立体几何初步知识要点

1、多面体（棱柱、棱锥、棱台）结构特征侧面积和体积图形表示空间几何体简单的空间几何体图形表示结构特征侧面积和体积旋转体（圆柱、圆锥、圆台）图形表示侧面积和体积结构特征判定、性质位置关系语言描述基本元素（点、线、面）位置关系直线与平面语言描述判定性质位置关系平面与平面语言描述判定性质位置关系直线与直线语言描述判定性质立体几何初步1.1.1棱柱、棱锥和棱台一、棱柱的概念与性质1、棱柱的概念：（1）由一个平面多边形沿某一个方向平移形成的空间几何体叫做棱柱；（2）平移起止位置的两个面叫做棱柱的底面；（3）多边形的边平移形成的面叫做棱柱的侧面；（4）两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；（5）两个面的公共边叫做棱

2、柱的棱；（6）侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点；（7）不在同一个面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线；（8）两面个底面的距离叫做棱柱的高2、棱柱的记法和画法：（1）棱柱用表示底面各顶点的字母表示，记作棱柱ABCDE-A1B1C1 D1E1，或用表示对角线端点的两个字母表示，如棱柱AC1、棱柱AD1等；（2）先画表示水平放置的平面图形的直观图，再画出空间图形的直观图3、棱柱的分类：（1）按底面边数来分：三棱柱、四棱柱、五棱柱、棱柱等；（2）按侧棱是否与底面垂直来分：斜棱柱（侧棱不垂直于底面的棱柱）、直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）、正棱柱（底面是正多边形的直棱柱）4、棱柱的性质（1）两面个底面与

3、平行于底面的截面是全等的多边形，且对应边互相平行；（2）侧面都是平行四边形，侧棱都相等，直棱柱的各个侧面都是矩形，正棱柱的各个侧面都是全等的矩形；（3）过不相邻的两条侧棱的截面（对角面）是平行四边形5、平行六面体的概念和性质（1）平行六面体的概念底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体；侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体；底面是矩形的直平行六面体叫做长方体；棱长都相等的长方体叫做正方体（立方体）（2）平行六面体的性质平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处平分；对角线相等的平行六面体是长方体；长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和，即l2=a2+b2+c2(l为对角线的长

4、，a、b、c为一个顶点上三条棱的长)；设长方体的对角线与一个顶点处的三条棱所成的角分别为、，则有sin2+sin2+sin2=2，cos2+cos2+cos2=1；设长方体的对角线与一个顶点处的三个面所成的角分别为、，则有sin2+sin2+sin2=1，cos2+cos2+cos2=2二、棱锥的概念与性质1、棱锥的概念：（1）当棱柱的一个底面收缩为一个点时,得到的几何体叫做棱锥；（2）原棱柱的底面叫做棱锥的底面；（3）其余各面叫做棱锥的侧面；（4）相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；（5）各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；（6）顶点到底面的距离叫做锥的高2、棱锥的记法和画法：（1）棱锥用表示顶点和

5、底面各顶点的字母表示，记作棱锥S-ABCDE，或者用表示顶点和底面对角线端点字母表示，如棱锥S-AC、棱锥S-AD等；（2）先画表示水平放置的平面图形的直观图，再画出空间图形的直观图3、棱锥的分类：（1）按底面边数来分：三棱锥、四棱锥、五棱锥棱锥等；（2）正棱锥：如果一个底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥4、棱锥的性质（1）棱锥底面是多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形；（2）如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得截面与底面相似，截面面积与底面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比；（3）如果棱锥被平行于底面的平面所截，截得小锥体与原锥体的侧面积的比等于

6、相似比的平方，截得小锥体与原锥体的体积的比等于相似比的立方；（4）正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）； （5）正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的斜高、侧棱和底面边长之半组成一个直角三角形，正棱锥的斜高在底面内的射影、侧棱在底面内的射影和底面边长之半组成一个直角三角形；（6）正棱锥的顶点在底面内的射影是底面的中心，中心到各顶点的距离称为正多边形的半径，中心到各边的距离称为正多边形的边心距。边长为a的正三角形、正方形、正六边形的半径和边心距分别为：a，a

7、；a，a；a，a三、棱台的概念与性质1、棱台的概念：（1）棱锥被平行于底面的平面所截后,截面和底面之间的部分叫做棱台；（2）截面和原棱锥的底面叫做棱台的上底面和下底面；（3）其余各面叫做棱台的侧面；（4）相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱；（5）两个面的公共边叫做棱台的棱；（6）侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点；（7）不在同一个面上的两个顶点的连线叫做棱台的对角线；（8）两面个底面的距离叫做棱台的高2、棱台的记法和画法：（1）棱台用表示底面各顶点的字母表示，记作棱台ABCDE-A1B1C1 D1E1，或用表示对角线端点的两个字母表示，如棱台AC1、棱台AD1等；（2）先画表示水平放置的平面图形的

8、直观图，再画出空间图形的直观图3、棱台的分类：（1）按底面边数来分：三棱台、四棱台、五棱锥棱台等；（2）正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台4、棱台的性质（1）棱锥上下底面是全等的多边形，侧面是梯形；（2）如果棱台被平行于底面的平面所截，那么所得截面与上下底面相似；(3)正棱台各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形，各等腰梯形的高相等（它叫做正棱台的斜高）四、多面体的概念与分类1、多面体的概念：（1）若干个平面多边形围成的几何体，叫做多面体；（2）围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；（3）两个面的公共边叫做多面体的棱；（4）若干个面的公共顶点叫做多面体的顶点2、多面体的分类：（1）在连续变形中

9、，表面能变为一个球面的多面体，叫做简单多面体；（2）把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做多面体凸多面体；（3）按多面体的面数分：有四面体、五面体、六面体、等，一个多面体至少有四个面，四个顶点，六条棱（三棱锥）；（4）每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其端点都有相同数目的棱的凸多面体，叫做正多面体正多边形只有五种：正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体，正二十面体。其中正四面体，正八面体，正二十面体的面是正三角形，正六面体的面是正方形，正十二面体的面是正五边形。3、简单多面体中的顶点数、面数、棱数间的关系（1）欧拉公式：V+F-E=2

10、；（2）简单多面体中棱数E的三种计算方法：利用欧拉公式：E=V+F-2；利用各面的边数：棱数等于各面多边形的边之和的一半，当面的边数都为n时，E=nF；利用过顶点的棱数：棱数等于各顶点引出的棱之和的一半，当各顶点引出的棱都为n时，E=nV/2；（4）多面体各面多边形的内角和为：（V-2）360四、棱柱、棱锥、棱台的侧面积和体积1、棱柱的侧面：（1）（-直棱柱底面周长，-直棱柱的高）；（2）（-斜棱柱直截面周长，-斜棱柱侧棱的长），或者（为斜棱柱各侧面的面积）；（3）2、棱锥的侧面：（1）（-正棱锥底面周长，-正棱锥的斜高）；（2）3、棱柱、棱锥的体积：(1)体积公理：长方体的体积（-长方体的棱

11、长，长方体的底面面积，-长方体的高）；(2)祖暅原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这个平面的任何平面所截，如果截得的两个截面的面积都相等，那么这两个几何体的体积相等；(3) （-棱柱底面面积，-棱柱的高），（侧面面积，-棱到相对侧面的距离），（直-棱柱直截面面积，-斜棱柱侧棱的长）；(4) （-棱锥底面面积，-棱锥的高）；(5) （-棱台底面面积，-棱锥的高）；(6)注意割补法在求棱柱、棱锥体积中的应用1.1.2圆柱、圆锥、圆台和球一、圆柱、圆锥、圆台的有关概念和性质1、圆柱、圆锥、圆台的有关概念（1）将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线

12、旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱，圆锥，圆台；（2）这条直线叫做轴；（3）垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面；（4）不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面；（5）无论旋转到什么位置，这条边都叫做母线2、圆柱、圆锥、圆台和球的表示方法：圆柱、圆锥、圆台3、圆柱、圆锥、圆台的性质：（1）平行于底面的截面都是圆；（2）过轴的截面（轴截面）分别是全等的矩形，等腰三角形，等腰梯形4、圆柱、圆锥、圆台的侧面积和体积(1) 圆柱、圆锥、圆台的侧面积：（-圆柱底面周长，-圆柱的母线长，-圆柱的半径）；（-圆锥底面周长，-圆锥的母线长，-圆锥底面的半径）；（-圆台上下底面周长， -圆台的母线长，-圆台上下底面的

13、半径）(2) 圆柱、圆锥、圆台的体积：（圆柱底面面积，圆柱底面面积，-圆柱的高），（圆锥底面面积，圆锥底面面积， -圆锥的高），（圆台底面面积，圆台上下底面半径， -圆台的高）二、球的有关概念和性质1、球的有关概念（1）半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做球面（与定点的距离等于定长的点的集合叫做球的球面）；（2）球面围成的几何体叫做球体，简称球（与定点的距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称球）；（3）定点叫做球心（半圆的圆心叫做球心）；（4）定长叫做球的半径（连结球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径）；（5）连结球面两点并且经过球心的线段叫做球的直径；（6）球面被经过球

14、心的平面截得的圆叫做大圆；（7）球面被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆2、球的记法与画法：（1）记法：用表示它的球心的字母来表示，如球O；（2）画法：一般用一个圆和一个表示水平放置的椭圆表示3、球的有关性质：用一个平面去截一个球，截面是圆面，球的截面有下面的性质：（1）球心和截面圆心的连心线垂直于截面；（2）球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系：；（3）在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是两点的所在大圆所对劣弧的长度，这个弧长叫做两点的球面距离，设球心角，则AB两点间的球面距离为；（4）地球的经度和纬度：1)经度：在地球仪上，连接南北两极的线叫“经线”，也叫“子午线”经

15、线指示南北方向，所有的经线长度都相等两条正相对的经线形成一个经线圈，任何一个经线圈都能把地球平分为两个半球为了区别每一条经线，人们给经线标注了度数，这就是“经度”国际上规定，把通过英国格林威治天文台原址的那一条经线定为0，也叫本初子午线。从0经线算起，向东、向西各分作180，0以东属于“东经”(E)，以西属于“西经”(W)；2)纬度：在地球仪上，同赤道平行的线叫“纬线”。纬线指示东西方向，赤道是地球上最大的纬线圈，越往两极，纬线圈越小，到两极就缩成点了为了区别每一条纬线，人们给纬线也标注了度数，这就是“纬度” 纬度从赤道算起，赤道为0，由赤道往两极各分为90，赤道以北是北纬(N)，以南是南纬(

16、S)从几何角度看，球面上一点和球心连线与赤道所在平面所成的角叫做地球的纬度4、球的表面积、体积及球的内接与外切问题(1)球的表面积：；(2)球的体积：；(3)球的内接问题：棱长为的正方体内接于半径为的球，则：；棱长为的正方体内接于半径为的半球，则：；棱长为的正四面体内接于半径为的球，则：；棱长分别为的长方体内接于半径为的球，则：(4)球的外切问题：球的外切正方体、正四面体、正三棱柱等三、旋转体的概念1、一条平面曲线绕着它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面； 2、封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体1.1.4直观图的画法1、直观图的斜二测画法：（1）表示空间图形的平面图形，叫做空间图

17、形的直观图；(2)直观图的斜二测画法：1)在已知图形中取水平平面，取互相垂直的轴ox、oy，再取oz轴， 使xoz=90，且yoz=90；2）画直观图时，把它们画成对应的轴o/x/、o/y/、o/z/，使x/o/ y/=45（或135），x/o/z/=90，x/o/ y/所确定的平面表示水平平面；3）已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x/轴、y/轴或z/轴的线段；4）已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半（1） 水平放置的正多边形的直观图3、常用立体图形ABCDD1A1B1C1ABCD空间四边、正方体(立方体)

18、、长方体、四面体(三棱锥)bbb BCDADB1ABCA1C1D11.2.1平面的基本性质一、平面的概念特性及基本性质1、平面的概念：广阔的草原、平静的湖面都给我们的以平面的形象和点、直线一样，平面也是从现实世界中抽象出来的几何概念2、平面的特性：无比平整性和无限延展性（直线在平面内、平面把空间分成两部分）平面个数 分空间所成部分1 22 3或43 4或6或7或8n 最少分成 n+1个部分3、平面的画法和记法：(1) 画法：水平放置、竖直放置、相交平面；llAB（2）记法：1）用希腊字母：平面、平面、平面等；2）用英文字母：平面M、平面N等；3）用多边形的顶点的字母：平面ABCD、平面ABC；

19、4）用多边形的对角线的字母：平面AC、平面BD等。二、文字语言、图形语言、符号语言及其转化1、点与直线、点与平面的位置关系（1）点在直线上Pl，点不在直线上Pl；（2）点在平面内P，点不在平面内P2、两直线的位置关系（1）两直线无公共点ab=：1) 两直线平行：ab，2) 两直线异面：a、b为异面直线(异面垂直ab) ；（2）两直线有公共点ab：两直线相交ab=P(共面垂直ab)（共面：ab ，ab=P；不共面：a、b异面）3、直线和平面的位置关系（1）直线在平面内l；（2）直线不在平面内：1）直线与平面相交：l=P（直线垂直于平面l ）；2）直线与平面平行：l（无公共点l=：l；有公共点l：

20、 l， l=P）2、两平面的位置关系（1） 两平面平行：（=）；（2） 两平面相交：= l（，两平面垂直）三、平面的基本性质（1）公理1：A、B、Al、BlAB，即l（直线在平面内的依据）；（2） 公理2：P、P=l、Pl（两平面相交的依据）；（3） 公理3：A、B、C三点不共线经过A、B、C三点有且仅有一个平面, 即A、B、C三点确定一个平面（确定一个平面的依据）推论1：Pl经过P和l有且仅有一个平面（即P和l确定一个平面）；推论2：ab=P经过a和b有且仅有一个平面（即a和b确定一个平面）；推论3：ab 经过a和b有且仅有一个平面（即a和b确定一个平面）四、共面、共线、共点问题的证明1、证

21、明共面问题的主要方法有：(1)先由公理3或其推论证明某些元素确定一个平面，再证其余元素都在此平面内；(2)指出给定的元素中的某些元素在平面内，某些元素(与前述元素有公共元素，但两部分必须包括所有元素)在平面内，再通过公共元素来证明与重合如“若一直线与三条平行直线都相交，则这四条直线共面”的证明就用此法两两相交的直线 确定平面个数 两两平行的直线 确定平面个数3 1或3 3 1或34 1或4或6 4 1或4或62、证明三点P，Q，R共线的主要方法有：先证P，Q，R三点在平面内，再证P，Q，R三点在平面内，得P，Q，R在平面和平面的交线上3、证明三线a，b，c共点的主要方法有：（1）证明a与b相交

22、，b与c相交，再证交点重合；（2）证明a与b相交于点P，再证Pc1.2.2空间两直线的位置关系一、空间两直线的位置关系1、两直线无公共点ab=：（1）两直线平行：ab，（2）两直线异面：a、b为异面直线(异面垂直ab) ；2、两直线有公共点ab：两直线相交ab=P(共面垂直ab)（共面：ab ，ab=P；不共面：a、b异面）二、两直线异面的判定和证明：1、判定：利用定义：不同在任何一个平面内，没有公共点的两条直线；2、证明：判定定理：A，B，l，All、AB异面；3、反证法：证明两直线异面的常用方法是反证法，思路是“否定结论找矛盾”，具体分三步：1）否定结论；2）找矛盾（与已知公理、定理矛盾，

23、或与已知条件矛盾，或自相矛盾）；3）肯定证明结论三、异面直线所成的角1、等角定理及其推论：（1）定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等；（2）推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等2、异面直线所成角的定义：a、b是异面直线，过空间任意一点O，作直线a/a、b/b，相交直线a/、b/所成锐角（或直角）叫做异面直线所成的角3、异面直线所成角的范围：或4、异面直线所成角的求法和步骤：（1）方法：作平行线通过平移，把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角（抓平移）；（2）步骤：找和作、证和指、算和答四、两直线平行的判定

24、和证明：1、判定：利用定义：在同一平面内，没有公共点的两条直线，即ab=，称ab2、证明的主要方法：（1）平行公理：a l、bl ab(线线线线)；（2）线面平行的性质：a，a,= bab(线面线线)；（3）面面平行的性质：, = a,= bab(面面线线)；（4）线面垂直的性质定理：a,bab(线面线线)五、两直线垂直的判定和证明：1、判定：利用定义：两直线所成的角为902、证明的主要方法：（1）平行直线的性质：al，l b a b(线线线线) ；（2）线面垂直的性质：a ，ba b(线面线线)；（3）三垂线定理及其逆定理（现教材体系不可直接用）：三垂线定理：l是斜线b在内的射影，a ，a

25、la b(线线线线)；三垂线逆定理： b是斜线l在内的射影，a ，a la b(线线线线)1.2.3直线与平面的位置关系一、直线与平面的位置关系（1）直线在平面内l；（2）直线不在平面内：1）直线与平面相交：l=P（直线垂直于平面l ）；2）直线与平面平行：l（无公共点l=：l；有公共点l： l， l=P）二、直线与平面平行的判定与性质1、直线与平面平行的判定（1）定义：如果一条直线和个平面没有公共点，就说这条直线和这个平面平行，即l=，记为l（2）直线与平面平行的判定与证明直线与平面平行的定义：l=；直线与平面平行的判定定理：，b，aba (线线线面)；直线与平面平行的判定：，aa(面面线面

26、)；直线与平面平行的判定：ab，b，a(线线线面)；直线与平面平行的判定：a，a(面面线面)2、直线与平面平行的性质(1)直线与平面平行的性质定理：a，=bab(线面线线)；(2)平面与平面平行的性质：a，a，=bab(线面线线)三、直线和平面垂直的判定与性质1、定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直（任意a，l a，称l ）2、直线和平面垂直的判定与证明(1) 线面垂直的定义：任意a，l al (2)线面垂直的判定定理l a，l b，a，b，ab=Pl (线线线面)；(3)线面垂直的判定：al ，al (线线(线面)线面)；(4)面面平行的性质：，l l

27、 (面面(线面)线面)；(5)面面垂直的性质：=a，l ,l al (面面(线线)线面)3、直线和平面垂直的性质(1)线面垂直的性质：a ， b a b(线面线线)；(2)线面垂直的性质定理： a，bab(线面线线)4、直线与平面两个唯一性命题：（1）过一点P有且只有一条直线l和一个平面垂直(直线叫做平面垂线)；（2）过一点P有且只有一个平面和一条直线l垂直(平面叫做直线垂面)四、有关三棱锥顶点在底面的射影的几个结论：（1）若三棱锥有两组对棱互相垂直，则顶点在底面上的射影为底面三角形的垂心；（2）若三条侧棱相等，则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心；若侧棱与底面所成的角相等，则顶点在底面上的

28、射影为底面三角形的外心；（3）若顶点到底面三角形三条边的距离相等，则顶点在底面上的射影为底面三角形的内心或旁心；若侧面与底面所成的角相等，则顶点在底面上的射影为底面三角形的内心或旁心五、直线和平面所成的角1、直线和平面所成角的定义： (1)平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角；(2)如果直线和平面垂直，那么就说直线和平面所成的角是直角；(3)如果直线和平面平行或在平面内，那么就说直线和平面所成的角是0的角2、直线和平面所成角的范围：或3、直线和平面所成角的求法和步骤：（1）方法：认平面、作垂线、找射影，把直线和平面所成的角转化为相交直线所成的角（找射影

29、）；O12CBA（2）步骤：找和作、证和指、算和答4、最小角定理：(1)公式：；(2)定理：平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成角中最小的角1.2.4平面与平面的位置关系一、两平面的位置关系1、 两平面平行：（=）；2、两平面相交：= l（，两平面垂直）二、平面与平面平行的判定与性质1、定义：如果两个平面没有公共点，就说两个平面互相平行，即=，记为2、平面与平面平行的判定与证明（1）平面与平面平行的定义：=；（2）平面与平面平行的判定定理：a，b，ab=P，a，b (线面面面)；（3）平面与平面平行的判定：a，b，ab=P，m，n，mn=Q， am，bn(线线面面)；（4）平面与平面平行的判定：l ，l (线面面面)；（5）平面与平面平行的判定：，(线面面面)3、平面与平面平行的性质(1)平面与平面平行的性质1：，aa(面面线面)；(2)平面与平面平行的性质2：，=a，= bab (面面线线)；(3)平面与平面平行的性质3：，l l (面面线面)4、与平行平面有关的几个结论(1)过平面外一点有且仅有一个平面和已知平面平行；(2)一条直线和两平面相交，它和两个