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1、中档大题保分练(四)(推荐时间:50分钟)1 已知函数f(x)sin x(>0)在区间上单调递增,在区间上单调递减;如图,四边形OACB中,a,b,c为ABC的内角A,B,C的对边,且满足.(1)证明:bc2a;(2)若bc,设AOB(0<<),OA2OB2,求四边形OACB面积的最大值(1)证明由题意知:,解得:,sin Bcos Asin Ccos A2sin Acos Bsin Acos Csin A,sin Bcos Acos Bsin Asin Ccos Acos Csin A2sin A,sin(AB)sin(AC)2sin A,sin Csin B2sin Ab
2、c2a.(2)解因为bc2a,bc,所以abc,所以ABC为等边三角形,SOACBSOABSABCOA·OBsin AB2sin (OA2OB22OA·OBcos )sin cos 2sin,(0,),当且仅当,即时取最大值,SOACB的最大值为2.2 张师傅驾车从公司开往火车站,途经4个交通岗,这4个交通岗将公司到火车站分成5个路段,每个路段的驾车时间都是3分钟,如果遇到红灯要停留1分钟假设他在各交通岗是否遇到红灯是相互独立的,并且概率都是.(1)求张师傅此行程时间不少于16分钟的概率;(2)记张师傅此行程所需时间为Y分钟,求Y的分布列和均值解(1)如果不遇到红灯,全程需
3、要15分钟,否则至少需要16分钟所以张师傅此行程时间不少于16分钟的概率P14.(2)设张师傅此行程遇到红灯的次数为X,则XB,P(Xk)Ck4k,k0,1,2,3,4.依题意,Y15X,则Y的分布列为Y1516171819PY的均值E(Y)E(X15)E(X)154×15.3 如图所示,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,PA底面ABCD,PAAB1,AD,点F是PB的中点,点E在边BC上移动(1)点E为BC的中点时,试判断EF与平面PAC的位置关系,并说明理由;(2)求证:无论点E在BC边的何处,都有PEAF;(3)当BE为何值时,PA与平面PDE所成角的大小为45
4、6;.(1)解当点E为BC的中点时,EF与平面PAC平行在PBC中,E、F分别为BC、PB的中点,EFPC.又EF平面PAC,而PC平面PAC,EF平面PAC.(2)证明以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,1),B(0,1,0),F,D(,0,0)设BEx,则E(x,1,0),·(x,1,1)·0,所以PEAF.(3)解设平面PDE的法向量为m(p,q,1)由(2)知(,0,1),(x,1,1),由得m.而(0,0,1),依题意PA与平面PDE所成角为45°,所以sin 45°,即,得BEx或BEx>(舍去)故BE时,PA与平
5、面PDE所成角为45°.4 设f(x)x3,等差数列an中a37,a1a2a312,记Snf(),令bnanSn,数列的前n项和为Tn.(1)求an的通项公式和Sn;(2)求证:Tn<;(3)是否存在正整数m,n,且1<m<n,使得T1,Tm,Tn成等比数列?若存在,求出m,n的值,若不存在,说明理由(1)解设数列an的公差为d,由a3a12d7,a1a2a33a13d12,解得a11,d3,所以an3n2.又因为f(x)x3,所以Snf()an13n1.(2)证明因为bnanSn(3n2)(3n1),所以,所以Tn<.(3)解由(2)知Tn,所以T1,Tm,Tn,若T1,Tm,Tn成等比数列,则2·,即.当m2时,n16,符合题意;当m3时,n无正整数解;当m4时,n无正整数解;当m5时,n无正整数解;当m6时,n无正整数解;当m7时,m26m1(m3)210>0,则<1,而3>3,所
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