数学建模集训讲义(10-10)节83254

1、§10 自动化车床管理（1999年全国大学生数学建模竞赛A题）一道工序用自动化车床连续加工某种零件，由于刀具损坏等原因该工序会出现故障，其中刀具损坏故障占95%, 其它故障仅占5%工序出现故障是完全随机的, 假定在生产任一零件时出现故障的机会均相同工作人员通过检查零件来确定工序是否出现故障现积累有100次刀具故障记录，故障出现时该刀具完成的零件数如附表现计划在刀具加工一定件数后定期更换新刀具 已知生产工序的费用参数如下：故障时产出的零件损失费用 200元/件； 进行检查的费用 10元/次； 发现故障进行调节使恢复正常的平均费用3000元/次(包括刀具费)； 未发现故障时更换一把新刀具

2、的费用1000元/次 1)假定工序故障时产出的零件均为不合格品，正常时产出的零件均为合格品, 试对该工序设计效益最好的检查间隔（生产多少零件检查一次）和刀具更换策略 2)如果该工序正常时产出的零件不全是合格品，有2%为不合格品；而工序故障时产出的零件有40%为合格品，60%为不合格品工序正常而误认有故障停机产生的损失费用为1500元/次对该工序设计效益最好的检查间隔和刀具更换策略 3）在2)的情况, 可否改进检查方式获得更高的效益附:100次刀具故障记录(完成的零件数) 459 362 624 542 509 584 433 748 815 505 612 452 434 982 640 74

3、2 565 706 593 680 926 653 164 487 734 608 428 1153 593 844 527 552 513 781 474 388 824 538 862 659 775 859 755 649 697 515 628 954 771 609 402 960 885 610 292 837 473 677 358 638 699 634 555 570 84 416 606 1062 484 120 447 654 564 339 280 246 687 539 790 581 621 724 531 512 577 496 468 499 544 645 7

4、64 558 378 765 666 763 217 715 310 851 一）基本模型假设1)刀具每加工件零件后定期更换，更换费用为（已知）；2）每生产件零件定期进行检查，检查费用为（已知）；3）在两次相邻的检查之间，生产任一零件时工序出现故障的概率均相等，记作；4）检查时工序停止生产注，若发现该零件为不合格品，则进行调节使恢复正常，费用为（已知）；5）工序故障时生产的零件均为不合格品，正常时均为合格品，而刀具故障占工序故障的95；6）每件不合格品的损失费为（已知）；7）刀具故障（寿命）的概率分布由所给100次故障记录确定模型1）目标函数（工序效益）为生产每个零件的平均费用L，包括预防保全

5、费用（刀具定期更换），检查费用，工序故障造成不合格品的损失费用 由假设1，；由假设2，；由假设4，6，其中为当相邻两次检查的后一次检查发现故障时，件零件中不合格品的平均数，为平均故障间隔于是问题为确定使 （1）最小下面计算,2）的计算由假设3，在相邻两次检查的后一次检查发现故障（概率为）的条件下，出现件不合格品（前件合格，下一件不合格）的概率为，于是 （2）上式经代数运算可得将上式在处展开得其中由于很小（见后面计算结果），将忽略代入（1）得 （3）3）的计算首先，根据给出的100个数据算出无预防性更换时刀具故障平均间隔（即100个数据的平均值）为（件）设非刀具故障平均间隔为，由假设5刀具故障占

6、95，非刀具故障占5，则 ，从而（件） 其次，在不考虑非刀具故障的条件下，计算定期（件）更换时刀具故障的平均间隔由100个数据统计出刀具故障的经验概率分布，例如对完成的零件数作如下分组：零件数100150150200200250250300300350频率零件数350400400450450500500550550600600650频率零件数650700700750750800800850850900900频率如若件，则平均刀具故障间隔为，而由上表可知100次更换有1+1+1+2+2=7次刀具故障，相邻两次换刀之间刀具故障的平均间隔为，显然它等于，从而 .一般地，记刀具完成件数为，频率为，若对

7、于给定的有，则定期（件）更换时刀具故障的平均间隔为 （4）工序的平均故障间隔由和(为非刀具故障平均间隔)决定，满足，于是 （5）如若件，则求解 求，使（3）式之达到最小给定并如上计算出后，则是的函数，由（3）显然当 （6）时，达到最小对于一系列的=100，150，200，（比如步长取50），逐个求出的极小值及相应的值，其中使最小者所对应的和即为所求代入数值可解出，时最小，此即有最好效益的刀具更换间隔和检查间隔注1：当经验概率分布的分组取得不同，或直接用100个数据为经验分布函数，或作分布拟合得一连续分布函数（根据直方图，作正态拟合较适宜），求平均故障间隔，可能会使答案稍有差异注2：如在假设4中

8、设检查时工序不停止生产，而有个不合格零件产出（可取一适当数值），则（3）增加一项，这对问题的解法无影响，但可能使答案有差异二）进一步的问题1）对问题2要考虑两种误判：一是工序正常时检查到不合格品误判停机，将承担误判停机的损失费用元；二是工序故障时检查到合格品，将继续生产直到下一次检查，使不合格品的损失费增加此时效益函数应为，（7）与（3）式相比（7）式多了两项和是由于第一种误判停机而产生的摊在每件产品上的损失费：其中是两次检查间工序正常的概率（），是工序正常时的不合格品率，为第一种误判停机的损失费；是由于第二种误判而产生的摊在每件产品上的损失费：其中是工序故障时的合格品率，是第二种误判增加的不合格品数 然后按上面的求解方法可得，时有最好的效益2）对问题3由于工序故障时的合格品率相当高，可考虑检查时当检查到的那个零件为合格品时，再查一个零件，若仍是合格品则判定工序正常，若为次品则判定工序