化学中的数学原理

1、化学中的数学原理化学作为一门综合性很强的学科，与数学有着千丝万缕的联系。研究一下化学和数学的关系，对我们的化学学习有益无害。本文就化学竞赛中应用的数学原理进行初步探讨。鉴于时间仓促，文章难免有疏漏之处。下面列举化学中常见的数学应用：一、十字交叉法十字交叉法应该算是运用最为广泛的数学原理，可是有很多同学不知道十字交叉法的原理。俗话说：“知其然，知其所以然。”我们首先了解一下十字交叉法的原理。若用x、y分别表示二元混合物两种组分，混合物总量为x+y。若用A、B分别表示两组分的特性数量（例如分子量），C表示混合物的特性数量（例如平均分子量）则有如下的二元一次方程：Ax+By=(x+y)C经过整理可以

2、变成 ：即：x : y = （C B） : （A C）由此我们可以看出“十字交叉法”是由二元一次方程演变而来的，这就是“十字交叉法”的数学原理。对这个公式进行化简可以写成：x A C BCy B A - C这是我们熟悉的十字交叉法的表达形式。我们亦可以运用“鸡兔同笼”的极限思想来理解十字交叉法，这和用公式刻画的方法殊途同归。 经总结，十字交叉法在以下情况下有应用：（1）有关质量分数的计算（用两种不同浓度溶液的质量分数与混合溶液的质量分数作十字交叉，求两种溶液的质量比）例： 实验室用密度为1.84克/厘米3 98%的浓硫酸与密度为1.1克/厘米3 15%的稀硫酸混和配制密度为1.4克/厘米3 5

3、9%的硫酸溶液, 取浓、稀硫酸的体积比最接近的值是A. 1:2B. 2:1C. 3:2 D. 2:3分析98 44 5915 39其体积比为 :44/1.84 : 39/1.1 2:3答案为D（2）有关物质的量浓度的计算（用混合物的物质量的浓度与混合后的物质量的浓度做十字交叉，求体积比）例：物质的量分别为6摩/升, 1摩/升的硫酸溶液,按怎样的体积比才能配成4摩/升的 溶液?分析 63 4 1 2根据溶质物质的量守恒, 满足此式的是6X + Y = 4 (X+Y)X 和 Y 之比是体积比,故十字交叉得出的是体积比为3 : 2 ,答案为6摩/升, 1摩/升的硫酸溶液,按3 : 2的体积比才能配成

4、4摩/升的溶液（3）有关平均分子量的计算（通过纯物质的物质量分数与混合后的平均分子量做十字交叉，求百分数）例: 实验测得乙烯与氧气混合气体的密度是氢气的14.5倍,可知其中乙烯的质量百分比为: A.25.0% B.27.6% C.72.4% D.75.0%分析 28 329321根据质量守恒, 满足此式的是 28X + 32 Y = 29(X+Y)X 和 Y 之比是物质的量之比,故十字交叉得出的是物质的量比3 : 1,乙烯的质量百分含量= 答案为C （4）有关平均原子量的计算（用同位素的原子量或质量数与元素原子量作交叉，求原子个数比或同位素百分数）例: 铜有两种天然同位素 63-Cu和 65-

5、Cu , 参考铜的原子量为63.5 , 估算 63Cu 的平均原子百分含量约是A. 20% B.25% C.66.7% D.75%分析 63 1.563.5650.5根据质量守恒, 满足此式的是 63X + 65 Y = 63.5 (X+Y)可知X :Y 应为原子个数比，故得出的是原子个数比故 63Cu的原子百分含量= （5）有关反应热的计算（有单个反应的热效应与混合都反应热做十字交叉，求百分数）例: 已知下列两个热化学方程:2H 2(g) + O2 (g) = 2H2O(l) +571.6kJC3H8 (g) +5O2 (g) = 3CO2 (g) + 4H2O (l) + 2220kJ,

6、实验测知氢气和丙烷的混和气体共5摩尔完全燃烧时放热3847千焦, 则混和气体中氢气和丙烷的体积比是A. 1:3B. 3:1 C.1:4D. 1:1分析 1450.6 2220 483.6根据总热量守恒, 满足此式的是 285.8X + 2220 Y = 769.4 (X+Y)可知X :Y 应为物质的量比，即体积比。（6）有关混合物反应的计算（利用单个反应消耗某种反应物的量与混合后做十字交叉，求分数）例：已知白磷和氧气可发生如下反应：P4 +3O2 = P4O6 ，P4 +5O2 = P4O10 在某一密闭容器中加入62克白磷和50.4升氧气(标准状况), 使之恰好完全反应, 所得到的P4O10

7、 与P4O6 的物质的量之比为A. 1:3 B. 3:2 C. 3:1 D. 1:1分析 P4O10 51.5P4O6 30.5根据O2物质的量守恒, 满足此式的是5X + 3Y = 2.25/0.5 (X+Y)X 和 Y 之比是P4O10 和P4O6物质的量比,故十字交叉得出的物质的量比为3:1, 答案为C（7）有关体积分数的测定（用组分的式量与混合气的平均式量做十字交叉，求组分体积比或含量） 例：已知H2 和CO 的混合气，其平均式量是20，求混合气中H2 和CO 的体积比。 解： H2 2 2820420CO 28 2029即：体积比为4:9（8）有关两种含相同元素物质的质量比（用两种物

8、质中同一元素的质量分数求两物质的质量比）例：FeO 中和FeBr2 的混合物中Fe 的质量百分率为50%，求两物质的质量比解： FeO 7/9 13/54 131/2FeBr2 7/27 5/18 15即：两物质的质量比为13:15总结一下，只要是二元线性混合体系，我们都可以采用十字交叉法。当我们在做化学计算题时，如果能善于运用十字交叉法，将避免繁琐地解一元二次不等式组，大大提高我们的解题速度和效率。另外，采用此种方法快速检查也是一个好的选择。二、微积分 微积分作为一种运用广泛的数学工具，在化学中是不是也有所涉及呢？答案是肯定的。大纲中要求在物理化学中的化学动力学中掌握“用实验数据推求反应级数

9、。一级反应积分式及有关计算（速率常数、半衰期、碳-14法断代等）。”下面先直接给出常见反应级数的速率方程。由于大纲对一级反应有明确要求，所以我们对一级反应的速率方程进行推导。一级反应的定义：反应速率与反应物浓度的一次方成正比的反应。例如：镭的衰变就是一级反应：Ra Rn + He 微分式： A Bt=0 cA,0= a 0t=t cA= a-x x或上式说明随着反应的进行，CA 小，反应速率小 不定积分式：或 或 定积分式： 或 令y= ，则上式可化简为：当y=时，t1/2=ln 2/k1 即得到半衰期的表达式。三、欧拉公式近几年在化学竞赛中我们常会遇到一类与C60系分子有关的问题。先简单介绍

10、一下C60。C60分子可以理解为B12分子在每个顶点处切一刀得到的： 而C60和欧拉定理有什么关系呢？这是欧拉公式：简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系：V+F-E=2我们首先证明这样一个欧拉公式的推论：五边形和六边形构成的封闭多边形，一定有五边形12个。证明 设五边形n个，六边形m个。2+E=V+F （易证每个顶点仅会发出3条线段）化简即得n=12下面我们看这样一道典型的例题：例题1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家。C60是由60个C原子组成的分子，它结构为简单多面体形状。这个多面体有60个顶点，从每个顶点引出3条棱，各面的形状分为五边形和六边形两种，计算

11、C60分子中形状为五边形和六边形的面各有多少？解析因每两个顶点共有一条棱故每个顶点独立拥有1.5条棱，所以棱数=1.5*60=90根据欧拉公式： V+F-E=2可知C60的面数=2+90-60=32若此多面体的面全为五边形则应有32*5/3个顶点（一个五边形有5个顶点每个顶点被三个面所共有），同理若全为六边形则应有32*6/3个顶点。由十字交叉法可以得到：五边形:六边形 = 12：20=3：5五边形12个，六边形 20 个。有了欧拉公式和这条推论，我们可以求出Cx系化合物中x的最小值为20。面对任何Cx系化合物，只要根据碳素守恒和欧拉公式，可以说是没有难解的题。四、对称与群 化学竞赛决赛一定会

12、要求一道有关分子对称的题目，一般来说是寻找分子的对称元素。这是一类非常困难的题目，极易遗漏。利用群论，我们不仅可以轻松解答类似习题，而且还可以证明为什么会有如此多点群以及空间只有7个布拉维系的原因。下面举几个例子，初步体会一下分子对称之美。最为大家熟知的分子莫过于水分子 H2O 了。利用群论,我们可充分地体会到其分子结构的几何对称美。H2O 分子呈折线形构型,不难看出,在水分子中有一个 C2轴(即对称旋转轴)和两个通过它的对称面(分别记为v 、v)。水分子所属的点群获得符号 C2v。它代表的意思是该分子具有一个 C2轴，同时还有两个包含 C2轴的并互相垂直的反映面v和v。 CH4具有正四面体结

13、构，属于 Td (tetrahedral，四面体形) 点群，具有四个通过一顶角和其对面中心的 C3轴;三个通过每一组对边中点的 C2轴，三个 S4轴(与 C2轴重合)，以及六个通过一条边并平分其对边的对称面。例题 我们知道，自然界中很多物质是对称的，如果一个物体在一面镜子中的“影子”和这个物质重合，那么这个镜子就称为这个物体的对称面。如正方形中，经过其对角线且垂直于该正方形的平面就是它的对称面，经过其相对两边中点且垂直于该正方形的平面也是它的对称面，当然，正方形本身的平面也是其对称面，所以它共有5个对称面。化学上，很多分子都有对称面，如水分子就有两个对面。正方形有5个对称面 H2O的两个对称面

14、判断下列物质各有几个对称面：CO2： P4： P4O10： SF6： 答案 3 无穷多个 6 6 9五、数列与极限例题1 人们在对烷烃分子空间结构的研究中发现某一系列的烷烃分子只有一种一卤取代物。如：这一系列烷烃具有一定的规律性，当一种分子的H 全部被CH3取代后，它的一卤代物的异构体数目不变。请写出这一系列化学式的通式。解析 由题意可知，该系列烷烃的分子式依次为：CH4, C5H12, C17H36，观察分子式，可将氢原子数表达成14，34，94，即，304，314，324。由此可知，第n项的分子式中氢原子数为34。设第n项的分子式为CmH2m+2 ，可得2m+2=34,解得m=231。所以

15、，该系列化学式的通式为C231H34例题2一系列有机化合物结构按以下顺序排列，CH3CH=CHCHO, CH3(CH=CH)2CHO, CH3(CH=CH)3CHO,该系列有机物中，分子中碳元素的质量分数最大值接近于多少？ 解析 由题意可知，该系列有机物的通式可写成CH3(CH=CH)nCHO。因此，分子中的含碳元素的质量分数为： C%= = =92.3%六、排列组合例题 三肽为三个氨基酸分子失去两个水分子缩合而成的，某三肽水解后得到下列三种氨基酸： 则这种三肽可能的结构有多少种？这三种氨基酸最多能组成多少种三肽？解析 氨基酸缩合成多肽是一个排列问题，即A=6种。氨基酸最多能组成多少种多肽涉及到组合的问题了。从三种氨基酸中取一种缩合成三肽，有C=3种；从三种氨基酸中取两种缩合成三肽，有2CC=18种；从三种氨基酸中取三种缩合成三肽，有A=6种。所以，最多可构成C+2CC+ A=27种三