名师帮你元素与集合的关系

1、选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库高考数学常用公式及结论200条 集合 l 元素与集合的关系,.l 德摩根公式 .l 包含关系l 容斥原理.l 集合的子集个数共有 个；真子集有1个；非空子集有 1个；非空的真子集有2个.l 集合A中有M个元素，集合B中有N个元素，则可以构造M*N个从集合A到集合B的映射；二次函数，二次方程l 二次函数的解析式的三种形式(1)一般式;(2)顶点式;(3)零点式.l 解连不等式常有以下转化形式.l 方程在上有且只有一个实根,与不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程有且只有一个实根在内,等价于,或且,或且.l

2、 闭区间上的二次函数的最值 二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得，具体如下：(1)当a0时，若，则；，.(2)当a0)（1），则的周期T=a；（2），或，或,或,则的周期T=2a；(3)，则的周期T=3a；(4)且，则的周期T=4a；(5),则的周期T=5a；(6)，则的周期T=6a.指数与对数l 分数指数幂 (1)（，且）.(2)（，且）.l 根式的性质（1）.（2）当为奇数时，；当为偶数时，.l 有理指数幂的运算性质(1) .(2) .(3).注： 若a0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.l 指数式与对数式的互化式

3、.l 对数的换底公式 (,且,且, ).推论 (,且,且, ).l 对数的四则运算法则若a0，a1，M0，N0，则(1);(2) ;(3).l 设函数,记.若的定义域为,则，且;若的值域为,则，且.对于的情形,需要单独检验.l 对数换底不等式及其推广 若,则函数 (1)当时,在和上为增函数.， (2)当时,在和上为减函数.推论:设，且，则（1）.（2）.l 平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N，平均增长率为，则对于时间的总产值，有.39.数列的同项公式与前n项的和的关系( 数列的前n项的和为).数列l 等差数列的通项公式；其前n项和公式为.l 等比数列的通项公式；其前n项的和公式为或.l

4、等比差数列:的通项公式为；其前n项和公式为.l 分期付款(按揭贷款) 每次还款元(贷款元,次还清,每期利率为).三角函数l 常见三角不等式（1）若，则.(2) 若，则.(3) .l 同角三角函数的基本关系式 ，=，.l 正弦、余弦的诱导公式(n为偶数)(n为奇数)(n为偶数)(n为奇数) l 和角与差角公式 ;.(平方正弦公式);.=(辅助角所在象限由点的象限决定, ).l 半角正余切公式：l 二倍角公式 .l 三倍角公式 .l 三角函数的周期公式 函数，xR及函数，xR(A,为常数，且A0，0)的周期；函数，(A,为常数，且A0，0)的周期.l 正弦定理.l 余弦定理;.l 面积定理（1）（

5、分别表示a、b、c边上的高）.（2）.(3).l 三角形内角和定理 在ABC中，有.l 在三角形中有下列恒等式： l 简单的三角方程的通解 . .特别地,有. .l 最简单的三角不等式及其解集 . . . .l 角的变形：向量l 实数与向量的积的运算律设、为实数，那么(1) 结合律：(a)=()a;(2)第一分配律：(+)a=a+a;(3)第二分配律：(a+b)=a+b.l 向量的数量积的运算律：(1) ab= ba （交换律）;(2)（a）b= （ab）=ab= a（b）;(3)（a+b）c= a c +bc.l 平面向量基本定理 如果e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平

6、面内的任一向量，有且只有一对实数1、2，使得a=1e1+2e2不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底l 向量平行的坐标表示 设a=,b=，且b0，则ab(b0).l a与b的数量积(或内积)ab=|a|b|cosl ab的几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积l 平面向量的坐标运算(1)设a=,b=，则a+b=.(2)设a=,b=，则a-b=. (3)设A，B,则.(4)设a=，则a=.(5)设a=,b=，则ab=.l 两向量的夹角公式(a=,b=).l 平面两点间的距离公式 =(A，B).l 向量的平行与垂直 设a=,b=，且b0，则

7、A|bb=a .ab(a0)ab=0.l 线段的定比分公式 设，是线段的分点,是实数，且，则（）.l 三角形的重心坐标公式 ABC三个顶点的坐标分别为、,则ABC的重心的坐标是.l 点的平移公式 .注:图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形上的对应点为，且的坐标为.l “按向量平移”的几个结论（1）点按向量a=平移后得到点.(2) 函数的图象按向量a=平移后得到图象,则的函数解析式为.(3) 图象按向量a=平移后得到图象,若的解析式,则的函数解析式为.(4)曲线:按向量a=平移后得到图象,则的方程为.(5) 向量m=按向量a=平移后得到的向量仍然为m=.l 三角形五“心”向量形式的充要条件

8、设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则（1）为的外心.（2）为的重心.（3）为的垂心.（4）为的内心.（5）为的的旁心.不等式l 常用不等式：（1）(当且仅当ab时取“=”号)（2）(当且仅当ab时取“=”号)（3）（4）柯西不等式（5）.l 极值定理已知都是正数，则有（1）若积是定值，则当时和有最小值；（2）若和是定值，则当时积有最大值.推广 已知，则有（1）若积是定值,则当最大时,最大；当最小时,最小.（2）若和是定值,则当最大时, 最小；当最小时, 最大.l 一元二次不等式，如果与同号，则其解集在两根之外；如果与异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.；.l 含有

9、绝对值的不等式 当a 0时，有.或.75.无理不等式（1） .（2）.（3）.l 指数不等式与对数不等式 (1)当时,; .(2)当时,;直线方程l 斜率公式 （、）. k=tan(为直线倾斜角）l 直线的五种方程 （1）点斜式 (直线过点，且斜率为)（2）斜截式 (b为直线在y轴上的截距).（3）两点式 ()(、 ().(4)截距式 (分别为直线的横、纵截距，)（5）一般式 (其中A、B不同时为0).l 两条直线的平行和垂直 (1)若，;.(2)若,且A1、A2、B1、B2都不为零,；两直线垂直的充要条件是 ；即：l 夹角公式 (1).(，,)(2).(,).直线时，直线l1与l2的夹角是.

10、l 到的角公式 (1).(，,)(2).(,).直线时，直线l1到l2的角是.l 四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程：经过定点的直线系方程为(除直线),其中是待定的系数; 经过定点的直线系方程为,其中是待定的系数(2)共点直线系方程：经过两直线,的交点的直线系方程为(除)，其中是待定的系数(3)平行直线系方程：直线中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程与直线平行的直线系方程是()，是参变量(4)垂直直线系方程：与直线 (A0，B0)垂直的直线系方程是,是参变量l 点到直线的距离 (点,直线：).l 或所表示的平面区域设直线，若A0,则在坐标平面内从左至右的区域依次表示 ，若A0,则

11、在坐标平面内从左至右的区域依次表示 ，可记为“x 为正开口对，X为负背靠背“。（正负指X的系数A，开口对指”，背靠背指0)的焦点F的直线与抛物线相交于圆锥曲线共性问题l 两个常见的曲线系方程(1)过曲线,的交点的曲线系方程是(为参数).(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程,其中.当时,表示椭圆; 当时,表示双曲线.l 直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或（弦端点A由方程 消去y得到，,为直线的倾斜角，为直线的斜率）. l 涉及到曲线上的 点A，B及线段AB的中点M的关系时，可以利用“点差法：，比如在椭圆中：l 圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线关于点成中心对称的曲线是.（2）曲线关于直线成轴对称的曲线是

12、.l “四线”一方程 对于一般的二次曲线，用代，用代，用代，用代，用代即得方程，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到.立体几何109证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.110证明直线与平面的平行的思考途径（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.111证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.112证明直线与直线的垂直的思考途径（1）转化为相交垂直；（2

13、）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.113证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.114证明平面与平面的垂直的思考途径（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律(1)加法交换律：ab=ba(2)加法结合律：(ab)c=a(bc)(3)数乘分配律：(ab)=ab116.平面向量加法的平行四边形法则

14、向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.117.共线向量定理对空间任意两个向量a、b(b0 )，ab存在实数使a=b三点共线.、共线且不共线且不共线.118.共面向量定理 向量p与两个不共线的向量a、b共面的存在实数对,使推论 空间一点P位于平面MAB内的存在有序实数对,使，或对空间任一定点O，有序实数对，使.119.对空间任一点和不共线的三点A、B、C，满足（），则当时，对于空间任一点，总有P、A、B、C四点共面；当时，若平面ABC，则P、A、B、C四点共面；若平面ABC，则P、A、B、C四点不共面四点共面

15、与、共面（平面ABC）.120.空间向量基本定理 如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使pxaybzc推论 设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使.121.射影公式已知向量=a和轴，e是上与同方向的单位向量.作A点在上的射影，作B点在上的射影，则a，e=ae122.向量的直角坐标运算设a，b则(1)ab；(2)ab；(3)a (R)；(4)ab；123.设A，B，则= .124空间的线线平行或垂直设，则；.125.夹角公式 设a，b，则cosa，b=.推论 ，此即三维柯西不等式.126. 四面

16、体的对棱所成的角四面体中, 与所成的角为,则.127异面直线所成角=（其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量）128.直线与平面所成角(为平面的法向量).129.若所在平面若与过若的平面成的角,另两边,与平面成的角分别是、,为的两个内角，则.特别地,当时,有.130.若所在平面若与过若的平面成的角,另两边,与平面成的角分别是、,为的两个内角，则.特别地,当时,有.131.二面角的平面角或（，为平面，的法向量）.132.三余弦定理设AC是内的任一条直线，且BCAC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为，AB与AC所成的角为，AO与AC所成的角为则.133. 三射线定理若夹在平面角为的

17、二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是,与二面角的棱所成的角是，则有 ;(当且仅当时等号成立).134.空间两点间的距离公式 若A，B，则 =.135.点到直线距离(点在直线上，直线的方向向量a=，向量b=).136.异面直线间的距离 (是两异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，为间的距离).137.点到平面的距离 （为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）.138.异面直线上两点距离公式 .（）. (两条异面直线a、b所成的角为，其公垂线段的长度为h.在直线a、b上分别取两点E、F，,). 139.三个向量和的平方公式 140. 长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为，夹

18、角分别为,则有.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.141. 面积射影定理 .(平面多边形及其射影的面积分别是、，它们所在平面所成锐二面角的为).142. 斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是,侧面积和体积分别是和,它的直截面的周长和面积分别是和,则.143作截面的依据三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行.144棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的

19、比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比145.欧拉定理(欧拉公式) (简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F).（1）=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为的多边形，则面数F与棱数E的关系：；（2）若每个顶点引出的棱数为，则顶点数V与棱数E的关系：.146.球的半径是R，则其体积,其表面积147.球的组合体 (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体: 棱长为的正四面体的内切球的

20、半径为,外接球的半径为.148柱体、锥体的体积（是柱体的底面积、是柱体的高）.（是锥体的底面积、是锥体的高）.排列组合l 分类计数原理（加法原理）.l 分步计数原理（乘法原理）.l 排列数公式 =.(，N*，且)注:规定.l 排列恒等式 (1）;（2）;（3）; （4）;（5）.(6) .l 组合数公式 =(N*，且).l 组合数的两个性质(1)= ;(2) +=.注:规定.l 组合恒等式（1）;（2）;（3）; （4）=;（5）.(6).(7). (8).(9).(10).l 排列数与组合数的关系 .l 单条件排列以下各条的大前提是从个元素中取个元素的排列.（1）“在位”与“不在位”某（特）

21、元必在某位有种；某（特）元不在某位有（补集思想）（着眼位置）（着眼元素）种.（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）定位紧贴：个元在固定位的排列有种.浮动紧贴：个元素的全排列把k个元排在一起的排法有种.注：此类问题常用捆绑法；插空：两组元素分别有k、h个（），把它们合在一起来作全排列，k个的一组互不能挨近的所有排列数有种.（3）两组元素各相同的插空 个大球个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？当时，无解；当时，有种排法.（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为.l 分配问题（1）(平均分组有归属问题)将相异的、个物件等分给个人，各得件，其分配方法数共有.（2）

22、(平均分组无归属问题)将相异的个物体等分为无记号或无顺序的堆，其分配方法数共有.（3）(非平均分组有归属问题)将相异的个物体分给个人，物件必须被分完，分别得到，件，且，这个数彼此不相等，则其分配方法数共有.（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的个物体分给个人，物件必须被分完，分别得到，件，且，这个数中分别有a、b、c、个相等，则其分配方法数有 .（5）(非平均分组无归属问题)将相异的个物体分为任意的，件无记号的堆，且，这个数彼此不相等，则其分配方法数有.（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的个物体分为任意的，件无记号的堆，且，这个数中分别有a、b、c、个相等，则其分配方法数有.（7）(

23、限定分组有归属问题)将相异的（）个物体分给甲、乙、丙，等个人，物体必须被分完，如果指定甲得件，乙得件，丙得件，时，则无论，等个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有.l “错位问题”及其推广贝努利装错笺问题:信封信与个信封全部错位的组合数为.推广: 个元素与个位置,其中至少有个元素错位的不同组合总数为.l 不定方程的解的个数(1)方程（）的正整数解有个.(2) 方程（）的非负整数解有 个.(3) 方程（）满足条件(,)的非负整数解有个.(4) 方程（）满足条件(,)的正整数解有个.l 二项式定理 ;二项展开式的通项公式.概率l 等可能性事件的概率.l 互斥事件A，B分别发生的概率的和P(AB)

24、=P(A)P(B)l 个互斥事件分别发生的概率的和P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An)l 独立事件A，B同时发生的概率P(AB)= P(A)P(B).l .n个独立事件同时发生的概率 P(A1 A2 An)=P(A1) P(A2) P(An)l n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率期望与方差l .离散型随机变量的分布列的两个性质（1）;（2）.l 数学期望l 数学期望的性质（1）.（2）若,则.(3) 若服从几何分布,且，则.l 方差l 标准差=.l 方差的性质(1)；(2）若，则.(3) 若服从几何分布,且，则.l 方差与期望的关系.l 正态分布密度函数，式中的实数，（0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.l .标准正态分布密度函数.l .对于，取值小于x的概率.l 回归直线方程 ，其中.l 相关系数 .|r|1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小.极限l .特殊数列的极限 （1）.（2）.（3）（无穷等比数列 ()的和）.l 函数的极