自动控制原理第二章1

1、1第二章 控制系统的数学模型u本章难点及基本要求：l能利用学过的各方面知识建立简单数学模型。l熟练运用方框图变换化简方法获得系统的传递函数（这是本章的重点）l本章主要介绍4种数学模型：微分方程、传递函数、结构图、信号流图以及相关的一些知识。这是控制系统分析的基础。2 在生产实际中的自动控制系统的种类很多，有机械的、生物的、电器的、社会经济的等，对于一个具体的自动控制系统来说，我们最关心的是该系统最终是否能为我们服务，也就是说我们关心的是对某自动控制系统给一个输入信号后，它的输出将如何变化，能不能达到我们的要求。这是我们设计控制系统最为关心的事情。为此我们要对系统进行分析何谓系统分析？何谓系统分

2、析？ 在分析控制系统时已知系统的输入，来研究系统的输出将如何变化，称为系统分析。3n设计和分析任何一个控制系统，首要任务是建立系统的数学模型。n系统的数学模型是描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。n建立数学模型的方法分为解析法和实验法建模方法：u解析法解析法：根据所遵循的物理、化学、生物等规律根据所遵循的物理、化学、生物等规律列写系统的运动列写系统的运动方程。u 实验法实验法：通过实验的方法，由系统对输入信号响通过实验的方法，由系统对输入信号响应，确定系统的运动方程应，确定系统的运动方程。总结： 前种方法适用于简单，典型，通用常见的系统；而后种适用于复杂，非常见的系统。实

3、际上常常是把这两种方法结合起来建立数学模型更为有效.5一、列写运动方程的步骤一、列写运动方程的步骤1）分析系统的工作原理和系统中各变量间的关系，确定出待研究元件或系统的输入量和输出量；2）从输入端入手（闭环系统一般从比较环节入手），依据各元件所遵循的物理，化学，生物等规律，列写各自方程式，但要注意负载效应。所谓负载效应，就是考虑后一级对前一级的影响。3）将所有方程联解，消去中间变量，得出系统输入输出的标准方程。所谓标准方程包含三方面的内容：将与输入量有关的各项放在方程的右边，与输出量有关的各项放在方程的左边；各导数项按降幂排列；将方程的系数通过元件或系统的参数化成具有一定物理意义的系数。6l线

4、性系统的特点u 线性微分方程有一定标准解法；u 适用叠加原理u 工程控制中，大多数系统都可以忽略一些因素看作为线性系统。经典控制理论主要研究的线性定常系统72-1控制系统微分方程的建立q基本步骤：基本步骤：q分析各元件工作原理分析各元件工作原理,明确输入、明确输入、输出量输出量q建立输入、输出量的动态联系建立输入、输出量的动态联系q消去中间变量消去中间变量q标准化微分方程标准化微分方程8 列写微分方程的一般方法列写微分方程的一般方法n例例1. 1. 列写如图所示RC网络的微分方程。RCuruciidtiRuCr1idtuCc1(2 1)rccuudtduRC(22)rccuudtduT(23)

5、解：由基尔霍夫定律得:式中: i为流经电阻R和电容C的电流,消去中间变 量i,可得:TRC 令 （时间常数），则微分方程为：n例例2.2. 设有一弹簧-质量-阻尼动力系统如图所示，当外力F(t)作用于系统时，系统将产生运动，试写出外力F(t)与质量块的位移y(t)之间的动态方程。其中弹簧的弹性系数为k，阻尼器的阻尼系数为f，质量块的质量为M。MF(t)kfy(t)11解：分析质量块m受力，有外力F,弹簧恢复力 Ky（t）阻尼力惯性力根据牛顿第二定律( ) /fdy tdt22/md y dt式中：Fi是作用于质量块上的主动力，约束力以及惯性力。将各力代入上等式，则得MF(t)kfy(t) ma

6、Fi22( )( )( )( )d y tdy tmfKy tF tdtdt(24)式中：ym的位移（m）； f阻尼系数（N/m/s); K 弹簧刚度（N/m)。将（2-4）式的微分方程标准化22( )( )1( )( )m d y tf dy ty tF tKdtKdtK222( )( )2( )( )d y tdy tTTy tkF tdtdt(25)T称为时间常数， 为阻尼比。显然，上式描述了MKf系统的动态，它是一个二阶线性定常微分方程。令 ， 即 /Tm K2/TfK/2fmK ， 则 可写成(24)1/kK14例3 液面控制系统，这里我们主要研究进水量Q1与液面高度H的变化关系,即

7、Q1位输入量，H为输出量。其它量均为中间变量给定输入Q1干扰输入Q2液面HS水箱底面积解：若研究Q1变化后，液面高度H的变化规律，我们知道水是不可压缩，根据质量守恒定律sdHdtQQ)(21（1）式中：2Q-为中间变量，HQ2为流量系数将（1）式整理得：sQsQdtdH21HQ2将代入上式得：sQHsdtdH1 很显然这是一非线性微分方程，也就是说此液面控制系统为非线性系统例例4 4：直流电机转速开环控制系统uaEdLaRaiaLa电枢绕组的电感Ra电枢绕组的电阻Ia电枢电流Ed电枢转动时，在电枢绕组上产生的反电势将以上系统用方框图描述直流电动机开环速度控制系统给定输入Ua系统输出n干扰输入M

8、c解：根据刚体旋转运动定律cMMdtdnJ（1）式中：-电机的转动惯量JM-电磁力矩；aiiKM ；ik电磁力矩常数由（1）式整理，得caiMiKdtdnJ得：iciakMdtdnkJi-中间变量又由克希夫电压平衡定律baaaaaEdtdiLRiu（2）又nkEbb反电势常数联立（1），（2）式消除中间变量，得系统的数学模型cmcamadmmaMkdtdMTkukndtdnTdtndTT22式中：JTkkkkkJRTRLTmmbabiamaaa,1,讨论：当系统负载不变时，改变输入电压，观察电机转速变化情况当输入电压不变时，改变负载，观察电机转速变化情况当输入电压和负载同时变化时，观察电机转速

9、变化情况20例例5 5 直流电机转速闭环控制系统解：解此题我们首先绘制出系统的方框图ub电压放大功率放大电机测速发电机ubueuiuanuf-Mc 从系统方框图中可见，系统有两个输入量Ub,Mc，系统的输出为电机的转速n逐个写出个环节的微分方程逐个写出个环节的微分方程 比较环节比较环节 放大环节放大环节fbeuuuedauku 控制对象电机（例3），cmcambdmmaMkdtdMTkukndtdnTdtndTT22测速发电机nkunf联立以上四个方程，消除中间变量，得cmcambdndammaMkdtdMTkuknkkkdtdnTdtndTT)1 (22系统可简化为：电动机UbMcn2322

10、 微分方程的线性化n在实际工程中，构成系统的都具有不同程度的非线性，如下图所示一、小偏差线性化的基本概念于是，建立的动态方程就是非线性微分方程，对其求解有诸多困难，因此，对非线性问题做线性化很有必要。u 对弱非线性的线性化对弱非线性的线性化如上图（a），当输入信号很小时，忽略非线性影响，近似为放大特性。对（b）和（c），当死区或间隙很小时（相对于输入信号）同样忽略其影响，也近似为放大特性，如图中虚线所示。u 平衡位置附近的小偏差线性化平衡位置附近的小偏差线性化输入和输出关系为如下所示的非线性25在平衡点A（x0，y0）处，当系统受到干扰，y只在A附近变化，则可对A处的输出输入关系函数进行泰勒展

11、开，由数学关系可知，当 很小时，可用A处的切线方程代替曲线方程（非线性），即小偏差线性化。x可得 ，简记为 y=kx。若非线性函数由两个自变量，如zf（x,y），则在平衡点处可展成（忽略高次项） 0000(,)(,)|xyxyvffzxyxy 经过上述线性化后，就把非线性关系变成了线性关系，从而使问题大大简化。但对于如图（d）所示的非线性为强非线性，只能采用第七章的非线性理论来分析。对于线性系统，可采用叠加原理来分析系统。xkxdxdfyx027u叠加原理叠加原理含有两重含义，即可叠加性和均匀性（或叫齐次性）。例： 设线性微分方程式为2( )( )( )( )d c tdc tc tr tdt

12、dt若 时，方程有解 ，而 时，方程有解 ，分别代入上式且将两式相加，则显然有，当 时，必存在解为 ，即为可叠加性。1( )( )r tr t1( )c t2( )( )r tr t2( )c t1( )( )r tr t2( )r t12( )( )( )c tctct28 上述结果表明，两个外作用同时加于系统产生的响应等于各个外作用单独作用于系统产生的响应之和，而且外作用增强若干倍，系统响应也增强若干倍，这就是叠加原理。若 时， 为实数，则方程解为 ，这就是齐次性。1( )( )r tar t1( )( )c tac ta二、微分方程的增量化描述二、微分方程的增量化描述以电机转速闭环控制系

13、统为例以电机转速闭环控制系统为例电压放大功率放大电机测速发电机ubueuiuanuf-Mc系统的微分方程为系统的微分方程为cmcambdandammaMkdtdMTkukknkkkdtdnTdtndTT)1 (22可见系统有两个输入量Ub-系统的给定输入Mc-系统的干扰输入 要想知道Ub，Mc变化时，输出量n的具体变化情况，就要解上述微分方程，我们知道解二阶微分方程需要两个初始条件，才能确定积分常数。0t即时，?,dtdnn对于转速控制系统来说，有两种情况是我们关心的问题1）当系统处于静止状态，开始进入运行时，系统能否进入我们需要的工作状态。 0, 0, 0dtdnnt-初始条件全为0此时：

14、系统的初始条件不全为0，给我们带来一个十分麻烦的问题，使得我们无法定义传递函数。我们知道传递函数是经典控制理论的数学基础，2）当系统已经处于一个相对稳定的运行状态，此时系统突然出现干扰，系统是否具有抗干扰的能力，当干扰消除或系统是否回到原有的平衡状态0,0,0dtdnnt-初始条件不全为0此时：为此我们要寻找一种方法把初始条件不全为0初始条件全为0采用方法 将系统原平衡状态电（相对静止点）作为新的坐标原点，以新坐标原点的增量作为系统的变量，取代原变量，得到以增量形式的运动方程，对增量形式的运动方程，求解时，其初始条件就全为0。解决了定义传递函数的问题。 我们以电机转速控制系统为例，来看看此方法

15、在实际中是否可行cmcambadndammaMkdtdMTkukknkkkdtdnTdtndTT)1 (22 该系统有两个输入量，当系统的两个输入量均为常数时，系统的输出也应为一个常数（1）bobUU cocMM 系统输出onn此时系统的静态方程为comboadonbaMkukknkkk)1 (（2）当系统在原输入的基础上有个总量变化bbobUUUccocMMM系统输出nnno系统数学模型，得)()()()(1 ()()(000202ccomccoambbadndammaMMkdtMMdTkuukknnkkkdtnndTdtnndTT)()()(1 (22ccomcambboadondamma

16、MMkdtMdTkuukknnkkkdtndTdtndTT化简（3）输入发生变化时系统的变化情况，将（3）式与（2）相减，得cmcambadndammaMkdtMdTkukknkkkdtndTdtndTT)1(22（4） 从（4）可见它与（1）在形式上完全一样，只是（4）的变量前面多了一个 增量符号，实际上控制理论书中的微分方程均为增量方程， 只是为书写方便书写时省去了增量符号而已。所以在以后在控制理论书中见到的微分方程多应该想到它是增量方程cmcambadndammaMkdtdMTkukknkkkdtdnTdtndTT)1 (22（1）cmcambadndammaMkdtMdTkukknkk

17、kdtndTdtndTT)1(22（4） 由此可见上式描述的是在平衡状态点（ub0, Mc0，n0）的基础上改变Ub，Mc时，系统输出n对应的变化关系。这种增量表示，好似数学中的坐标原点平移法(ub0,Mc0,n0)Ub0bbUU0nn0MUbMc0bUcMn()在新的坐标下的变量n038 我们将系统的平衡状态点（相对静止点）作为新的坐标原点的方法是有其使用价值的，因为对于一个控制系统我们做关心的应该是当其受到外界干扰影响时，它是否能够抵抗干扰重新回到稳定状态。增量化方程有两大优点：（1）以增量方程表示的系统，可以使系统的运动初始条件全为0（2）以增量化表示系统便于非线性系统的线性化处理39二

18、、举例 在实际中完全的线性系统几乎是不存在的，既是我们常说的线性系统，也是在一定的工作范围内才保持一定的线性关系，也就说我们滤去那些对控制过程的进行不会有重大影响的因素，来建立微分方程，以求得方程的简化。40我们为什么要这样做？我们为什么要这样做？ 在高等数学的学习中我们知道，对于非线性微分方程至今尚没有通用的求解方法，这就给我们进行系统分析带来了困难，为此要解决此问题提出了非线性系统的线性化问题。下面我们以水面控制系统为例，讲述非线性系统线性化的问题41例例 液面控制系统给定输入Q1干扰输入Q2液面HS水箱地面积解：若研究Q1变化后，液面高度H的变化规律，sQHsdtdH1 很显然这是一非线

19、性微分方程，也就是说此液面控制系统为非线性系统。为研究问题方便，对此方程进行线性化处理也就是说要将 ，这种非线性关系用线性关系取代。HQ2具体方法具体方法是将 ，这一非线性函数在原平衡点（Ha0，Qa0)处展开成泰勒级数HQ2在此平衡点工况下，对应有： constQ 100220,aaaHQQHHaaHQ2将 在平衡点a处展开成泰勒级数naannaaaaaHHdtQdnHHdtQdHHdtdQQQ)(!1)(! 21)(022022202022 在液面变化过程中，由于Q1变化，对应于水位变化 很小，那么 更小，可视为高阶无穷小而忽略不计。 )(aHH2)(aHHH故)(02022aaaHHdt

20、dQQQ所以系统的增量方程为：所以系统的增量方程为：HHHHdtdQQQQaaaa00202222)(a平衡点平衡点Q2Ha0Q20Q2HH所以非线性方程经线性化处理后为sQsQdtHd12sQHHsdtHda102sQsQdtHd12线性化处理线性化处理从上例的线性化处理过程可见Q1变化S很大很大使H变化很小才有 很小，故 维高阶无穷小而忽略不计)(aHH2)(aHH 否则在Q1变化，使得H变化较大，则线性化后将产生较大的误差，可见线性化是有条件。462-3 传递函数 前面我们已经向大家介绍了自动控制系统在一定输入作用下，系统输入、输出相关的线性微分方程的编写的基本方法，为了进一步研究自动控

21、制系统在一定输入作用下系统的输出的性能如何？最直接的方法就是求解系统的微分方程，取得输出量的时间函数曲线，然后再根据曲线对系统进行分析。 但是对于复杂的系统（高阶系统）直接求解方程式非常困难的，于是我们引入了新的数学方法-拉普拉斯变拉普拉斯变换，这样可以把高数中求解微分方程中的积分和微分的运算转化代数方程的求解和直接查表的方法，使得求解微分方程变得简单化。在此基础上人们引入了传递函数的概念。47 在以后的学习中可以看到，传递函数是分析和综合自动控制系统的一种很方便的数学工具，通过传递函数的使用可是系统分析和设计工作大大简化。例例1 1 利用拉普拉斯变换的方法求解微分方程利用拉普拉斯变换的方法求

22、解微分方程2622ydtdydtyd初始条件：初始条件： 0;1)0(dtdyy解：为求解，首先对原微分方程进行拉普拉斯变换)()(sytyL)0()0()(222ysysysdtydL)0()(yssydtdyL将初始条件代入将初始条件代入1)()0()(ssyyssydtdyLssysysysysdtydL)()0()0()(2222等式的右边的常数等式的右边的常数2，视为幅值为，视为幅值为2的阶跃函数，即为的阶跃函数，即为2*1(t)stL2)(1*2所以经过拉普拉斯变化后的微分方程为：所以经过拉普拉斯变化后的微分方程为：ssyssyssys2)(61)()(2整理后得出整理后得出)6(

23、2612)(12)()6(2222ssssssssssysssyss2622ydtdydtyd对上式进行拉普拉斯反变换，即可的出方程的解y(t) 如何进行拉普拉斯反变换？一般情况下y(s)的形式是各种各样，有些是不能直接从拉普拉斯表中查出，需要进行一定的变换成为最简式后，在查拉普拉斯变换表，即可得出y(s)的原函数Y(t)。23)2)(3(2)6(2612)(3212222sksksksssssssssssssssy(1)式中：k1,k2,k3为待定系数求k1: 将（1）式两边同乘以s，后令s=031)2)(3(2021sssssk求k2:将（1）式两边同乘以（s-3），后令s=3158)2(

24、2322sssssk求k3:将（1）式两边同乘以（s+2），后令s=-254)3(2223sssssk)2(54)3(15831)(ssssy得，系统输出的原函数查拉普拉斯反变换表，得查拉普拉斯反变换表，得tteesLsLsLtyLty2311115415831215431158131)()( 从一上解微分方程的全过程可见，整个过程都在进行一些代数运算，而没有高数中求解微分方程的积分和微分的运算，使整个求解过程简单方便。一、传递函数的概念与定义一、传递函数的概念与定义 所谓传递函数所谓传递函数-线性定常系统在零初始条线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉斯拉斯变换件下，输出量的拉斯拉斯变换y(

25、s)y(s)与输入量的拉与输入量的拉普拉斯变换普拉斯变换R(s)R(s)之比，称为该系统的之比，称为该系统的传递函数传递函数一般记为：一般记为：)()()(sRsysG例例2 2：我们以RC网络为例，看看如何建立系统的传递函数RCuruci解：解：idtcuuiRuccr1联立方程组，消除中间变量i，得：rccuudtduRC在零初始条件下，进行拉普拉斯变换，得：)()()(sususRCsurcc根据传递函数的定义，得：11)()()(RCssususGrc-RCRC网络系统的传递函数网络系统的传递函数54在此基础上我们加以推广在此基础上我们加以推广假设某系统的运动微分方程为：假设某系统的运

26、动微分方程为：rbdtdrbdtrdbdtrdbyadtdyadtydadtydaommmmmnonnnnnn11111111式中：式中： Y(t)-Y(t)-系统的输出量；系统的输出量；r(t)-r(t)-系统的系统的输入量 在零初始条件下，对上式进行拉普拉斯变在零初始条件下，对上式进行拉普拉斯变换，得换，得：)()()()()()()()(0110111sRbsRbsRbsRsbsyasyasysasysammmnnnn)()()()(111111sRbsbsbsbsyasasasaommmmonnnn整理，得56则系统的传递函数则系统的传递函数onnnnommmmasasasabsbsb

27、sbsRsysG111111)()()(注意注意 传递函数是微分方程在初始条件为零的情况下，通过拉普拉斯变换得到的，因此它也是系统的一种数学模型。 如果已知系统的传递函数和系统的输入量的拉普拉斯变换，可由上式得到在零初始条件下，系统的输出的拉普拉斯变换。)()()()(111111sRbsbsbsbsyasasasaommmmonnnn 传递函数是复变量传递函数是复变量s s的有理真分式的有理真分式 ，各系数为实数，各系数为实数 nmpppszzzs,;,2121)(nm 从物理意义上讲，我们知道任何系统都是有惯性，能量也从物理意义上讲，我们知道任何系统都是有惯性，能量也不会自行产生。不会自行

28、产生。系数为实数，因为方程中的系数，都是组成系统元件的具体系数为实数，因为方程中的系数，都是组成系统元件的具体参数，而元件参数只能是实数。参数，而元件参数只能是实数。 传递函数只取决于系统的结构，而与外作用形式无关传递函数只取决于系统的结构，而与外作用形式无关 一定的传递函数有一定的零、极点与之对应一定的传递函数有一定的零、极点与之对应)()()()()()()(2121nmpspspszszszssRsysG式中：式中：-传递函数的零点传递函数的零点-传递函数的极点传递函数的极点传递函数的分母，即为系统的特征方程，所以极传递函数的分母，即为系统的特征方程，所以极点又称为系统的特征根点又称为系

29、统的特征根 传递函数是由拉普拉斯变换得到的，所以传递函传递函数是由拉普拉斯变换得到的，所以传递函数只适用于线性定常系统数只适用于线性定常系统二、典型环节二、典型环节 在实际中的自动控制系统，其种类很多，构成系统的物理意义和功能上有本质的差别，但我们抛开它们物理意义和功能，仅仅从描述它们的数学模型(微分方程、传递函数等等）的类型去分类，那么构成控制系统基本类型共有六大类，我们把这些基本类型成为典型环节。这些典型环节，尽管它们的物理本质差别和很大，但它们的动态性能却是相同的。例如：两级RC串联滤波网络和弹簧阻尼质块系统，它们在物理上本质在有本质的区别，但它们有相同类型的数学模型MF(t)kfy(t

30、)222( )( )2( )( )d y tdy tTTy tkF tdtdturR1R2C1C2i1i2Uc2rcccuudtduCRCRCRdtudCCRR)(212211222121 一个描述系统的传递函数可以分解为若干个基本因子的乘积，每个基本因子就称作典型环节。常见的几种形式有： 比例环节比例环节（放大环节或无惯性环节（放大环节或无惯性环节） 凡是系统的输入、输出之间可以用以下数学方程描述的系统统称为比例环节)()(tkrty式中：y(t)-系统的输出；r(t)-系统的输入 对上式进行拉普拉斯变换得到放大环节的传递函数。ksRsysG)()()( 放大环节我们见到的很多，例如：测速测

31、速发电机、齿轮传动发电机、齿轮传动等等62放大环节的特点 比例环节其输入与输出之间无时滞和失真，输出按比例的反映系统的输入变化。t比例环节比例环节G(s)=kr(t)t1Y(t)k比例环节运用实例63 惯性环节惯性环节 凡是系统的输入、输出之间可以用一阶微分方程描述的系统统称为惯性环节)()()(tkrtydttdyT式中：T-为环节的时间常数1)()()()()()(TsksRsysGskRsysTsy环节的传递函数64惯性环节1)(TsksGr(t)1Y(t)k特点： 系统的输出量的变化落后于系统的输入量的变化。T越大，系统的惯性越大，系统的输出落后越大。当T很小时，可忽略系统惯性，把此环

32、节视为比例环节。惯性环节应用实例 微分环节微分环节微分环节又分为理想微分环节和实际微分环节两种a)理想微分 凡是系统的输出量与输入量的导数成正比的系统，统称为理想微分环节。其数学描述为：dtdrTty)(66TssRsysG)()()(将上式经过拉普拉斯变换后，得到环节的传递函数式中：式中：T-T-为系统的时间常数为系统的时间常数为什么称此环节为理想微分环节？是因为此环节在实际工程中是难以构造的例如例如理想微分环节输入一单位阶跃信号，理想微分环节输入一单位阶跃信号，即即r(t)110)( tr0t0t在t=0时刻，输入量r(t)从0变化为101)()(ttrTdtdrTty当当t0t0时，时，

33、r(t)=1r(t)=100)()(tTttrTdtdrTty理想微分理想微分G(s)=Ts 可见理想环节的输出量，在可见理想环节的输出量，在t=0t=0时刻，时刻，y(t)y(t)为无穷大，在为无穷大，在t0t0时，时，y(t)=0y(t)=0，r(t)1Y(t)0 我们知道任何元件都具有惯性，像这样瞬间从无穷大变化到0，这样的元件在实际中无法构造，所以我们称它为理想微分环节。 实际微分实际微分 凡是系统的输入量与系统的输出量之间可以用一下微分方程描述的，统称为实际微分环节。1)()()()()()(1221sTsTsRsysGsRTsyssyT上式进行拉普拉斯变换，得到环节的传递函数dtt

34、drTtydttdyT)()()(21 可见实际微分环节实际上由理想微分和惯性环节串联组成的，此环节在实际中我们是可以构造出来的。实际微分环节的输出特点实际微分实际微分1)(12sTsTsG1r(t)Y(t)例：实际中的CR网络，就是一典型的实际微分环节uiRCi解：根据克希夫定律iRuuidtcui001uo联立方程组，消除中间变量，得到系统数学模型dttdrTtydttdyT)()()(式中：T=RC故CR网络的传递函数为1)(TsTssG如给CR网络输入一单位阶跃信号，即：10)(tui0t0tssui1)(sTsTssusGsui11)()()(0系统输出得像函数为：72系统输出为系统

35、输出为：（：（经过整理变换后，查拉普拉经过整理变换后，查拉普拉斯反变换表得）斯反变换表得）TtesTsTsLsuLtu/101011)()(1)(0tu)(0tu其输出曲线为：其输出曲线为：当t=0时当t0时呈指数衰减变化当t= 时0)(0tuY(t) 从从CR电路输出特性可清楚地说明，电路电压不能突变，电路输出特性可清楚地说明，电路电压不能突变，当输入电压突然加上去时，电容仍为通路，因此当输入电压突然加上去时，电容仍为通路，因此 ，随着电容的充电，电容电压升高，电路电流减少，随着电容的充电，电容电压升高，电路电流减少， 最终最终当电容两端的电压等于当电容两端的电压等于 输入电压时，输入电压时

36、，i=0， )()(0sutui0)(0tu)(0tu73微分环节对控制系统的影响 使系统输出提前使系统输出提前例：一比例环节，其环节的传递函数例：一比例环节，其环节的传递函数G(s)=1G(s)=1比例环节G(s)=1r(t)Y(t) 再在此环节中并联一微分环节后，系统的再在此环节中并联一微分环节后，系统的输出情况。输出情况。比例环节G(s)=1Y1(t)微分环节G(s)=Tsr(t)r(t)TY2(t)Y(t)理想微分环节：输入理想微分环节：输入 r(t)=tr(t)=t，输出，输出 bTdttdrTty)()(t1t2 从上途中可见，在相同输入的情况下，输出要达到从上途中可见，在相同输入

37、的情况下，输出要达到y(sy(s）=b=b，在步并联微分环节需要经过时间，在步并联微分环节需要经过时间t t2 2，而并联微，而并联微分环节后只需要时间为分环节后只需要时间为t t1 1，显然，显然t t1 1tt2 2。所以微分环节是系。所以微分环节是系统输出提前了统输出提前了Y1+Y275 这里为研究问题方便采用的理想微分环节，当这里为研究问题方便采用的理想微分环节，当采用实际微分环节取代理想微分环节时，也会提高采用实际微分环节取代理想微分环节时，也会提高系统的快速性，只是效果不如理想微分环节。系统的快速性，只是效果不如理想微分环节。 积分环节积分环节 凡是环节的输出量正比于输入量对时间的

38、积分，凡是环节的输出量正比于输入量对时间的积分，此类环节统称为积分环节。即其数学描述为此类环节统称为积分环节。即其数学描述为dttrTty)(1)(或)(1)(trTdttdy式中：式中：T-T-积分时间常数积分时间常数环节的传递函数为：环节的传递函数为：TssRsysGsRTssy1)()()()(1)(76特点: 只要输入不为只要输入不为0 0，输出的幅值将不断增加，输出的幅值将不断增加积分环节G(s)=1/Ts1r(t)Y(t) 振荡环节振荡环节 凡是环节的输入、输出之间可以一下二阶微凡是环节的输入、输出之间可以一下二阶微分方程加以描述的，统称为振荡环节分方程加以描述的，统称为振荡环节)

39、()()(2)(222trtydttdyTdttydT式中：式中：T-时间常数；时间常数； -阻尼比阻尼比77环节的传递函数环节的传递函数)()()(2)(22sRsysTsysysT121)()()(22TssTsRsysG2222)()()(nnnsssRsysG或标准形式标准形式式中：式中：Tn1-无阻尼固有频率无阻尼固有频率；-阻尼比阻尼比注意： 振荡环节，在控制系统中是十分常见的，振荡环节，在控制系统中是十分常见的，关于其特性我们在第三章时间响应分析中作详关于其特性我们在第三章时间响应分析中作详细介绍。细介绍。78 延时环节延时环节特点：输出信号经过一段延时时间输出信号经过一段延时时

40、间 后，才完全复后，才完全复现输入信号现输入信号)(延时环节11r(t)Y(t)环节输出的数学描述环节输出的数学描述：)()(trty79对上式进行拉普拉斯变换对上式进行拉普拉斯变换dtetrdtetrdtetrdtetrtrLsystststst)()()()()()(00令t- =u， 故有 t=u+ ，dt=du，当t= 时，u=0，t 时，u(1)80故故：)()()()()(00)(sRedueuredueurtrLsyssusus延时环节的传递函数延时环节的传递函数sesRsysG)()()(延时环节在生产实际中是常见的。延时环节在生产实际中是常见的。n如机械传动中两齿轮存在间隙；

41、如机械传动中两齿轮存在间隙；n气动技术种气体的可压缩性等气动技术种气体的可压缩性等 这些都可能使系统产生延时，在计算机控制系统中，需这些都可能使系统产生延时，在计算机控制系统中，需要时间所以也会出现延时等要时间所以也会出现延时等81 延时环节的传递函数为以超越函数，在系统分析中，延时环节的传递函数为以超越函数，在系统分析中，处理此函数是比较麻烦的，因此当延时环节的时间常数处理此函数是比较麻烦的，因此当延时环节的时间常数 较小时，常把延时环节展开成泰勒级数，并略去高次项，较小时，常把延时环节展开成泰勒级数，并略去高次项，将延时环节简化。将延时环节简化。ssnssesRsysGnns11! 211

42、)()()(22 由此可见延时环节在由此可见延时环节在 较小时，可近似为一惯性环节较小时，可近似为一惯性环节 以上所列举的是一些常见的典型环节，而许多复杂的系统（元以上所列举的是一些常见的典型环节，而许多复杂的系统（元件）可以看成是这些典型环节中的某些环节的组合，把复杂的物理件）可以看成是这些典型环节中的某些环节的组合，把复杂的物理系统划分为若干典型环节利用传递函数和框图来进行研究，这是研系统划分为若干典型环节利用传递函数和框图来进行研究，这是研究系统的一个重要方法。究系统的一个重要方法。822 24 4 控制系统的传递函数控制系统的传递函数 -动态结构图动态结构图一、一、动态结构图的基本概念

43、动态结构图的基本概念前面我们介绍的直流电机转速控制系统时，首先从原理图前面我们介绍的直流电机转速控制系统时，首先从原理图方框图方框图 83 从方框图中可见，从信号传递上来讲是清楚地，但信号从方框图中可见，从信号传递上来讲是清楚地，但信号传递之间的函数关系尚不明确，为补尚这些不足，我们将传递之间的函数关系尚不明确，为补尚这些不足，我们将方框图改造成动态结构图方框图改造成动态结构图改造的方法：改造的方法：n将每个环节（方框）内填入该环节的传递函数，环节将每个环节（方框）内填入该环节的传递函数，环节的输入、输出箭头对应表示的输入、输出箭头对应表示如：)()()(sRsysGG(s)R(s)Y(s)我

44、们来绘制电机转速控制系统的动态结构图我们来绘制电机转速控制系统的动态结构图电压放大功率放大电机测速发电机ubueuiuanuf- 比较环节比较环节 Ue=Ub-UfUe(s)=Ub(s)-Uf(s)_Ub(s)Ue(s)Uf(s) 放大环节放大环节 Ua=Kd Ue Ua(s)=KaUe(s)KaUe(s)Ua(s) 电机电机12sTsTTkmmadUa(s)n(s)bdmmaukndtdnTdtndTT221)()()(2sTsTTksusnsGmmada 测速发电机测速发电机 Uf=knnUf(s)=knn(s)knUf(s)n(s)86电机转速控制动态结构图电机转速控制动态结构图_Ub(

45、s)Ue(s)比较环节比较环节KaUa(s)放大环节放大环节12sTsTTkmmadn(s)控制对象电机控制对象电机kn检测环节检测环节特点特点p信号传递流程清楚信号传递流程清楚p信号与信号之间的函数关系也是清楚地信号与信号之间的函数关系也是清楚地Uf(s)87 以上我们绘制了电机转速控制系统的以上我们绘制了电机转速控制系统的动态结构图，图中各环节的传递函数我动态结构图，图中各环节的传递函数我们都可以求了，那么如何由系统的动态们都可以求了，那么如何由系统的动态结构图求系统的传递函数？结构图求系统的传递函数？即： 要从系统动态结构图中求系统的传递函要从系统动态结构图中求系统的传递函数，就必须对动

46、态结构图做一些相应的等价数，就必须对动态结构图做一些相应的等价变换和化简。变换和化简。 ?)()()(susnsGb88p动态结构图是一种数学模型，采用动态结构图是一种数学模型，采用它将更便于求传递函数，同时能形它将更便于求传递函数，同时能形象直观地表明输入信号在系统或元象直观地表明输入信号在系统或元件中的传递过程。件中的传递过程。特别强调89动态结构图的概念动态结构图的概念p系统的动态结构图由若干基本符号构成。系统的动态结构图由若干基本符号构成。构成动态结构图的基本符号有四种，即构成动态结构图的基本符号有四种，即信号线、传递方框、综合点和引出点。信号线、传递方框、综合点和引出点。 信号线信号

47、线： 表示信号输入、输出的通道。箭头代表示信号输入、输出的通道。箭头代表信号传递的方向。表信号传递的方向。902. 传递方框传递方框G(s)方框的两侧应为输入信号线和输出信号线，方框的两侧应为输入信号线和输出信号线，方框内写入该输入、输出之间的传递函数方框内写入该输入、输出之间的传递函数G(s)G(s)。913.3. 综合点综合点综合点亦称加减点，表示几个信号相加减，综合点亦称加减点，表示几个信号相加减，叉圈符号的输出量即为诸信号的代数和，负叉圈符号的输出量即为诸信号的代数和，负信号需在信号线的箭头附近标以负号。信号需在信号线的箭头附近标以负号。省略时也表示省略时也表示也就是说也就是说+可省略

48、可省略924. 4. 引出点（又称分支点）引出点（又称分支点） 表示同一信号传输到几个地方。而表示同一信号传输到几个地方。而且信号在此只取信息，不取能量。且信号在此只取信息，不取能量。( )U s( )U s引出点引出点93二、动态结构图的基本连接形式二、动态结构图的基本连接形式 方框与方框通过信号线相连，前一个方框的输方框与方框通过信号线相连，前一个方框的输出作为后一个方框的输入，这种形式的连接称为串出作为后一个方框的输入，这种形式的连接称为串联连接联连接。 G1(s)G2(s)R(s)Y(s)1、串联环节串联环节942. 2. 并联连接并联连接 两个或两个以上的方框，具有两个或两个以上的方

49、框，具有同一个输入信号，并以各方框输出同一个输入信号，并以各方框输出信号的代数和作为输出信号，这种信号的代数和作为输出信号，这种形式的连接称为并联连接。形式的连接称为并联连接。G1(s)G2(s)R(s)Y(s)= Y1(s) Y2(s)Y1(s)Y2(s) 953. 3. 反馈连接反馈连接 一个方框的输出信号，输入到另一个方框后，一个方框的输出信号，输入到另一个方框后，得到的输出再返回到这个方框的输入端，构成输入得到的输出再返回到这个方框的输入端，构成输入信号的一部分。这种连接形式称为反馈连接。信号的一部分。这种连接形式称为反馈连接。G(s)R(s)y(s)H(s)96三、三、系统系统动态结

50、构图的构成动态结构图的构成n构成原则：构成原则： 按照动态结构图的基本连接形式，将按照动态结构图的基本连接形式，将构成系统的各个环节，连接成系统的构成系统的各个环节，连接成系统的动态结构图。动态结构图。97举例说明系统动态结构图的构成举例说明系统动态结构图的构成urcR1i1i2R2iuc例（教材例题2-6）建立RC无源网络的结构图解：列写系统的微分方程组dankkk )(1212211212ccruiiRiRdticRiRiuu12121)()()()()()(RsususIRsIsusucrcr 将上式各式进行拉斯变化，绘制相应的结构图11R-Uc(s)Ur(s)I2(s)csRsIsIs

51、IcsRsI121112)()()(1)(R1CsI2(s)I1(s)2212122)()()()()()()(RsIsIsususIsIRsIRccR2I1(s)+I2(s)Uc(s)11R-Uc(s)Ur(s)I2(s)R1CsI2(s)I1(s)R2I1(s)+I2(s)Uc(s)R2I1(s)+I2(s)Uc(s)11R-Uc(s)Ur(s)I2(s)R1CsI1(s)101n以机电随动系统为例，如下图所示以机电随动系统为例，如下图所示creessKUsaaUKU baaaEiRUammiCM)(sKEmbbdtdfMMdtdJLm22cmi103n其象方程其象方程组如下组如下：)()

52、()(ssscre)s(K)s(Uess )s(UK)s(Usaa )()()(sEsIRsUbaaa)s(IC)s(Mamm )s()s(K)s(Embb )s(fsMM)s(JsmLmm2 )s(i1)s(mc 104系统各元部件的动态结构图系统各元部件的动态结构图(1)(1)()()(ssscre)s(K)s(Uess )s(UK)s(Usaa )s(E)s(IR)s(Ubaaa )s(IC)s(Mamm )s()s(K)s(Embb )s(fsMM)s(JsmLmm2 )s(i1)s(mc )(sr )(sc )(se )(sr )(sc )(se 105系统各元部件的动态结构图系统各

53、元部件的动态结构图(2)(2)s()s()s(cre )s(K)s(Uess )s(UK)s(Usaa )s(E)s(IR)s(Ubaaa )s(IC)s(Mamm )s()s(K)s(Embb )s(fsMM)s(JsmLmm2 )s(i1)s(mc )(se sK)(sUs)(sr )(sc )(se sK)(sUs106系统各元部件的动态结构图系统各元部件的动态结构图(3)(3)s()s()s(cre )s(K)s(Uess )s(UK)s(Usaa )s(E)s(IR)s(Ubaaa )s(IC)s(Mamm )s()s(K)s(Embb )s(fsMM)s(JsmLmm2 )s(i1

54、)s(mc aK)(sUs)(sUa)(sr )(sc )(se sK)(sUsaK)(sUa107系统各元部件的动态结构图系统各元部件的动态结构图(4)(4)s()s()s(cre )s(K)s(Uess )s(UK)s(Usaa )s(E)s(IR)s(Ubaaa )s(IC)s(Mamm )s()s(K)s(Embb )s(fsMM)s(JsmLmm2 )s(i1)s(mc )(sUa)(sEb)(sIaaR1)(sr )(sc )(se sK)(sUsaK)(sUa)(sEb)(sIaaR1108系统各元部件的动态结构图系统各元部件的动态结构图(5)(5)s()s()s(cre )s(

55、K)s(Uess )s(UK)s(Usaa )s(E)s(IR)s(Ubaaa )s(IC)s(Mamm )s()s(K)s(Embb )s(fsMM)s(JsmLmm2 )s(i1)s(mc )(sIamC)(sMm)(sr )(sc )(se sK)(sUsaK)(sUa)(sEb)(sIaaR1mC)(sMm109系统各元部件的动态结构图系统各元部件的动态结构图(6)(6)s()s()s(cre )s(K)s(Uess )s(UK)s(Usaa )s(E)s(IR)s(Ubaaa )s(IC)s(Mamm )s()s(K)s(Embb )s(fsMM)s(JsmLmm2 )s(i1)s(

56、mc )(sMm)(sML)(sm sfJs 21)(sr )(sc )(se sK)(sUsaK)(sUa)(sEb)(sIaaR1mC)(sMm)(sML)(sm sfJs 21110系统各元部件的动态结构图系统各元部件的动态结构图(7)(7)s()s()s(cre )s(K)s(Uess )s(UK)s(Usaa )s(E)s(IR)s(Ubaaa )s(IC)s(Mamm )s()s(K)s(Embb )s(fsMM)s(JsmLmm2 )s(i1)s(mc )(sm sKb)(sEb)(sr )(sc )(se sK)(sUsaK)(sUa)(sEb)(sIaaR1mC)(sMm)(

57、sML)(sm sfJs 21sKb111系统各元部件的动态结构图系统各元部件的动态结构图(8)(8)s()s()s(cre )s(K)s(Uess )s(UK)s(Usaa )s(E)s(IR)s(Ubaaa )s(IC)s(Mamm )s()s(K)s(Embb )s(fsMM)s(JsmLmm2 )s(i1)s(mc )(sm i1)(sc )(sr )(sc )(se sK)(sUsaK)(sUa)(sEb)(sIaaR1mC)(sMm)(sML)(sm sfJs 21sKbi1)(sc dticuuRiudtiicuuRiuccr2222121111111)(1112例:两极RC滤波

58、网络urR1c1u1i1uci2)()()(111suRsIsur)()(1)(2111sIsIscsu)()()(221suRsIsuc)(1)(22sIscsuc113113)()()(111suRsIsur)()(1)(2111sIsIscsu)()()(221suRsIsuc)(1)(22sIscsucUr(s)1/R1-U1(s)I1(s)1/c1s-I1(s)I2(s)U1(s)1/R2U1(s)-Uc(s)I2(s)1/c2sI2(s)Uc(s)114Ur(s)1/R1-U1(s)I1(s)1/c1s-I2(s)U1(s)1/R2-Uc(s)I2(s)1/c2sUc(s)115结

59、构图的等效变换结构图的等效变换 -教材教材p24p24传递函数的运算传递函数的运算p思路思路： 在保证总体动态关系不变的在保证总体动态关系不变的条件下，设法将原结构进行逐步条件下，设法将原结构进行逐步的归并和简化，最终变换为输入的归并和简化，最终变换为输入量对输出量的一个方框。量对输出量的一个方框。1161. 1. 串联结构的等效变换串联结构的等效变换n串联结构图串联结构图G1(s)G2(s)R(s)y(s)U(s)1171. 1. 串联结构的等效变换串联结构的等效变换n等效变换证明推导等效变换证明推导)()()(1sRsGsUG1(s)G2(s)R(s)y(s)U(s)()()(2sUsGs

60、y1181. 1. 串联结构的等效变串联结构的等效变换换n等效变换证明推导等效变换证明推导)()()()()()()()(2121sGsGsRsysRsGsGsyG1(s)G2(s)R(s)y(s)U(s)1191. 1. 串联结构的等效变换串联结构的等效变换n串联结构的等效变换图串联结构的等效变换图G1(s)G2(s)R(s)y(s)U(s)G1(s) G2(s)R(s)y(s)两个串联的方框可以两个串联的方框可以合并为一个方框，合合并为一个方框，合并后方框的传递函数并后方框的传递函数等于两个方框传递函等于两个方框传递函数的乘积。数的乘积。120推广，若推广，若n n个环节串联个环节串联ni