全国硕士入学统考数学二试题考研数学真题及解析

1、2007年考研数学二真题一选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内）（1） 当时，与等价的无穷小量是 （ ） A. B. C. D.（2）函数在区间上的第一类间断点是( )A. 0 B. 1 C. D. （3）如图.连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设则下列结论正确的是： （ ） . (4)设函数f（x）在x=0处连续，下列命题错误的是 ( )A. 若存在，则 B. 若存在, C. 若存在, 则 D. 存在, （5）曲线渐近线的条数为 （ ） 0 1

2、2 3(6)设函数在上具有二阶导数，且, 令= 则下列结论正确的是 ( )A.若，则必收敛 B. 若，则必发散 C. 若，则必收敛 D. 若，则必发散（7）二元函数在点（0，0）处可微的一个充分条件是 （ ）A. B. ，且C. D. 且（8）设函数连续，则二次积分等于 （ ） （9）设向量组线形无关，则下列向量组线形相关的是： ( ) （A） （B） （C） （D）（10）设矩阵A=，B=,则A于B， （ ） (A) 合同，且相似 (B) 合同，但不相似(C) 不合同，但相似 (D)既不合同，也不相似二填空题：1116小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上_.曲线上对应于的

3、点处的法线斜率为_设函数，则_.二阶常系数非齐次线性微分方程的通解y_.设是二元可微函数，,则.设矩阵，则的秩为_.三、解答题：1724小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）设是区间上单调、可导函数，且满足，其中是的反函数，求.（18）（本题满分11分） 设D是位于曲线 下方、轴上方的无界区域.（）求区域D绕轴旋转一周所成旋转体的体积；（）当为何值时，最小？并求此最小值.（19）求微分方程满足初始条件的特解.（20）已知函数具有二阶导数，且1，函数由方程所确定.设求，.(21)（本题11分） 设函数在上连续，在内具有二阶导数且存在相等的

4、最大值，证明：存在使得.（22）（本题满分11分）设二元函数计算二重积分其中(23)（本题满分11分）设线性方程组与方程有公共解，求的值及所有公共解 (24)设3阶对称矩阵A的特征向量值是A的属于的一个特征向量,记其中为3阶单位矩阵验证是矩阵的特征向量,并求的全部特征值的特征向量；求矩阵.2007年考研数学二真题解析一选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内）（2） 当时，与等价的无穷小量是 （B） A. B. C. D.（2）函数在区间上的第一类间断点是(A)A. 0 B. 1 C. D. （3）如图.连续函

5、数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设则下列结论正确的是：（C） . (4)设函数f（x）在x=0处连续，下列命题错误的是 (C)A. 若存在，则 B. 若存在, C. 若存在, 则 D. 存在, （5）曲线渐近线的条数为 （D） 0 1 2 3(6)设函数在上具有二阶导数，且, 令= 则下列结论正确的是 (D)A.若，则必收敛 B. 若，则必发散 C. 若，则必收敛 D. 若，则必发散（7）二元函数在点（0，0）处可微的一个充分条件是 （B）A. B. ，且C. D. 且（8）设函数连续，则二次积分等于 （B） （9）设向量组线形无关，则下

6、列向量组线形相关的是： (A) （A） （B） （C） （D）（10）设矩阵A=，B=,则A于B， （B）(A) 合同，且相似 (B) 合同，但不相似(C) 不合同，但相似 (D)既不合同，也不相似二填空题：1116小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.曲线上对应于的点处的法线斜率为（）.设函数，则.二阶常系数非齐次线性微分方程的通解y_.设是二元可微函数，,则.设矩阵，则的秩为_1_.三、解答题：1724小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）设是区间上单调、可导函数，且满足，其中是的反函数，求.【详解】：设则. 则

7、原式可化为： 等式两边同时求导得： （18）（本题满分11分） 设D是位于曲线 下方、轴上方的无界区域.（）求区域D绕轴旋转一周所成旋转体的体积；（）当为何值时，最小？并求此最小值.【详解】： 得 故 即是唯一驻点，也是最小值点，最小值（19）求微分方程满足初始条件的特解.【详解】：设，则代入得： 设 则 即 由于 故 即 由或 特解为或（20）已知函数具有二阶导数，且1，函数由方程所确定.设求，.【详解】： 两边对求导得 得 （当 故有 （本题11分） 设函数在上连续，在内具有二阶导数且存在相等的最大值，证明：存在使得.【详解】：证明：设在内某点同时取得最大值，则，此时的c就是所求点.若两个

8、函数取得最大值的点不同则有设故有，由介值定理，在内肯定存在由罗尔定理在区间内分别存在一点0在区间内再用罗尔定理，即.（22）（本题满分11分）设二元函数计算二重积分其中【详解】：D如图（1）所示，它关于x,y轴对称，对x,y均为偶函数，得，其中是D的第一象限部分.22xyx1212y(1)(2)由于被积函数分块表示，将分成（如图（2）：,且于是.而 所以 得 （本题满分11分）设线性方程组与方程有公共解，求的值及所有公共解.【详解】：因为方程组(1)、(2)有公共解，即由方程组(1)、(2)组成的方程组的解.即矩阵方程组(3)有解的充要条件为.当时，方程组(3)等价于方程组(1)即此时的公共解为方程组(1)的解.解方程组(1)的基础解系为此时的公共解为：当时，方程组(3)的系数矩阵为此时方程组(3)的解为，即公共解为： (24)设3阶对称矩阵A的特征向量值是A的属于的一个特征向量,记其中为3阶单位矩阵验证是矩阵的特征向量,并求的全部特征值的特征向量；求矩阵.【详解】：（）可以很容易验证，于是 于是是矩阵B的特征向量. B的特征值可以由A的特征值以及B与A的关系得到，