曲线积分与曲面积分

1、第十章曲线积分与曲面积分一、教学目标及基本要求：1、理解二类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。2、会计算两类曲线积分3、掌握（Green）公式，会使用平面曲线积分与路径无关的条件。4、 了解两类曲面积分的概念及高斯（Grass）公式和斯托克斯（Stokes）公式并会计 算两类曲面积分。5、了解通量，散度，旋度的概念及其计算方法。6、会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（如曲面面积、弧长、质量、重 心、转动惯量、功、流量等）。二、教学内容及学时分配：第节对弧长的曲线积分2 学时第二节对坐标的曲线积分2 学时第三节格林公式及其应用2 学时习题课2 学时第四节对面积的

2、曲面积分2 学时第五节对坐标的曲面积分2 学时弟八节高斯公式通量与散度2 学时第七节斯托克斯公式环流量与旋度2 学时习题课2 学时三、教学内容的重点及难点：1、二类曲线积分的概念及其计算方法2、二类曲面积分的概念及其计算方法3、格林公式、高斯公式及斯托克斯公式4、曲线积分及曲面积分的物理应用和几何应用也是本章重点。5、两类曲线积分的关系和区别6、两类曲面积分的关系和区别7、曲线积分和曲面积分的物理应用及几何应用第一节对弧长的曲线积分一、内容要点由例子引入对弧长的曲线积分的定义给出性质，然后介绍将对弧长的曲线积分化为定积分的计算方法。1、引例：求曲线形构件的质量最后举例巩固计算方法的掌握。2、f

3、（x,y,z）ds 为第一类曲线积分，其中-为曲线，被积函数 f（x,y,z）中的点（x,y,z）位于曲线-上，即（x, y,z）必须满足厶对应的方程,d dx2dy2dz2是弧微分、弧长元素。若-是圭寸闭曲线，则第一类曲线积分记为ip f （x, y, z） d s3、第一类曲线积分的应用：1）、曲线的长 s= ” ds2） 、若空间曲线形物体的线密度为f （x,y,z）, （x,y,z）乏，则其质量 M =卜 f （x,y,z）ds；xf (x,y,z)ds. yf(x,y,z)ds.zf (x,y, z)ds质心坐标为(x,y,z)，其中x,y,z =MMM对 x 轴的转动惯量 lx =

4、 . (y2z2)f (x,y,z)ds4、第一类曲线积分的计算方法：x = x(t)_若空间曲线丨参数方程为：y = y(t)，-:t： I，则 ds =x(t)2y(t)2z(t)2dt，z =z(t).f(x,y,z)ds=f(x(t),y(t),z(t),x(t)2y(t)2z(t)2dtoT蚊例 1 计算！厂(x2y2z2)ds，其中】:x =cost, y=sint ,z =t, 0 _t _2 二解 因为x2y2z2= cos t sin2t t2=1 t2, ds = (_sint)2(cost)21dt = . 2dt, 所以.(x2y2z2)ds= ； (1 t2).2dt

5、 =、2(2 二詈)例2. | y | ds，其中丨为球面x2y2z2= 2与平面x =y 的交线；解 丨的参数方程为x =y =cost,z =.2s int, 0 乞 t2 二,d；x2y2z2d s2dt ,71根据对称性得到I | y | ds = 4 2Q2costdt=4-_2r2 . 2 _ 2例 3 计算匚(x2+y2+z2)ds，其中：丿x y =a(a0)z =1解x =acost-:y =asin t, 0 _t _ 2 二，ds 二，x(t)2y(t)2z(t)2dt 二 a2(sin21 cos2t)dt 二 adtz =1222?兀22! (x y z )ds(a

6、1)adt=2na(a1)或解：被积函数x2 y2 z2中的点(x,y,z)位于曲线-上，即 (x, y,z)必须满足丨对应的方程，所以x2y2z2= a21，丫(x2y2z2)ds= 丫(a2 1)ds= (a2 1) i 厂 ds = 2:a(a21)二、教学要求和注意点1、理解对弧长的曲线积分的概念，了解对弧长的曲线积分的性质2、掌握计算对弧长的曲线积分的方法3、对弧长的曲线积分与曲线方向无关，化弧长的曲线积分为定积分时，定积分的上限 不能比下限小。三、教学设计与安排(包含于上面)四、作业同步训练习题一第一型曲线积分的概念和性质1 金属曲线的质量设有金属曲线 L (如图 9-1) ,L

7、上各点的密度为二元连续函数p = p(x,y),求这曲线的质量。把 L 分成 n 个小弧段：,AS2, -,Asn，其中(i=1,2,n)也表示这些小弧段的长度。在AS上任取一点(Ei,ni),由于线密度函数是连续的，因此当AS很小时，ASi的质量？ mi便可近似地表示为：？mjp($ , ni) Asi，于是整个金属曲线地质量近似于nnM疋 7pw,ni).记入=max,令 入0 取上式和式的极限，得M =lim p(石,i 41 oiim0从而当：t 很小时，：sA：t0.此时若视.0 为 L 上某一段弧的弧长 应有：s：t0.这说明此时t的变化是由小到大的而这里 As 正是As的一般形状

8、,故下限兰上限.Jacost0M“.计算(宀丫2川y=asi ntL233y z = a被平面x y z = 0所截的圆周解:根据对称性知x2ds . y2ds=：.z2ds=212 2 212x ds=(x y z )ds=a ds=第二节对坐标的曲线积分一、内容要点引例：变力沿曲线所作的功由例子引入对坐标的曲线积分的定义，给出性质然后介绍将对坐标的曲线积分化为定积分的计算方法，并强调指出两类曲线积分化为定积分的计算方法，最后举例巩固计算方法的掌握。一、.P(x,y,z)dx Q(x,y,z)dy R(x,y,z)dz 为第二类曲线积分， 其中丨是一条定向曲线,F =(P(x,y,z),Q(

9、x, y, z), R(x, y, z)为向量值函数，d r = (dx,dy,dz)为定向弧长元素(有向曲线 元)x = x(t)若曲线的参数方程为：y =y(t)，贝 yz =z(t)切向量.=(x(t), y(t), z(t)，单位切向量 e = (cos, cos：,cos )弧长元素 ds= , x(t)2y(t)2- z(t)2dt定向弧长元素 dr = (dx,dy,dz) = (x(t)dt,y(t)dt,z(t)dt) =(x(t),y(t),z(t)dt=(x(t),y(t),z(t)dsx(t)2y(t)2z(t)2,x(t)2- y(t)2z(t)2. x(t)2- y

10、(t)2 z(t)2=(cosJ,cos :,cos )ds 二 eds.P(x, y,z)dx Q(x,y,z)dy - R(x, y,z)dz = $ F - dr = $ F *e ds=.P(x,y,z)cos：Q(x,y,z)cos：R(x, y,z)cos ds=氏“勿(t)驱以沱(t)ds例 1：设 L 是半园周：2 2解：L(x y )ds=a2223-a si nt)(a cost) dt=adt=a2例 2:设】为球面x2,计算：x ds./ 的弧长=.2 a=- a3333x(t)2y(t)2z(t)2上面的等式表明第二类曲线积分可以化为为第一类曲线积分。例 1 把第二类

11、曲线积分P(x, y, z)dx Q(x, y,z)dy R(x,y,z)dz 化成第一类曲线积分，其中-为从点(0,0,0)到点(一 2,-2,1)的直线段。2 2解 方向向量.(二2,2：)，其方向余弦 COS-. =- ,cos =-,cos -,2 2 2 2 2原式=P(x, y,z)cos 邛 Q(x,y,z)cosl：R(x,y,z)cos ds= ._ds例 2把第二类曲线积分(P(x,y)dx+Q(x, y)dy 化成第一类曲线积分，其中L为从点(0,0)沿上半圆周x2y2=2x到点(1,1),2X：0T1，切向量亍=(x,y)=(1,1_x2)y= 0时，有 W=li叫、P

12、(i,i)：XiQ(i,i)：yi.2.第二型曲线积分(对坐标的曲线积分)的定义定义:设 L 是xoy面上从点 A 到点 B 的有向光滑曲线，P(x, y),Q(x, y)在 L 上有界，把 L分成 n 个小弧段,AS2，Asn，其中Asj(i=1,2,n)也表示第 i 个小弧段的弧长.n在A(i=1,2,n )上任取一点(Ei,ni)，做和式送卩心、)级+0(耳,牛)细,其中 g 和i =1绍i是.-：Si 分别在x轴和y轴上的投影记 入=maxAsi ,如果极限nlim a P()调 Q(j,)浮存在，且极限值与 L 的分法及点(Ei,ni)在As上的取 ，0毎法无关 则称此极限值为函数P

13、(x,y),Q(x,y)在有向曲线弧 L 上的第二型曲线积分或对坐标的曲面积分，记作LP(x, y)dx Q(x, y)dy即有：P(x, y)dx +Q(x, y)dy=P(x, y),Q(x, y)其中P(x, y),Q(x, y)称为被积函数 丄称为积分曲线弧 同理，当P(x, y),Q(x, y)都在 L 上连续时，上述积分才存在故今后总假定P(x,y),Q(x, y)在 L 上连续注 1: 完全可以类似地扩到空间曲线丨 上,得P(x, y, z)dx Q(x, y,z)dy R(x, y, z)dz2：当 L 为封闭曲线时，常记为P(x, y)dx Q(x,y)dy3：这两类线积分，

14、除了形式上不同之外，还有一关键性区别在于：第一类线积分与 L 的方 向无关，而第二类线积分与 L 的方向有关(下见性质 2)性质 1 若 L 由有限有向曲线弧组成 例如 L=L1+L2贝 U.P(x, y)dx Q(x, y)dy=P(x, y)dx Q(x, y)dy+P(x, y)dx Q(x, y)dyLL1L2性质 2:设-L 是 L 的反向曲线弧，则丄P(x, y)dx Q(x, y)dy = -LP(x, y)dx Q(x,y)dy一.第二型曲线积分的计算法同前面一样，我们可以将对坐标的曲线积分转化为定积分来计算，有下列定理：定理：P(x, y),Q(x, y)在有向曲线弧 L 上

15、连续丄的方程为：x=(t),y(t).当t由变动到一：时对应 L 上的动点M (x, y)从 L 的起点 A 变到终点 B,(t) / (t)在-,-上连续且 不全为零贝UB丄丄丄LP(x,y)dx Q(x,y)dy=：.P：(t), (t)f：(t) Q (t), (t)f (t)dt(证明略)注 1:若 L 的方程为 y=(x),x在 a ,b 之间且 x=a 且 x=b 分别为 L 的起点和终点，则有LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=p(x, (x)+Q(x,(x) (x)dxLa同理若 L 的方程为x = (y)，也有类似的结果.2：设空间曲线-的方程为：(t), y =(t),

16、(t),t - , ,且分别对.P(x, y,z)dx Q(x, y,z)dy R(x, y,z)dz=P,.P (t), (t)/ (t)r：(t)Q (t), (t)/.(t)r (t)R：(t), (t),(t) (t)dt3:定理及注 1,2 中的定积分的上下限分别时参数所对应的参数值 对应的值为上限y二asi nt,z二bt(ot込2二)(2)质点由 A(a,0,0 沿直线 L2到点 B(0,0,2dD)所作的功.2兀一解：W= Fds=ydx-xdy (x y z)dz2兀(1) W= a si nt.(-asi nt) - a cost.a cost (acost a si nt

17、 bt)bdt2T：.2222=0a +ab(sin t+cost)+b tdt=2兀(叱-a )(2) L2: x=a, y=0,z=t (0t)所作的功.L1：x =acost,着不同的特性，但在一定的条件下，我们可建立它们之间的联系.设有向曲线弧 L 表示成以弧长 s 为参数的参数方程：x=x(s),y=y(s), 0 sw?,这里 L 由点 A 到点 B的方向就是 s 增大的方向 又设aB依次为从 x 轴正向,y 轴正向到曲线 L 的切线的正向的夹角贝ydxdy.cosa,sin a=cos：dsds(cosacos3也称为有向曲线一致)因此，得L 上点(x,y)处的切向量的方向余弦，

18、切向量的指向与曲线L 的方向LP(x,y)dx Q(x, y)dy =l_=Px(s), y(s)cosa +Qx(s), y(s)cosBds= P(x,y)dx Q(x, y)dy=J P(x, y) cost Q(x, y) cos：ds注 1：上式可推广到空间曲线的曲线积分上去，有LP(x, y, z)dx Q(x, y, z)dy R(x, y, z)dz=J P(x, y, z)cost Q(x, y, z)cos,亠R(x, y, z)cos ds其中 cosacoscosY是 L 上点(x,y,z 处的切向量的方向余弦 .例 5把第二型曲线积分P(x, y)dx+Q(x, y)

19、dy化为第一型曲线积分，其中 L：y = J上从(0,0)到(1,1)的一段弧.1y： 丄的切向量 T=1,2Jx12x(1 Y=P(x, y)2,x Q(x, y)dsL、1 4x第三节格林公式一、内容要点(教学设计)先介绍单连通域，画图说明然后回忆牛顿-菜布尼兹公式，由此推出格林公式(书上定理 1 )并证明。提出格林公式将二重积分与曲线积分联系起来了。举 2 个例子说明格林公式的用法再介绍平面上曲线积分与路径无关的条件。给出 149 页定理 3,并证明，更重点讲 151 页公式，然后举 2 个例子说明该公式的用 法。该堂课讲 153 页习题 3，再由此说明格林公式的条件。二、教学要求和注意

20、点(略)三、 作业同步训练习题Jxcos：=1_2 x21 4xLP(x, y)dx Q(x, y)dy=JP(x,y)2x1右+Q(x,y)Hds格林(Green)公式是指出了沿闭曲线的第二型曲线积分与二重积分的关系下面我们来规定 L 的正向：设区域 D 是由一条或几条光滑曲线所围成 边界曲线 L 的正向规定为：当 人沿着 L 行走时，区域 D 总在他的左边.若与 L 的正向相反，就称为负方向.记作-L.定理 1 设闭区域 D 由分段光滑的闭曲线 L 围成，函数P(x, y),Q(x, y)在 D 上具有一阶连续偏导数，则；Pdx Qdy=Q Pdxdy(1)D I $创)其中左端的闭曲线积

21、分是沿边界曲线L 的正方向.公式(1)称为格林公式.证：(i)首先我们证明一个特殊情况 :D 既可表示为 X-型区域，也可表示为 Y-型区域.由 D 可表示为 X 型区域，不妨设D=（x,y） : a xwb,：i（x） y2（x）（如图）b=,Px,；（x） -Px,!（x）dxbb:Pdx=PdxPdx=Px, （x）dx+Px,2（x）dxL L1 L2aab=-aPx,2（x）-Px,】（x）dx冋理，D 可表示为 Y-型区域，不难证明：Qdy=2xdyLDEx将上面两式相加得Pdx Qdy=dxdy.LD：x內(ii)对于一般的区域 D,即如果闭区域D不满足上述条件(既可表示为 X-

22、型区域，也可表示为 Y-型区域)，则可以在 D 内引进若干条辅助线把D 分成有限个部分闭区域，使每个部分满足: pbD亍如玄取dy因此有cPLPd-DWdxdy6：7 =0,在 D 内部作圆周x2y r2.记L与之间的区域为 D1,D1的边界曲线为Li= L （-），这时 D1内不含原点P,Q在 Di上连续，应用格林公式.由.x2-x222(x2y2)2卫二0y:xTf=Jj0dxdy = 0Ditxd y y d xrxdy - ydx其中的参数方程为：x = r cost,二rsin t,2二r2cos21 r2sin2tdtr22二二0dt=2二.点而连续收缩于 D 中某一点，即 L 所

23、围的点全属于 D,那么就称 D 为单连通区域通俗 地说 D 是没有“洞”的区域否则,称为复侈）连通区域（如图）定理：设G是一个单连通的开区域，函数P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数,则下述命题是等价的1)2) Pdx十Qdy = 0对 G 内任意闭曲线 L 成立；3)lPdx Qdy在 G 内与积分路径无关；4)存在可微函数u =u(x, y),使得du二Pdx Qdy在 G 内恒成立. 证 1)二 2).已知在 G 内恒成立，对 G 内任意闭曲线 L,设其所包围的闭区域为D,由玫&y格林公式2) = 3).已知对 G 内任一条闭曲线 L,Pdx Qdy=0.对 G 内

24、任意两点 A 和 B,设L|和L2是 G 内从点 A 到点 B 的任意两条曲线(如图)，则L LJ 是 G 内一条封闭曲线 从而有0 Pdx Qdy=Pdx Qdy+. _Pdx Qdy。LL1L厂Pdx Qdy = - j_Pdx Qdy Pdx QdyL2L2即曲线积分(Pdx +Qdy与路径无关，其中 L 位于 G 内.3) = 4).已知起点为M(X0,y。)终点为M(x, y)的曲线积分在区域 G 内与路径无关，故可记此积分为LPdx Qdy =二Odxdy二0D于是(x,y)勺P(x, y)dx Q(x, y)dy.当Mo(Xo,yo)固定时，积分值仅取决于动点M (x, y)，因

25、此上式是x, y的函数，极为u(x, y),(x,y)P(x,y)dx +Q(x,y)dyxo,yo)F面证明u(x, y)在 G 内可微，且du二P(x, y)dx Q(x, y)dyFuRu由于P(x, y), Q(x, y)都是连续函数，故只需证P(x, y),Q(x, y).excy不难证明弓=啊吩吩xy)_u(x,y)=p(x,y)3=limu(X,y：y)u(X,y)=Q(x, y)(详细过程见 P157)故u(x, y)的全微分存在 且du(x, y)二P(x, y)dx Q(x, y)dy.4)二 1).u(x,y)(解：P =2x，siny,Q二xcosy , cosy ,

26、cosy在整个平面上连续，_yx且有 =,即定理中的 1)成立所以 4)成立.即(2x - sin y)dx (xcosy)dy为某个函数(x,y)的全微分.且u(x,y)=需0)(2x + s i ry)dx + (xc o y)dy,由于曲线积分与路径无关，可取先从点 0(0,0)到点 A(x,0)的直线段 OA:y=0 (dy=O),再沿从点 A到点 M(X, y)的平行于y轴的直线段 AM(dx=0),所以有xyu（x, y）二：.OAAM=0P（x,0）dx0Q（x, y）dyxy2从而-2:-u.x；:y已知存在一个函数u = u(x, y)使得du = P(x, y)dx Q(x

27、, y)dy；：；:P；：2u；:Q.:uuP(x, y),Q(x, y)-x:yrxry ;y:yx:xP(x, y),Q(x, y)-2斗即.y .x具有一阶连续偏导数,所以混合偏导数-2 -2:u；一u、,连续，故:x;y(1,1)例 8证明oo)(x -y)(dxdy)与路径无关.(1,1) (1,1)证:0,0)(x y)(dx dy)=o,o)(xy)dx (x y)dy(1,1)(0,0)(x-y)(dx-dy)与路径无关.，P = x-y,Q =y-xcQcP(1,1)在整个平面上连续 且，由定理得(x - y)(dx - dy)与路径无关.x:y(,)例 9讨论(2x sin

28、 y)dx (xcosy)dy的原函数.=02xdx亠 ixcosydy二x xsin yM0(0,0)心上)所求原函数为x2xsin y二C(C为任意常数).第四节 对面积的曲面积分一、内容要点(教学设计)引例：求空间曲面的质量由例子引进对面积的曲面积分的定义，并给出性质介绍将对面积的曲面积分化为二重积分的计算方法，该方法可概括为“一代二换三投 影”。举 3 个例子提出该积分与二重积分的区别二、教学要求和注意点了解对面积的面积分的定义，掌握其计算方法在本章的讲述中，应提醒学生注意：求空间曲面的质量、转动惯量，曲面面积及重心坐标用对面积的曲面积分；三、作业同步训练习题第一型曲面积分的概念和性质

29、考虑这样一个实际问题：设某一物体占有空间曲面-，其面密度函数为(X, y, z),求该物体的质量M.我们仍用以前惯用的方法，先分割匕为若干小块，再作和nn式最后取极限，得 M=lim 门幕j,Q 其中为各小块面 7卩i半直径的最大值这就是曲面积分的思想下面我们给出定义：定义 设函数f （x,y,z）在曲面匕上有界，把匕分成 n 个小片.-：S1-：S2，-Sn,其中tSi（i=1,2,，n）也表示第 i 小片的面积，在LSi上任取一点（，i，J，作和式nxf（i，i，i） -Si，若当此 n 个小曲面片的直径的最大值，0时上述和式极限存在i =nf （x，y，z）在曲面 Z 上的第一型曲面积分

30、或称为对面积的曲面积分! f(x，y，z)dS=ImJ f(i，i，i)i =n其中f（x，y，z）称为被积函数，工称为积分曲面注 1:同以前一样，今后总假定f （x，y，z）在曲面龙上连续.2：由定义知，物体的质量 M= .I；:（x，y，z）dS，其中r（x，y，z）为面密度函数I3:对面积的曲面积分，同样具有被积函数的可加性与积分曲面的可加性，即!af（x，y，z） bg（x，y，z）dS=a f（x，y，z）dS+b g（x，y，z）dSyyxf（x,y,z）dS=f（x,y,z）dS+f （x,y,z）dSA5Z13二第一型曲面积分的计算法设曲面3的方程为z=z（x, y）,3在xy

31、平面上的投影区域为Dxy,z = z（x, y）在Dxy上具有连续的偏导数，f （x, y, z）在二上连续.下面来求 i .if （x,y,z）dS.yn且此极限值与匕的分法及点（i，ii）在厶Si上的取法无关，则称此极限值为函，记作f（x，y，z）dS，(i)重积分的中值定理：（Y,i）-PCi)xy由定义，I.If （x, y,z）dS=lim 7 f （ ,i,ip-：Si，将往xy平面上投影，其投影区域为(jxy二&= JR1+z；(x, y) + z：(x,y)dxdy(gxy解：二在xoy面的投影区域为Dxy:( x, y)Si= J +(Si)xy又(i,i,i)为厶S

32、i上任一点，故不妨令i = i,i二i, i ,i)f(x,y,z)dS=lim f；, i,z(i, . I+ Z；(竿叫)+zy,叫)2 刁)xy=H fx,y, z(x,Dxy事实上，由dS = J + z；(x, y)(x, y)dxdy也很快能得到上式.例 1设匕为圆锥面z二x2y2介于z = 0与z = 1之间得部分，求I=(X2y2)dS.z xxx2y2y x2y2又工在xy平面上的投影区域为D=(x,y)X2y2 9dxdy2 . . (x2y2213)dxdy =120dor3dr例 2ii(x2- y2)dS匕是z=x2y2与z=1围成的闭曲面.x2y2乞1侧为正侧，则另

33、一侧为负侧对简单闭曲面如球面有内侧和外侧之分；对曲面z二z(x, y)有ii(x2y2)dS=M(X2y2)dS+! (x2y2)dS工y=JJ(x2+y2) J+z：+zydxdy+JJ(x2+y2)J+ 02+02dxdyDxyDxy=2n(x2y2)dxdy+!i(x2y2)dxdyDxyDxy例 3! i(xy yz - zx)dS匕是z= x2y2被x2y2=2x所截下的一块曲面.解：由于 Z 关于xoz面对称，而(x z)y是y的奇函数，故；(x z) ydS = 0.从而原式=iizxdSy工在xoz面的投影区域为Dxy：( x, y) x2+ y2兰 2x关于x轴对称.=池x2

34、y2dxdy(被积函数是关于y的偶函数 且Dxy关于x轴对称)D:y=2 2 .i x x2y2dxdy(D为Dxy对称区域的一半)D2 cos564 -=2.22d i i rcos r rdr=2 224cos 旳二=；2.0b15第五节对坐标的曲面积分一、内容要点先介绍有向曲面引例：稳定流体在单位时间流过曲面的流量由例子引入对坐标的曲面积分的定义，给出性质重点说清楚对坐标的曲面积分与曲面的侧有关，同时提醒学生注意区别两类曲面积分。再介绍对坐标的曲面积分化为二重积分的方法，举2 个例子说明该方法。最后给出两类曲面积分之间的联系。二、教学要求和注意点1、二类曲面积分的定义及计算方法，并讲清楚

35、它们的联系和区别。2、曲线积分与曲面积分计算空间立体的体积。3、求稳定的流体在单位时间内通过曲面的流量用对坐标的曲面积分。第二型曲面积分的概念和性质首先介绍双侧曲面和有向曲面的概念.我们通常遇到的曲面都是双侧的，如果规定某原式=I lx：x2- y2.1 -Dxy；叫“x2r：:忖Dxy2：:.= (、2 1)0dr上、下侧之分；曲面y二y(x,z)有左、右之分；曲面x =x(y,z)有前、后侧之分。在讨论 第二型曲面积分时，我们需要选定曲面的侧。所谓侧的选定，就是曲面上每点的法线方向的选定。具体的说，对于简单闭曲面，如果它的法向量n指向朝外，我们认定曲面为外侧；对曲面z=z(x,y)，如果它

36、的法向量指向朝上，我们就认定曲面为上侧因此我们称规定了侧的曲面为有向曲面习惯上对简单闭曲面，规定外侧为正侧，内侧为负侧，对z=z(x, y)规定上侧为正侧，即法向量与z轴正向夹角小于的一侧为正侧类似地，对2y - y(x，z)规定右侧为正侧 对x = x( y，z)规定前侧为正侧设匕为一有向曲面，在匕上取一小块曲面 厶S，将厶S投影到xoy平面上，得一投影区域记投影区域得面积为D假设厶S上各点得法向量与x轴的夹角的余弦cos具有相同的符号规定S在xoy平面上的投影C：S)xy为：tA0(阿人才一36xycosY 0时，极限nlim二R(i，i，J(匚S)xy存在，则称该极限值为函数R(x，y，

37、z)在有向曲面 二上对坐标0ix,y的曲面积分，记作IiR(x, y,z)dxdy,即XnR(x,y,z)dxdy=lim/ R(i,i, J( S )xy工T 其中R(x,y,z)称为被积函数，匕称为积分曲面类似地，我们可定义P(x, y, z)在有向曲面二上对y,z的曲面积分:侧为正侧，则另一侧为负侧对简单闭曲面如球面有内侧和外侧之分；对曲面z二z(x, y)有I|P(X, y, z)dydz；Q(x, y, z)在有向曲面 二上对z,x的曲面积分:Q(x,y,z)dzdx即龙YnMP(x,y,z)dydz= limP(i,i,i)C：Si)yz i4n! ! Q(x,y,z)dzdx=l

38、imQ(i,i,i)()zx注 1：前面我们所规定的匕的正侧时就R(x, y,z)dxdy而言的，对于! P(x, y, z)dydz, iiQ(x, y, z)dzdx中匕的正侧，我们分别规定：前正后负，右正左负事实上，xy是分别用与x轴正向，y正向夹角为锐角的法向量的指向为正侧2： R(x, y,z)dxdy中的dxd y与 11f (x,y)dxdy中的dxd y不同前者可正可负，是TD(AS )xy的象征，后者恒正，是*i的象征3: 一般地都假定P(x, y, z),Q(x, y, z),R(x, y, z)在二上都连续,使得积分存在这时可定义：11Pdydz Qdzdx RdxdyI

39、 IPdydz亠 iiQdzdx亠 11Rdxdy为一般的第二型曲面积分yxy y或对坐标的曲面积分其中左边的匕为指定的一侧，而右边的三个 匕的正向视情况不同而依各 自的规定设定，此条须特别注意物理意义某物体的速度v=P,Q, R从曲面匕的一侧流向另一侧时的总流量为：E二P(x, y,z)dydz Q(x, y,z)dzdx R(x, y, z)dxdy曲面积分的性质：性质！:若曲面二=眾+匕2,则.=.性质 2:若丁表示三的负侧曲面贝 UII: -II二、第二型曲线积分的计算法设积分曲面 -是由z = z(x, y)所决定的曲面的上侧，-在xoy平面上的投影区域为Dxy.z =z(x, y)

40、在Dxy上具有连续的一阶偏导数，被积函数R(x, y, z)在匕上连续.下面来求R(x, y, z)dxdy.Xn由定义知：！R(x, y,z)dxdy=limj R(i,i,i)( S人又此处 Z 取上侧，故cos- 0(-Si)xy=(匚-i)xy! ! Rx, y, z(x, y)dxdyxy转化为上面这个二重积分来计算若 3 取下侧则有cos0,故有CP)xy- -(*i)xy! R(x, y, z)dxdy= - Rx, y, z(x, y)dxdy.工Dxy同理,若匕的方程为x =x(y,z)，则有 11P(x, y, z)dydz：11Px(y, z), y,zdydzIDyz当

41、匕取前侧时，右边取“ +” ,当匕取后侧时，右边取“一”其中Dyz为二在yoz平面上的投影区域若三为y = y(x, z)，则有IiQ(x, y, z)dxdz -二 Qx,y(x, z), zdxdzIDxz其中Dxz为三在xoz平面上的投影区域当三取右侧时，右边取“ + ”，当三取左侧时，右边取a ?- 2 2 2例 1计算.i.ixyzdxdy.其中二由球面x y - z =1在x_0, y_ 0部分的外侧.I解：龙在 xoy面的投影为Dxy：( x, y) x2+ y2兰又曲面龙为z = $1-(x2+ y2)2I2由公式得,iixyzdxdy=iixy.1-(x2y2)dxdyd r

42、cos rsin.1-r2rdr=二iDx；O015例 3求| = xydydz yzdzdx zxdxdy,其中二由平面x y1与三个坐标面所围成得四面体得表面.取其外侧.解：由二可分为二，I?,二3和三4四个小块(如图),它们的方程分别为：! ! R(x,y,z)dxdy=limj7 i 4Ri，i，z(i,i) O-i)xy2i：z=0,22：x=0,33：y =0,4：x y z=1.当三取外侧时，Zi取下侧，12取后侧，13取左侧，Z4取正侧.不难验证iixydydz，yzdzdx zxdxdy=0,同理 二=0下求Z4 上的积分.此时I = xydydz yzdzdx zxdxdy

43、= xydydz亠11yzdzdx亠11zxdxdyMMMM=11(1 - y-z)ydydz+ 11(1 - z - x)zdzdx+ 11(1 - y - x)xdxdyDyzDzxDxy11 _y11 _z11_x=0dy0(1一y z)ydz+0dz0(1- y - z)zdx+0dx0(1 -y - x)xdy1111=-十-十-=24 2424 8三、两类曲面积分之间的联系设二为有向曲面，方程为z=z(x,y).1 在xoy平面上的投影区域为Dxy,z = z(x,y)在Dxy上具有连续的一阶偏导数.R( x, y, z)在匕上连续.若二取上侧贝 y 11R(x, y,z)dxdy

44、= 11Rx, y,z(x, y)dxdy.又当取上侧时,3 上任工Dxy由公式，得JJ R(x, y,z)cos衍S=JJRX, y, z(x, y) cos?、;1+ zjdxdy工Dxy=!RX, y,z(x, y)dxdy=R(x, y,z)dxdy.DxyZ即! R(x, y, z)dxdy= 11R(x, y,z)cos dS.当二取上侧时成立.又若 3 取下侧，右Y龙端的cos也要改变符号.故此时，上式仍然成立.因此，不管匕取哪一侧，上式均成立.又由积分曲面的可加性，对任一有向曲面上式成立.同理，对于匕为任一有向曲面，下列等式也成立：IiP(x, y, z)dydz= 11P(x

45、,y,z)cos dSyy!Q(x, y, z)dzdx=!.iQ(x,y,z)cos dSyy点处的法线向量的方向余弦为COSHZxZyj1 +z；COS二1合起来，即得：！Pdydz Qdzdx Rdxdy ! !(Pcos：亠Qcos：Rcos )dS.II这就是两类曲面积分的联系其中cos，cos -，cos为匕上任一点处的指向 匕的侧的法线向量的方向余弦.第六节高斯公式通量与散度一、内容要点提出高斯公式，并证明指出高斯公式将三重积分与曲面积分联系起来了，再举2 个例子说明高斯公式。简单介绍通量与散度，讲几个习题二、教学要求和注意点曲面积分与三重积分曲高斯公式联系起来，并由此得出结果一

46、一可用曲面积分计算空间立体的体积。三、作业同步训练习题i. 高斯公式高斯(Gauss 公式表达的是空间区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系,这是格林公式的推广高斯(Gauss)公式：设空间有界闭曲面V 是由分片光滑的闭曲面1所围成，函数P(x, y,z),Q(x, y, z) R(x, y, z)在 V 上具 有连续 偏导数，则有其中左端的曲面积分是沿边界曲面1的外侧.证先假定穿过 V 内部且平行于坐标轴的直线与匕有两个交点(如图),设分成上、下两块 i2和眾，和22的方程分别为zzxy)和z = z2(x,y),则由曲面 积分的计算公式，有PIPdydz Qdzdx Rdxdy

47、=YI lR(x,y,z)dxdy=I lR(x, y,z)dxdy+ .卜!R(x, y, z)dxdy=IIRX, y,Z2(x, y)dxdy - .Rx,y,Z1(x, y)dxdyDxyD xy=iiRx, y, Z2(x, y) Rx, y, zi(x, y) dxdyDxy又由三重积分法，有从而得FRiiR(x,y,z)dxdy=dvV Qzi，iP(x,y,z)dydz= inPdv,Q(x, y,z)dzdxiQdv工V &工V內把 以 上 三 式 相 加，即 得 高 斯 公 式11Pdydz Qdzdx Rdxdy= dV.X勿 &丿如果穿过 V 内部且平行

48、于坐标轴的直线于边界曲面的交点为两个这一条不满足，那么我们可用添加辅助曲面的方法把V 分成若干个满足这样条件的闭区域由于沿辅助曲面相反两侧的两个曲面积分绝对值相等而符号相反，相加时正好抵消，因此对一般闭曲面 V 高斯公式也成立注 1:由上一节的内容，高斯公式也可以表示成：I lPdydz Qdzdx Rdxdy二(Pcosx11Qcos：Rcos )dSyy径+竺+夾dVVcycz丿注 2:利用三重积分计算曲面积分，利用二重积分计算曲线积分 .R灯dv=wDxyz2(x,y) :Rzi(x,y) :zxdy=Rx, y,Z2(x, y) - Rx, y, z,x, y) dxdyDxyI类似可

49、证例 1计算 11zdxdy ydxdz xdydz匕如图，取外侧.y由高斯公式得原式=! (1 1 1)dv=3 dv=3a3VV例 2计算I = JJ(x2co 资 + y2cos0+z2cos?)dSz=b之间的曲面.取其外侧.(a 0,b0)上侧.这样，就构成了一个封闭的曲面，设其围成的区域为 V,在xoy面的投影区域为Dxy.由图象中可以观察到 v 关于xoz, yoz面对称.由两类曲面积分之间的关系及高斯公式，得 = (Xcost y2cos：z2cos )dS 二 x2dydz y2dzdx z2dxdy=-=HI(2x 2y 2z)dviib2dxdyA V=2111(x y

50、z)dviib2dxdyVDxy=2111xdv+2I I Iydv+2111zdviib2dxdyVVVDxy由于 V 关于xoz yoz面对称，故.I.I.Ixdv= .i .i .iydv =0V从而I = 2111zdv - b211dxdy=2VDxy=2产-产=航2二.定理：设空间开区域 G 是一个单连通区域，P(x, y, z),Q(x, y, z) R(x, y,z)在 G 内具有连续的一阶偏导数.下面三条命题等价：(1)若匕为 G 内的一个封闭曲面，则bf、a0-z Ilb 丿2介于z=0与解：由于匕不是封闭的曲面，故不能直接利用高斯公式.所以加一个曲面l1:z = b，取其

51、2 2dz baIlPdydz Qdzdx Rdxdy=0(2)若二为G内的一个曲面，曲面积分 11Pdydz Qdzdx - Rdxdy与匕无关，只与y的边界曲线有关.P-R(3) 在 G 内恒有：0.(证明略)excyczii.斯托克斯公式斯托克斯(Stokes 公式介绍的是曲面 匕上的曲面积分与沿着 匕的边界曲线 L 的曲线积分 之间的联系Stokes 公式：设 L 为分段光滑的空间有向闭曲线，匕是以 L 为边界的分片光滑的有向曲面丄的正向与匕的侧符合右手规则，P(x, y,z),Q(x, y, z) R(x, y,z)在包含 L 的曲面三上连 续，且具有一阶连续的偏导数，则有：r/cR QA+PCP. - dydz+ - dzdx+ - dxdyyVy忆)l比馭丿cx cy j=Q Pdx + Qdy + Rdz.证：先假定 Z 与平行与z轴的直线相交不多于一点，并设匕为曲面z二z(x, y)的上侧，3 的正向边界曲线 L 在xoy面上的投影为平面有向曲线C,C 所围成的闭区域为Dxy(如图).因Px, y,z(x,y)在曲线 C 上点(x, y)的值P(x, y, z)在曲线 L 上对应于点(x,y,z)处的值一样，并且两曲线上对应小弧段在x上投影也一样，因此有