届高三数学一轮复习必备平面向量的数量积及应用

1、20092010学年度高三数学（人教版A版）第一轮复习资料第26讲 平面向量的数量积及应用一【课标要求】1平面向量的数量积通过物理中"功"等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；体会平面向量的数量积与向量投影的关系；掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。2向量的应用经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。二【命题走向】本讲以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察

2、平面向量的数量积的概念及应用。重点体会向量为代数几何的结合体，此类题难度不大，分值59分。平面向量的综合问题是“新热点”题型，其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系，解决角度、垂直、共线等问题，以解答题为主预测2010年高考：（1）一道选择题和填空题，重点考察平行、垂直关系的判定或夹角、长度问题；属于中档题目（2）一道解答题，可能以三角、数列、解析几何为载体，考察向量的运算和性质；三【要点精讲】1向量的数量积（1）两个非零向量的夹角已知非零向量a与a，作，则AA（）叫与的夹角；说明：（1）当时，与同向；（2）当时，与反向；（3）当时，与垂直，记；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起

3、点的，范围0°q180°。C（2）数量积的概念已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·=·cos叫做与的数量积（或内积）。规定；向量的投影：cos=R，称为向量在方向上的投影。投影的绝对值称为射影；（3）数量积的几何意义： ·等于的长度与在方向上的投影的乘积（4）向量数量积的性质向量的模与平方的关系：。乘法公式成立；平面向量数量积的运算律交换律成立：；对实数的结合律成立：；分配律成立：。向量的夹角：cos=。当且仅当两个非零向量与同方向时，=00，当且仅当与反方向时=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题（5）两个向量的数量积的坐标

4、运算已知两个向量，则·=。（6）垂直：如果与的夹角为900则称与垂直，记作。两个非零向量垂直的充要条件：·O，平面向量数量积的性质。（7）平面内两点间的距离公式设，则或。如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式) 2向量的应用（1）向量在几何中的应用；（2）向量在物理中的应用。四【典例解析】题型1：数量积的概念例1判断下列各命题正确与否：（1）；（2）；（3）若，则；（4）若，则当且仅当时成立；（5）对任意向量都成立；（6）对任意向量，有。解析：（1）错；（2）对；（3）错；（4）错；（5）错；（6）对。点评：通过该题我们清楚了向量的数

5、乘与数量积之间的区别于联系，重点清楚为零向量，而为零例2 已知中，过重心的直线交边于，交边于，设的面积为，的面积为，则（） （）的取值范围是 .【解析】设，因为是的重心，故，又，因为与共线，所以，即，又与不共线，所以及，消去，得.（），故；（），那么，当与重合时，当位于中点时，故，故但因为与不能重合，故（2）设、是任意的非零平面向量,且相互不共线,则（·）（·）= |<| （·）（·）不与垂直（3+2）（32）=9|24|2中，是真命题的有（ ）A. B. C. D.解析：（1）答案：D；因为，而；而方向与方向不一定同向（2）答案：D平面向量的数量

6、积不满足结合律。故假；由向量的减法运算可知|、|、|恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故真；因为（·）（·）·=（·）·（·）·=0，所以垂直.故假；（3+2）（32）=9··4·=9|24|2成立。故真。点评：本题考查平面向量的数量积及运算律，向量的数量积运算不满足结合律。题型2：向量的夹角例3（1）过ABC的重心任作一直线分别交AB，AC于点D、E若，则的值为（ ）（A）4 （B）3 （C）2 （D）1解析：取ABC为正三角形易得3选B评析：本题考查向量的有关知识，如果按常

7、规方法就比较难处理，但是用特殊值的思想就比较容易处理，考查学生灵活处理问题的能力（2）已知向量=(cos,sin),=(cos,sin),且，那么与的夹角的大小是 。（3）已知两单位向量与的夹角为，若，试求与的夹角。（4）| |=1，| |=2，= + ，且，则向量与的夹角为（ ）A30°B60°C120°D150°解析：（2）；（3）由题意，且与的夹角为，所以，同理可得。而，设为与的夹角，则。（4）C；设所求两向量的夹角为即：所以点评：解决向量的夹角问题时要借助于公式，要掌握向量坐标形式的运算。向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。对于这个公式的变

8、形应用应该做到熟练，另外向量垂直（平行）的充要条件必需掌握例4（1）设平面向量、的和。如果向量、，满足，且顺时针旋转后与同向，其中，则（ ）A+= B-+=C+-= D+=（2）（2009广东卷理）已知向量与互相垂直，其中（1）求和的值；（2）若，求的值 解 （1）与互相垂直，则，即，代入得，又，.（2），则，2、（山东临沂2009年模拟）如图，已知ABC中，|AC|=1,ABC=,BAC=,记。（1） 求关于的表达式;（2） 求的值域。解：（1）由正弦定理，得 （2）由，得 ，即的值域为.3. 已知,。 （1）求； （2）设BAC，且已知cos(+x) ，求sinx解：（1）由已知 CDAB

9、，在RtBCD中BC2=BD2+CD2, 又CD2=AC2AD2, 所以BC2=BD2+AC2AD2=49，4分所以6分（2）在ABC中， 8分 而 如果，则 10分 点评：对于平面向量的数量积要学会技巧性应用，解决好实际问题题型3：向量的模例5（1）已知向量与的夹角为，则等于（ ） A5B4C3D1（2）（2009辽宁卷文）平面向量a与b的夹角为，a(2,0), | b |1，则 | a2b |等于（ ）A. B.2 C.4 D.12解析 由已知|a|2,|a2b|2a24a·b4b244×2×1×cos60°412解析：（1）B；（2）B点

10、评：掌握向量数量积的逆运算，以及。例6已知（3，4），（4，3），求x,y的值使(x+y)，且x+y=1。解析：由（3，4），（4，3），有x+y=(3x+4y,4x+3y)；又（x+y）(x+y)·3(3x+4y)+4(4x+3y)=0；即25x+24y ；又x+y=1x+y；（x+4y）（x+3y）；整理得25x48xy+25y即x(25x+24y)+24xy+25y ；由有24xy+25y ；将变形代入可得：y=±；再代回得：。点评：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想。题型4：向量垂直、平行的判定例7已知向量，且，则 。解析：，。例8已知，按下列条件求实数的值。

11、（1）；（2）；。解析：（1）；（2）；。点评：此例展示了向量在坐标形式下的平行、垂直、模的基本运算题型5：平面向量在代数中的应用例9已知。 分析：，可以看作向量的模的平方，而则是、的数量积，从而运用数量积的性质证出该不等式。 证明：设 则。点评：在向量这部分内容的学习过程中，我们接触了不少含不等式结构的式子，如等。例10已知，其中。 （1）求证：与互相垂直； （2）若与（）的长度相等，求。 解析：（1）因为 所以与互相垂直。 （2）， ， 所以， ， 因为， 所以， 有， 因为，故， 又因为，所以。点评：平面向量与三角函数在“角”之间存在着密切的联系。如果在平面向量与三角函数的交汇处设计考题

12、，其形式多样，解法灵活，极富思维性和挑战性。若根据所给的三角式的结构及向量间的相互关系进行处理。可使解题过程得到简化，从而提高解题的速度。题型6：平面向量在几何图形中的应用例12用向量法证明：直径所对的圆周角是直角。已知：如图，AB是O的直径，点P是O上任一点（不与A、B重合），求证：APB90°。证明：联结OP，设向量，则且，即APB90°。点评：平面向量是一个解决数学问题的很好工具，它具有良好的运算和清晰的几何意义。在数学的各个分支和相关学科中有着广泛的应用。题型7：平面向量在物理中的应用例13如图所示，正六边形PABCDE的边长为b，有五个力、作用于同一点P，求五个力

13、的合力解析：所求五个力的合力为，如图3所示，以PA、PE为边作平行四边形PAOE，则，由正六边形的性质可知，且O点在PC上，以PB、PD为边作平行四边形PBFD，则，由正六边形的性质可知，且F点在PC的延长线上。由正六边形的性质还可求得故由向量的加法可知所求五个力的合力的大小为，方向与的方向相同。课后训练：2009北京卷理）已知向量a、b不共线，cabR),dab,如果cd，那么 ( ) A且c与d同向 B且c与d反向 C且c与d同向 D且c与d反向答案 D解析 本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考查. 取a，b，若，则cab，dab， 显然，a与b不平行

14、，排除A、B. 若，则cab，dab，即cd且c与d反向，排除C，故选D.2、江苏省阜中2008届高三第三次调研考试试题已知O为坐标原点, 集合,且 .463、(2009山东卷理)设P是ABC所在平面内的一点，则（）A. B. C. D.答案 B解析 :因为，所以点P为线段AC的中点，所以应该选B。【命题立意】:本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则，可以借助图形解答.4、（2009宁夏海南卷理）已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的( )A.重心 外心 垂心 B.重心 外心 内心 C.外心 重心 垂心 D.外心 重心 内心答案 C（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三

15、角型的垂心）解析5. 江苏省省阜中2008届高三第三次调研考试数学(文科)试题 若向量a=，b=，且a，b的夹角为钝角，则x的取值范围是 . 6. （2009浙江卷文）已知向量，若向量满足，则 （ ）A B C D 答案 D解析 不妨设，则，对于，则有；又，则有，则有【命题意图】此题主要考查了平面向量的坐标运算，通过平面向量的平行和垂直关系的考查，很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用7. 对于个向量，若存在个不全为零的实数使得成立，则称向量是线性相关的.按此规定，能使向量是线性相关的实数的值依次为 .（只需写出一组值即可）根据线性相关的定义得，令则，的一组值为4，2，18. 已

16、知向量i=(1,0),j=(0,1),A,B,若，则OCD的面积为：A。 B。 C。 D。1+29. 设向量与的夹角为，则.解：设向量与的夹角为且，则=.10. 已知向量的夹角的大小为 . 解析：11. 已知ABC的三个顶点A、B、C及所在平面内一点P满足，则点BCP与ABP的面积分别为s1,s2,则s1:s2=_12. 设定义域为x1，x2的函数yf（x）的图象为C，图象的两个端点分别为A、B，点O为坐标原点，点M是C上任意一点，向量（x1，y1），（x2，y2），（x，y），满足xx1（1）x2（01），又有向量（1），现定义“函数yf（x）在x1，x2上可在标准k下线性近似”是指|k恒成

17、立，其中k0，k为常数。根据上面的表述，给出下列结论：A、B、N三点共线；直线MN的方向向量可以为（0，1）；“函数y5x2在0，1上可在标准下线性近似”“函数y5x2在0，1上可在标准1下线性近似”； 其中所有正确结论的序号为_、13. P为ABC所在平面上的点，且满足=+，则ABP与ABC的面积之比是_12 14. 设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C是抛物线上不同三点，若=0，则= .设A、B、C的横坐标分别为x1,x2,x3则x1+x2+x3=3，又=1+x1+1+x2+1+x3=615. 若向量的夹角为16. 如图，在ABC中，AB=2，BC=3，ABC=60°，AHB

18、C，垂足为H，M为AH的中点，若的值等于 。17. 在中，若， 则 18. 若正方形边长为1，点在线段上运动，则的取值范围是 -2，19. 已知是两个互相垂直的单位向量, 且,则对任意的正实数,的最小值是 .20. 在中，为的中点，为的中点，交于点 ，若（），则 1五【思维总结】1两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定；（2）两个向量的数量积称为内积，写成·；今后要学到两个向量的外积×，而×是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用

19、“×”代替；（3）在实数中，若a¹0，且a×b=0，则b=0；但是在数量积中，若¹0，且×=0，不能推出=。因为其中cosq有可能为0；（4）已知实数a、b、c(b¹0)，则ab=bc Þ a=c。但是×= ×；如右图：×= |cosb = |OA|，×c = |c|cosa = |OA|Þ× =×，但 ¹； (5)在实数中，有(×) = (×)，但是(×)¹ (×)，显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与c不共线。2平面向量数量积的运算律特别注意：（1）结合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到；（3）=0不能得到=或=。3向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能