定积分的求法与应用

1、目 录第1章 引言1第2章 定积分的求法12.1 定积分概念12.2 定积分的求法22.2.1 运用定义求定积分22.2.2 运用几何意义求定积分22.2.3 运用牛顿莱布尼茨公式求定积分32.2.4 运用换元积分法求定积分32.2.5 运用分部积分法求定积分42.2.6 运用凑微分法求定积分52.2.7 运用数学软件Mathematic求定积分6第3章 定积分的应用63.1 定积分的数学应用63.1.1 求平面图形的面积63.1.2 由平面截面面积求体积83.1.3 求平面弧长93.1.4 在数学建模中的简单应用103.1.5 在初等数学中的应用103.2 定积分的物理应用113.2.1 变

2、力作功11 液体静压力123.3 定积分的经济应用13第4章 结论14第5章 参考文献15第6章 致谢16定积分的求法与应用作者：雷蕾 指导老师：王勇第1章 引言目前，对于定积分的求法和应用的研究是比较全面和完善的。但是，对于定积分的求法与应用的研究没有停止，了解了定积分的基本概念后，我们要学会总结归纳定积分的一般性求法以及具有特殊特征的函数的求法。同时，将定积分应用于数学问题的求解中以及物理学和经济学的实际问题中是非常必要的。理论联系实际，对于生活中出现的现象，学会用定积分求解也是一种非常重要的工具。第2章 定积分的求法2.1 定积分概念2.2 定积分的求法2.2.1 运用定义求定积分.=

3、说明：这种利用定义，“三步走”的方法，求出积分和的极限来计算定积分一般而言是比较困难的。下面会介绍几种简便的方法。2.2.2 运用几何意义求定积分例2 定积分的几何意义：；对于利用定积分的几何意义，证明.解 令，显然， 则由和直线，所围成的曲边梯形是单位圆位于轴上方的半圆.如图1所示.因为 单位圆的面积，所以 半圆的面积为.由定积分的几何意义知： .说明：对于一般图形的表达式，能够清楚地画出在坐标轴中的图像。然后求出在上下限所规定的范围内，图像表示的面积，就可得出定积分的结果。推广：对于本题中将上下限改为，则半圆的面积为，即定积分的值。这种方法是十分直接简单的。2.2.3 运用牛顿莱布尼茨公式

4、求定积分例3 定理1 .这称为牛顿莱布尼茨公式，也常写成 .利用牛顿莱布尼茨公式计算.解 由公式（1） 说明：题中函数的原函数为，. 牛顿莱布尼茨公式解题法，首先要求用不定积分求出函数2.2.4 运用换元积分法求定积分定理2 若函数，则有定积分换元公式：.例4 计算.解 令，当从变成时，从增到。于是由公式（2）及得到+- 对最末的第二个定积分作变换，有 =， 它与上面的第三个定积分相消，故得 =. 说明：事实上，例4中的被积函数的原函数虽然存在，但是难以用初等函数来表示，因此无法直接使用牛顿莱布尼茨公式。可是通过用定积分的性质和公式（2），消去了其中无法求出原函数的部分，最终得出这个定积分的值

5、。2.2.5 运用分部积分法求定积分定理3 若为.2.2.6 运用凑微分法求定积分定理4 设函数在上有定义，在上可导，则函数。若在上存在原函数，则在上也有原函数，即(4)2.2.7 运用数学软件Mathematic求定积分基本原理：（1）使用矩阵法求定积分，即定义的 （2）用牛顿莱布尼茨公式。上面已经详细叙述原理内容。定积分的应用中需要使用的Matheatic语句：Sum(总和)，NSum(总和的近似值)，Integratef,x,a,b（求定积分），NIntegratef,x,a,b（求定积分的近似值），N(表达式的近似值)例10 用数学软件求定积分.解 定义函数和式，计算和式的数值，输入以

6、下语句： tn:=NSumExpi/n/n,i,1,n求出t100 t500 t1000 t5000 t10000 t50000 t100000 t500000就可以确定定积分的近似值了。 再输入以下语句得到结果，NIntegrateExpx,x,0,1与上面的数值加以比较。 用牛顿莱布尼茨输入以下语句： bx:=IntegrateExpx,x Nb1-b0加以验证。第3章 定积分的应用3.1 定积分的数学应用3.1.1 求平面图形的面积（1）直角坐标系下面积的计算由曲线和直线所围成曲边梯形的面积.求由两条曲线，及直线所围成平面的面积（如图2所示）.下面用微元法求面积.取为积分变量，. 在区间

7、上任取一小区间，该区间上小曲边梯形的面积可以用高，底边为的小矩形的面积近似代替，从而得面积元素 . 写出积分表达式，即.（详见7） （5） 例11 求曲线与所围图形的面积.解 画出所围的图形（如图3所示）。由方程组得两条曲线的交点坐标为，取为积分变量，.将两曲线方程分别改写为得所求面积为 .说明：对于直角坐标系内的平面图形面积，一般先接触交点坐标，确定定积分的上下限。其次，用公式（5）代入，可以算出面积了。（2）极坐标系下面积的计算设曲边扇形由极坐标方程与射线所围成（如图4所示）.下面用微元法求它的面积A.以极角为积分变量，它的变化区间是，相应的小曲边扇形的面积近似等于半径为，中心角为的圆扇形

8、的面积，从而得面积微元为于是，所求曲边扇形的面积为 . （详见7） （6） 例12 计算心形线所围图形的面积（如图5）.解 此图形对称于极轴，因此所求图形的面积是极轴上方部分图形面积的两倍.对于极轴上方部分图形，取为积分变量， ，由对称性及公式（6）得：.说明：对于一般的几何图形，知道其极坐标方程的表示方法。然后，根据题目确定极角的范围，再由公式（6）代入，解定积分就可以得出结果。3.1.2 由平面截面面积求体积设旋转体是由连续曲线和直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成.取为积分变量，它的变化区间为，在上任取一小区间，相应薄片的体积近似于以为底面圆半径，为高的小圆柱体的体积，从而得到体积元

9、素为，于是，所求旋转体体积为.（详见7） （7）例13 求由椭圆绕轴及轴旋转而成的椭球体的体积.解 (1)绕轴旋转的椭球体如图6所示,它可看作上半椭圆与轴围成的平面图形绕轴旋转而成.取为积分变量,由公式所求椭球体的体积为 .(2)绕轴旋转的椭球体,可看作右半椭圆与轴围成的平面图形绕轴旋转而成（如图7所示）,取为积分变量, ,由公式所求椭球体体积为 .当时,上述结果为,这就是大家所熟悉的球体的体积公式.3.1.3 求平面弧长（1）直角坐标系下弧长的计算定理5 设平面曲线由参数方程给出。若为一条光滑曲线，则是可求长的，且弧长为.（详见1） (8)例14 线一拱的弧长。解 ，由公式（8）得 （2）极

10、坐标系下弧长的计算 定理6 若平面曲线由极坐标方程，当在上连续，且与不同时为零时，此极坐标曲线为一光滑曲线。这时弧长公式为.（详见1） （9）例15 心形线的周长。解 由公式（9）得说明：根据已知函数的表达式，如果可以用极坐标表示，选择公式（9）;若不能简便的极坐标表示出来，用直角坐标系下的公式，选择（8）。3.1.4 在数学建模中的简单应用定积分在数学建模中的应用是比较广泛的，主要是动态优化模型、统计回归模型和概率模型等。下面主要介绍一个简单的短程线问题，了解动态优化问题。短程线问题：给定任意曲面上的两个点，如图8，求连接它们的长度最短的光滑曲线。地球近似于一个椭圆体，由甲地飞往乙地的最短航

11、线是椭球表面上连接甲乙两地的最短程线。由于北极上空对民航的开放，从北京飞往北美的航线比原来需要飞越太平洋时缩短了很多，就是因为可以采用接近于短程线的航线。这个问题在数学上可以表述如下：给定曲面方程，已知曲面上两个点的坐标为，在曲面上求两点的曲线，使得该曲线的长度最短。 因为曲线的弧长为，所以曲线的长度是。短程线问题归结为在曲面上求曲线，即满足的条件下，使得达到最小。（详见8）3.1.5 在初等数学中的应用（1）证明不等式 用积分证明不等式，一般利用积分如下性质：设与都在上可积，且，则。特别地，当时，有。（详见8） 例16 证明：贝努利不等式，已知且，且时，求证 解 若或且时， 因此 即 若或且

12、时， 因此 即 综上可得：当且，且时，有说明：利用定积分的性质，能够容易的得出贝努利不等式。由上面证明推广，去掉时，结论仍然成立。所以，我们得到一般性结论：设，则若时，有；若或时，有；当且仅当时，两边等式成立。（2）求和根据微分与积分互逆运算的关系，先对和式积分，利用已知的数列求和，得到积分和，再求导即可。（详见8）例17 求和， 解 设， 对和式积分，对和式求导， ，（3）因式分解 化简代数式，把原式中某字母看成自变量，其余字母看作常量。令原式为，先对其求导，再积分，确定积分常数，可以达到分解因式的目的。（详见8）例 18 化简解 设原式为=，把看作变量，、看作常量； 对求导，得 对积分，得

13、 确定常数 于是有， 3.2 定积分的物理应用3.2.1 变力作功由物理学知道,物体在常力的作用下,沿力的方向作直线运动,当物体发生了位移时,力对物体所作的功是.但在实际问题中,物体在发生位移的过程中所受到的力常常是变化的,这就需要考虑变力作功的问题.由于所求的功是一个整体量,且对于区间具有可加性,所以可以用微元法来求这个量.设物体在变力的作用下,沿轴由点移动到点,如图9所示,且变力方向与轴方向一致.取为积分变量,a x x+dx b xF(x)图9.在区间上任取一小区间,该区间上各点处的力可以用点处的力近似代替.因此功的微元为，因此,从到这一段位移上变力所作的功为.（详见6） （10）例19

14、 弹簧在拉伸过程中,所需要的力与弹簧的伸长量成正比,即(为比例系 数).已知弹簧拉长时,需力,要使弹簧伸长,计算外力所做的功.解 由题设,时,.代入,得.从而变力为,由上述公式（10）所求的功为.3.2.2液体静压力由物理学知道,在液面下深度为处的压强为,其中是液体的密度,是重力加速度.如果有一面积为的薄板水平地置于深度为处,那么薄板一侧所受的液体压力.设薄板形状是曲边梯形,为了计算方便,建立如图10所示的坐标系,曲边方程为.取液体深度为积分变量,在上取一小区间,该区间上小曲边平板所受的压力可近似地看作长为,宽为的小矩形水平地放在距液体表面深度为的位置上时,一侧所受的压力.因此所求的压力微元为

15、:.于是，整个平板一侧所受压力为. （详见6） （ 11） 例20 修建一道梯形闸门，它的两条底边各长6m和4m，高为6m,较长的底边与水面平齐，要计算闸门一侧所受水的压力.解 根据题设条件.建立如图11所示的坐标系，的方程为.取为积分变量,在上任一小区间的压力微元为，从而所求的压力为 .说明：定积分在物理学中有着广泛的应用，不仅了解上面介绍的这两种，此外还要在其他方面也会灵活应用。比如引力、平均功率等方面。（详见7） 3.3 定积分的经济应用定理7 已知边际成本，求总成本.有，其中是固定成本，一般不为零.定理8 已知边际收益，求总成本.有.其中被称为自然条件，意指当销售量为0时，自然收益为0.例21 已知某产品边际成本函数且固定成本为1000元，求总成本函数C(Q).解 .说明：定积分在经济学上的应用，也是十分广泛的，这里简单介绍了关于成本问题的解法。在总收益和平均收益等方面，定积分计