一x2 Inx 1 0 (x 0). (*) 2g(1)3是g(x)的最小值，即当,1x 0 时，一 x2由此说明方程(*)无解，曲线yf (x)没有经过原点的切线.d, Ab Af , bf与ad、ao分别交于点e请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清楚题号.22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图所示，BC是半圆。的直径，AD BC,垂足为G

20、.(1)证明： DAO FBC;(2)证明：AE BE.【解析】(1)连接FC , OF ,Ab Af , ob of ,点G是BF的中点，OG BF . BC 是 e O 的直径，CF BF .OG/CF . AOB FCB ,DAO 90 AOB, FBC 90 FCB , DAO FBC .(2)在 Rt OAD 与 Rt OBG 中，由(1)知 DAO GBO,又 OA OB, OAD OBG ,于是 OD OG . AG OA OG OB OD BD .在 Rt AGE 与 Rt BDE 中， 由于 DAO FBC , AG BD , AGE BDE , AE BE .x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，曲线 C的