偏导数练习总

1、1设有三个正数，它们的和为12，当它们取何值时，函数达到最大？解：用拉格朗日乘子法，得到拉格朗日函数：， 2分对该函数求偏导数，得到方程组：4分解上面的方程组，得到6分根据问题的实际意义，可知这组解就是唯一的解，即是极大值点，极大值为6912。 8分2. 设，具有连续偏导数，证明： 。证明：由于2分4分所以：6分3、设 ，求.解： 3分 6分4. 设，其中具有连续的偏导数，求.解： ； 4分 。 8分5在椭球面上求到平面的距离最近的点和最近的距离，最远的点和最远的距离.解： 椭球面上的点到平面的距离2分构造辅助函数，分别对求导数，并令其为零，有4分得到，代入，可得驻点6分分别求得到平面的距离为

2、，由于实际问题中最远和最近距离存在，因此所求最近点为，最近距离，最远点为，最远距离为. 8分6、设，而，求.解： 2分 =4分 =6分7、求函数的极值.解：先解方程组2分得驻点 再求出二阶偏导数：4分从而在点（1，0）处，故去的极小值；在点（1，2）处，无极值；6分在点（-3，0）处，无极值； 在点（-3，2）处，故去的极大值.8分8、现用铁板做成一个表面积为36的有盖长方体水箱,问长、宽、高各为多少时体积最大?并求最大体积.解：设长方体水箱的长、宽、高分别为，则问题就是在约束条件下，求函数的最大值。 2分构造辅助函数, 对其求的偏导数，并使之为零，得 4分6分由上式得代入（1）得这是唯一的极

3、值点，所以最大值为. 8分9、设，求.解： 2分4分6分10、已知三角形一条边长为，其对角为，利用拉格朗日乘数法求其它两条边的长，使三角形的面积为最大.解：设三角形另两边长分别为，则问题就是在约束条件下，求函数的最大值。 2分构造辅助函数, 对其求的偏导数，并使之为零，得 4分6分由上式得代入（1）得这是唯一的极值点，所以最大值为. 8分11、设，求.解：3分6分12、求函数在闭域上的最小值和最大值.解：在区域D内，由的唯一驻点（1，1），2分当x=0时，；（在点（0，0）及（0，2） 当y=0时，；（在点（0，0）及（0，）4分当x=2时，；（在点（2，2）及（2，0）当y=2时，；（在点（

4、2，2）及（0，0）6分比较得原函数的最大值为5,最小值为-3 。 8分13、将正数30表示成3个正数之和，试求各等于多少时，函数达到最小.解：解：用拉格朗日乘子法，得到拉格朗日函数：， 2分对该函数求偏导数，得到方程组：4分解上面的方程组，得到6分根据问题的实际意义，可知这组解就是唯一的解. 8分14、求函数极限.解：2分 4分6分15、设 ，求，.解： 3分6分16、在椭圆上求一点，使其到直线2x3y6=0的距离为最近.解：问题就是在约束条件解：设为椭圆上的任意一点，即有，P到直线2x + 3y6 = 0的距离为 . 2分作拉格朗日函数 4分. 解得6分故为两个驻点，从而，又由实际问题可知

5、最短距离存在，因此点即为所求点. 即为最短距离 8分17、求极限.解：2分4分 =-86分18、设，求.解： 3分6分19、设长方体的表面积为，求体积最大的长方体，并求最大体积解：设长方体的长宽高分别为。问题就是在约束条件下，求函数的最大值。 2分构造辅助函数, 对其求的偏导数，并使之为零，得 4分6分由上式得代入（1）得这是唯一的极值点，此时函数达到最大，即为正方体时体积最大8分20、设, 证明: 证：2分2分6分21、设 求解：，4分 5分6分22、在平面上求一点，使它与两定点距离平方和最小。解：设点在平面上，2分令，分别对求偏导数，并令其为零，有4分解得， 6分代入，求得M8分23、设函

6、数由方程确定，证明：证：设则2分4分6分24、求解：2分4分 =-2 6分25、已知，且 ，求解：由得2分 于是，4分6分26、求函数的极值.解：先解方程组求得驻点 2分 且 4分 在处，此时无极值； 6分 在，函数取得极小值在，函数取得极大值 8分27、设，而，求. 解： 2分4分6分28、设，求及.解： 设，则 2分4分6分29、设有一根长为的铁丝，将其分成两段，分别构成圆形和正方形，设圆形的面积为，正方形的面积为，证明： 当最小时，.证： 设两根铁丝长分别为（构成圆），（构成正方形），则4分 由得唯一驻点 6分从而 8分30设 ，求全微分。解： 2分4分31. 求二元函数的极值.解：由得

7、方程组 ，解得4分 又由解得 ，故为极小值 6分 将代入得，8分32. 设，证明。解: 2分4分代入整理得 ，得证6分33、设,求.解： 3分6分34、设,其中求.解： 3分6分35、讨论函数的极值.解：由得方程组 ，解得4分 又由解得 ，故为极小值 6分 将代入得，8分36、求由方程所确定的函数的偏导数.解：有题意 3分7分37、设求.解：4分8分38、现用铁板做成一个表面积为36的无盖长方体水箱,问长、宽、高各为多少时体积最大?并求最大体积.解：由题意分别设水箱长，宽，高为则所求即为，又由代入得2分对上式求极值，得4分又由的对称性知6分解得，则8分这时10分39、设,求.解： 3分6分40

8、、讨论函数的极值.解：由得方程组 ，解得4分 又由解得 ，故为极小值 将代入得，41、设函数由方程=0 确定，且具有连续的偏导数，证明： 。 令2分6分42、设,求.解：有题意 3分 得：6分43、在xoy平面上求一点，使得它到x=0，y=0和x+2y-160三直线的距离平方之和为最小。解：设所求该点为，直线过点故所求点到直线距离可以下式计算：2分平方和最小，则 ，求出即所求点为8分44、设可微,证明.解：令4分代入左式即等于右边，得证45、解：1分6分46、解： 47、解：3分7分8分49、解：由1分得2分从而， 4分又6分即 ，由于所以无极值。 8分50、证明：由于2分 显然随着的值的不同而改变。 4分 故极限不存在。 51、解：2分3分4分5分6分52、解： 对方程两端关于求偏导得： ，且4分再对上式两端关于求偏导得：7分 从而有8分53.方程 确定，求.解： 54设，其中具有二阶导数，求解：55.求曲面与曲面所围立体的体积.6分8分56.设，求.57、解： 58. 讨论函数的极值。解：由 得，2 又4分6分 即 7分由于，则函数无极值 8分59. 用铁板做成一个表面积为36的无盖长方体水箱，问如何设计尺寸使体积最大.解：设长方体水箱的长，宽，高分别为则表面积为1分 体积为化简得2分由于 4分令，解得又，即6分由于且，故当长，宽，高分别为时，体积最大。 8分60. 设，