子空间的交与和

1、1子空间的交子空间的交子空间的和子空间的和目录 下页 返回 结束 子空间的交与和的性质子空间的交与和的性质维数公式维数公式2一、子空间的交一、子空间的交1212,.5, V VVVVV 如如果果是是线线性性空空间间 的的两两个个定定理理 子子空空间间则则它它们们的的交交也也是是 的的子子空空间间1212120,0,0,.VVVVVV 证证 首首先先由由可可知知所所以以121, , , ,VVV 其其次次 对对，则则2,V12.VV 于于是是2, ,V 121,V VVV因因是是 的的子子空空间间 所所以以有有12, ,kVkV 1212, ,VVkPVV 又又若若，则则有有12.kVV 于于是

2、是首页 上页 下页 返回 结束 3子空间的交的运算规律子空间的交的运算规律:1) 交换律交换律 V1V2 = V2V1 ；2) 结合律结合律 (V1V2 )V3 = V1(V2V3 ) .由结合律，我们可以定义多个子空间的交：由结合律，我们可以定义多个子空间的交：121,ssiiVVVV 12121212|,.,VVVVV VV V 称称且且为为交交简简空空间间的的称称的的交交. .它也是子空间它也是子空间.首页 上页 下页 返回 结束 12 .VVV故故是是 的的子子空空间间 4二、子空间的和二、子空间的和 定义定义8 设设 V1 , V2 是线性空间是线性空间 V 的两个子空间的两个子空间

3、, 所谓所谓 V1 与与 V2 的的和和，是指由所有能表示成，是指由所有能表示成 1 + 2 ，而而 1 V1 ， 2 V2 的向量组成的子集合，记的向量组成的子集合，记作作 V1 + V2 ，即，即V1 + V2 = | = 1 + 2 , 1 V1 , 2 V2 首页 上页 下页 返回 结束 51212,.6,V VVVVV 如如果果是是 的的两两个个子子空空 间间 则则它它们们的的和和也也是是定定的的子子空空间间理理121112221212, , , VVVV 其其次次有有使使得得1212()()于于是是 1122()()121000,.VVVV 证证 首首先先因因所所以以1211122

4、2,V VVVV因因是是 的的子子空空间间 故故有有12.VV于于是是首页 上页 下页 返回 结束 6121211221212|,. VVVVVVVV 称称为为和和空空间间, , ,简简, ,的的和和的的称称注：注：12121212(1) ,VVVVVVVV 或或但但 或或12121212 (2) , .VVVVVVVV一一般般地地, ,与与的的并并集集不不作作成成子子空空间间另另外外显显然然有有 1212(3) .VVVV 注注意意区区别别与与的的构构造造特特点点 121212 ().kkkkVV同同样样12.VVV 故故是是 的的子子空空间间首页 上页 下页 返回 结束 7子空间的和的运算

5、规律子空间的和的运算规律1) 交换律交换律 V1 + V2 = V2 + V1 ；2) 结合律结合律 (V1 + V2 ) + V3 = V1+ (V2 + V3 ) .由结合律，我们可以定义多个子空间的和：由结合律，我们可以定义多个子空间的和：121ssiiVVVV 的向量组的子空间的向量组的子空间.它是由所有表示成它是由所有表示成 1 + 2 + + s , i Vi ( i = 1 , 2 , , s )首页 上页 下页 返回 结束 8三、子空间的交与和的性质三、子空间的交与和的性质 1. 设设 V1 , V2 , W 都是子空间，那么由都是子空间，那么由W V1 与与W V2可推出可推

6、出W V1V2 ;而由而由W V1与与W V2可可推出推出 W V1 + V2 .2. 对于子空间对于子空间V1 , V2 , 以下三个论断是等价的以下三个论断是等价的:1) V1 V2 ；2) V1 V2 = V1 ；3) V1 + V2 = V2 .首页 上页 下页 返回 结束 91211212,01,.VVVVVVVVV 在在三三维维几几何何空空间间 中中 用用表表示示一一条条通通过过原原点点的的直直线线表表示示一一张张通通过过原原点点而而且且与与垂垂直直的的平平面面 则则而而的的和和是是整整个个空空间间例例1V2VO 2 1 12121122|,.VVVVV首页 上页 下页 返回 结束

7、 10 例例2 设设 V1 = L( 1 , 2 ) , V2 = L( 1 , 3 )是是 R3 两两个不同的个不同的 2 维子空间，求维子空间，求 V1 V2 和和 V1 + V2 ，并指，并指它们的几何意义它们的几何意义.解解因为因为 V1 和和 V2 是两个不同的子空间，所以是两个不同的子空间，所以 1 , 2 , 3 线性无关，线性无关，从而从而 V1 = V2 与题设矛盾与题设矛盾. 于是由子空间的交与和于是由子空间的交与和的定义可得的定义可得V1V2 = L( 1 ), V1 + V2 = L( 1 , 2 , 3 ) = R3 .否则否则 3 可由可由 1 , 2 线性表示线性

8、表示其几何意义是：其几何意义是：V1 = L( 1 , 2 ) 是向量是向量 1 , 2 所所确定的平面，确定的平面，V2 = L( 1 , 3 ) 是向量是向量 1 , 3 所确定所确定首页 上页 下页 返回 结束 11的平面，的平面，个个 3 维空间维空间. V1V2 是这两个平面的交线，是这两个平面的交线， V1 + V2是整是整xoyz 1 2 3V1V2V1V2首页 上页 下页 返回 结束 12例例3 设设 V1 , V2 分别是分别是 P 3 中齐次方程组中齐次方程组1111221211222211220 ,0 ,0nnnnsssnna xa xa xa xa xaxa xa xa

9、 x 1111221211222211220 ,0 ,0nnnntttnnb xb xb xb xb xb xb xb xb x 与与首页 上页 下页 返回 结束 1311112211122111122111220 ,0,0 ,0nnsssnnnntttnna xa xa xa xa xa xb xb xb xb xb xb x 的解空间的解空间. .首页 上页 下页 返回 结束 的解空间，那么的解空间，那么V1V2 就是齐次方程组就是齐次方程组1412121212 , (,)(,) (,.4)ststVLLL 例例在在一一个个线线性性空空间间 中中 有有11221122()()ssttkkk

10、lll1212(,)(,)stLL 证证 11221122ssttkkklll1212(,).stL 12121212(,)(,) (,).ststLLL 所所以以 首页 上页 下页 返回 结束 15四、维数公式四、维数公式12121212, () ()()(7) )V VVVVVVVV 如如果果是是线线性性空空间间 的的两两个个子子空空间间 则则维维维维数数公公 定定式式理理维维 维维维维1212121212,. ,.mV Vn n VVmVV 证证 设设的的维维数数分分别别是是的的维维数数是是取取的的一一组组基基 ，首页 上页 下页 返回 结束 120, ,.mm 如如果果这这个个基基是是

11、空空集集 下下面面的的讨讨论论中中，不不出出现现 但但讨讨论论同同样样能能进进行行1611211212,mmnmV 将将，扩扩充充为为的的基基 ，221212,.mnmV 也也可可以以扩扩充充为为的的基基 ，1212121212,.mnmnmVV 下下证证 ，是是的的一一组组基基121121221212(,), (,)mnmmnmVLVL 因因为为 ，首页 上页 下页 返回 结束 171212121212 (,)mnmnmVVL 所所以以，12121212,mnmnm 下下证证 ，线线性性无无关关. .设设1122111111 0mmnmnmnmnmkkppqq1122111111 mmnmn

12、mnmnmkkppqq 令令 首页 上页 下页 返回 结束 1812,VV由由第第一一个个等等式式而而由由第第二二个个等等式式221112.nmnmqqVV 于于是是 12,.m 即即 可可以以被被，线线性性表表示示1122,mmlll 令令 则则221122110mmnmnmlllqq于于是是 2121,mnm 因因线线性性无无关关 得得21210,mnmlllqq 0, 因因而而从从而而有有首页 上页 下页 返回 结束 19121212()() ()()VVVVmnmnmm 于于是是 维 维维维12nn 12()()VV维维维维1111110mmnmnmkkpp111,mnm 由由于于线线

13、性性无无关关 又又得得1110mnmkkpp 1212121212,. .mnmnmVV 这这就就证证明明了了，线线性性无无关关 因因而而它它是是的的一一组组基基首页 上页 下页 返回 结束 20从维数公式可以看到从维数公式可以看到, 和的维数往往要比维数和的维数往往要比维数的和来得小的和来得小.例如，在三维几何空间中，两张通例如，在三维几何空间中，两张通过原点的不同的平面之和是整个三维空间，而其过原点的不同的平面之和是整个三维空间，而其维数之和却等于维数之和却等于 4 . 由此说明这两张平面的交是由此说明这两张平面的交是一维的直线一维的直线.首页 上页 下页 返回 结束 21 推论推论 如果

14、如果 n 维线性空间维线性空间 V 中两个子空间中两个子空间 V1, V2 的维数之和大于的维数之和大于 n , 那么那么 V1 , V2 必含有非零的公必含有非零的公共向量共向量.证证由假设由假设维维(V1 + V2 ) + 维维(V1V2 ) = 维维(V1) + 维维(V2) n.但因但因 V1 + V2 是是 V 的子空间而有的子空间而有维维(V1 + V2 ) n ,所以所以维维(V1V2 ) 0 .这就是说，这就是说， V1V2 中含有非零向量中含有非零向量.首页 上页 下页 返回 结束 2241123212123121212 ,(,),(,),(1,2, 1, 3),( 1, 1

15、,2,1),( 1, 3,0,5),( 1,0,4, 2),(0,5,9, 14) ,5 ,VP VLVLVV VV 设设其其中中求求的的维维例例数数与与基基. .解解因为因为V1 + V2 = L( 1 , 2 , 3 ) + L( 1 , 2)= L( 1 , 2 , 3 , 1 , 2) ,所以向量组所以向量组 1 , 2 , 3 , 1 , 2 的一个极大无关组就的一个极大无关组就首页 上页 下页 返回 结束 23是是 V1 + V2 的一组基的一组基.把向量组把向量组 1 , 2 , 3 , 1 , 2 中的每个向量作为矩阵的一列，构造矩阵中的每个向量作为矩阵的一列，构造矩阵 A，对，对A进行初等行变换，化成行最简形：进行初等行变换，化成行最简形：123121111021305(,)12049315214A 行变换行变换1020101103.0001400000 首页 上页 下页 返回 结束 24由由 A 的行最简形矩阵的行最简形矩阵10201011030001400000 1 , 2 , 1 线性无关，且线性无关，且 2 = 1 - - 3 2 + 4 1 . 于是于是 1 , 2 , 1 是是 V1 + V2 的一组基，维的一组基，维(V1 + V2 ) = 3；又由又由A的的行最简形知行最简形知 1, 2 是是V1 的一组基的一组基, 维维(V1)=