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文档简介

1、导数的几何意义广大附中 施永红一作业讨论并由学生陈述:问题:1导数的本质是什么? 2在高台跳水运动中,秒时运动员相对于水面的高度是(单位:),求运动员在时的瞬时速度,并解释此时的运动状态。 3圆面积是半径的函数,求圆在时的面积瞬时变化率,并解释此时圆面积的瞬时变化规律。 4球体积是半径的函数,问:球在时的体积瞬时变化率,并解释此时球体积的瞬时变化规律。参考答案:1导数的本质是函数在处的瞬时变化率,即: ,所以。运动员在时的瞬时速度为。这说明运动员在附近,正以大约的速率下落。 3 ,所以。这说明圆在的附近,面积正以大约的瞬时变化率增大。(思考,动画) =,所以。这说明球在的附近,体积正以大约的瞬

2、时变化率增大。(思考,动画) 二(一)引入:函数的思想中,数形结合是一种重要而且直观的数学思想方法。我们已经学习了导数的本质及其物理意义或者实际意义,我们不禁要问:导数的几何意义是什么?例如:上述的三个问题中,,的几何意义分别是什么?我们利用数形结合,画出函数的图像,看看通过函数的图像研究,能有什么新的体会。(二)转化:为了使研究更具有操作性,我们抛开问题的实际背景,从研究更简单的函数入手,这也是数学研究的常用方法。(三)问题与探索:求函数在处的导数,说说它的本质,并用数形结合的方法,探索的几何意义。所以的本质是函数在处的瞬时变化率是,即函数在的附近正以大约的瞬时变化率增大。画出函数的图像,从

3、图像上的哪几个点开始研究?APQB1MNB联想:定义从点.点入手。那么点,点的几何意义是什么?请在图形中体现体现出来。的几何意义是什么?请在图形中体现体现出来。填表,讨论,发言,展示。静态动态静态有关量几何意义A坐标的几何表示B坐标的几何表示点横坐标的差(自变量的增量)纵坐标的差割线的斜率割线(极限位置)即:切线动态切线的斜率切线的斜率(四)动画演示,阅读课本,小结:1 平均变化率在趋向于某一时刻的变化过程中,自变量的增量越来越小,能越过任意小的间隔,但始终不能为0,不然,我们就得不到平均变化率的值;平均变化率在图形中的几何意义是割线AB的斜率。当趋近于0时,平均变化率无限趋近于的常数就是,从

4、图形上看,当趋近于0时,点B沿曲线趋近于点A,割线绕点A转动,它的极限位置为直线AD,这条直线叫做此曲线在点A处的切线。于是当时,割线AB的斜率趋近于过点A的切线的斜率,即:切线的斜率还可以利用点斜式求出切线AD的方程:,即:。(展示学生作品)(五)训练:分别在函数,和的图像上,用图形来体现导数,的几何意义,并用数学语言表述出来。(展示学生作品)12 3 三学生继续动手: (一)在函数的图像中,请描述,比较曲线在附近增(减)以及增(减)快慢的情况。在附近呢?(二)请估计曲线在的瞬时变化率,把数据用表格的形式列出。函数的瞬时变化率反思,发现。1 导函数。 (探索作业求,)2 单调性:在某个区间上

5、,当单调递增;当单调递减。3 求出,验证你的结论。验证:(1)数据;(2)单调性。思考:1如图表示人体血管中的药物浓度(单位:)随时间(单位:)变化的函数图像,根据图像,估计时,血管中药物浓度的瞬时变化率,把数据用表格的形式列出。有什么发现?0.20.40.60.8药物浓度的瞬时变化率2下图是利用信息技术画出的函数的图像,请根据图像,估计时,气球的瞬时膨胀率。有什么发现?四小结:1知识结构: 基本初等函数导数公式 平均速度 瞬时速度(物理意义) 及导数运算法则平均变化率 瞬时变化率(导数本质) 导数 平均变化率 瞬时变化率(导数本质) 导数与函数单调性的关系 导数与极(最)值的关系2数学思想:运动变化的观点(以静态刻划动态),数形结合(函数思想)以直代曲(以近似求精确)(微积分思想方法)作业:习题3.1A5,6.B2,3.书上。探索作业1、求,2。用导数定义及单调性定义解释:在某个区间上,当单调递增;当单调递减。(参考:一般地

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