基础科学38系统误差分析与计算

1、第三章系统的时间响应分析3.8系统的误差分析与计算对于任何一个稳定的控制系统，输出响应含有瞬态分量和稳态分量。系统的稳态分量反映系统跟踪控制信号的准确度或抑制扰动信号的能力，用稳态误差来描述。在系统的分析、设计中，稳态误差是一项重要的性能指标，它与系统本身的结构、参数及外作用的形成有关，也与元件的不灵敏、零点漂移、老化及各种传动机械的间隙、摩擦等因素有关。本节只讨论由于系统结构、参数及外作用等因素所引起的稳态误差的计算方法。本节内容分五点进行讲解：一、系统的误差e(t)及偏差二、系统的稳态误差与稳态偏差三、与输入有关的稳态偏差四、系统结构对稳态偏差的影响五、与干扰有关的稳态偏差一、系统的误差e

2、(t)及偏差1、定义系统的误差e(t) （输出端定义）：设是控制系统的希望输出，是其实际输出，则误差定义为：Laplace变换记为，为避免与系统的偏差混淆，用下标1区别。系统的误差是从系统输出端来定义的，它在性能指标提法中经常使用，但在实际系统中有时无法测量，因而，一般只有数学意义。系统的偏差（输入端定义）：为输入信号与反馈信号的差值 ，它在系统中是可以测量的，因而具有实用性。系统偏差的Laplace变换记为，2、误差与偏差的关系输出为希望值时，即，输出偏离希望值时（一般情况）推出显然，控制系统的误差和偏差的定义是既有区别，又有联系。求出偏差后就可求出误差。系统的偏差与系统的误差在一般的情况下

3、不相等。只有当系统是单位反馈系统时，系统的偏差与误差才会相等。二、系统的稳态误差与稳态偏差稳态误差作为系统的稳态指标是衡量系统控制精度的。应当强调的是, 只有对稳定的系统，我们才可以分析它的稳态误差。系统过渡过程结束后，系统实际输出量与系统希望的输出量之间的偏差称为稳态误差。它是系统稳态性能的测度，反映了系统响应的准确性。根据终值定理，系统的稳态误差为：满足终值定理的条件是：的极点均位于s左半平面（包括坐标原点）。同理，系统的稳态偏差为：例：设单位反馈系统的开环传递函数为，输入信号分别为以及，试求控制系统的稳态误差。解：1、当时，其由偏差的定义有因为系统为单位负反馈系统，所以（a）反变换法取L

4、aplace反变换，得误差响应稳态误差为：（b）终值定理法满足终值定理的条件，所以稳态误差为：2、当时，其，由于因为系统为单位负反馈系统，所以（a）反变换法取Laplace反变换，得误差响应显然稳态误差由于正弦函数得拉氏变换在虚轴上不解析，所以此时不能应用终值定理法来计算系统在正弦函数作用下的稳态误差，否则得出的错误结论。应当指出，对于高阶系统，误差信号的极点不易求得，故用反变换法求稳态误差的方法并不实用。在实际使用过程中，只要验证满足要求的解析条件，就使用终值定理法来求解系统的稳态误差。三、与输入和系统结构有关的稳态偏差的计算系统输入偏差与两个因素有关；1.系统结构（反映在，G(S)H(S)

5、开环传函)2.输入信号Xi(S)因此，对于稳定的控制系统，稳态性能一般根据阶跃、斜坡或抛物线输入所引起的稳态偏差来判别。本节研究的就是不能跟踪典型输入而引起的稳态偏差。1、阶跃输入下的稳态偏差及位置无偏系数2、斜坡输入下的稳态偏差及速度无偏系数3、抛物线输入时的稳态偏差和加速度无偏系数注意：稳态偏差系数只对相应的阶跃、斜坡及抛物线输入有意义。四、系统结构（开环传函）对稳态偏差的影响）系统的类型系统的开环传递函数可写成下面的形式：定义:开环传函所包含的积分环节的个数 为系统的型号数。 当时，“0”型系统当时，“I”型系统当时，“II”型系统越高，稳态精度越高，但稳定性能越差，因此，一般系统不超过

6、III型。可以看出，与系统稳态偏差有关的因素为：系统的型别v、开环增益K，系统的输入R（S）。1、0型系统0相应阶跃、斜坡、抛物线输入的稳态偏差X(t)无偏系数稳态偏差1(t)Kp=K1/(1+k)tKv=01/ Kv=(1/2)t2Ka=01/ Ka =0型系统没有积分环节存在，对阶跃输入的稳态偏差为一定值，与开环增益有关，K越大，稳态偏差越小，对阶跃信号系统是有差系统。0型系统不能跟随斜坡输入和抛物线输入。2、型系统1相应阶跃、斜坡、抛物线输入的稳态偏差X(t)无偏系数稳态偏差u(t)Kp= 1/(1+ Kp)0tKv=K1/ Kv1/K(1/2)t2Ka=01/ Ka 型系统对阶跃输入是

7、无差系统；I型系统能跟随斜波输入，但是存在稳态偏差，斜坡输入的稳态偏差与开环增益成反比，可以增加K值来减少偏差；I型系统不能跟随抛物线输入。3、型系统2相应阶跃、斜坡、抛物线输入的稳态偏差X(t)无偏系数稳态偏差u(t)Kp= 1/(1+ Kp)0tKv= 1/ Kv0(1/2)t2Ka= K1/ Ka 1/K型系统对阶跃信号和斜坡信号为无差系统；II型系统能跟随抛物线输入，但是存在稳态偏差，稳态偏差是有限值，与开环增益成反比，要无差则应采用III型或高于III型的系统，但是，此时要使系统稳定则比较困难。小结1）系统型别、输入形式和系统稳态偏差及静态无偏系数关系如下 单位阶跃输入单位

8、斜坡输入单位抛物线输入KpssKpssKpss0k1/(1+k)000k1/k000k1/k同一系统在不同的输入作用下，其稳态偏差是不同的。更有意义的是，针对同一种输入，当系统的型别增加时，系统的准确性将得到提高；增加系统的开环增益，往往也可以提高系统的稳态精度。但是，系统型别和开环增益的增加，却使得系统的稳定性变差。因此，通常需要在系统的稳定性和准确性之间进行权衡，必要时，需要引入校正环节进行校正。 2）由上表看出，当输入信号确定后，减小系统稳态偏差的措施是：（A）提高系统型别，增加开环传函中串联积分环节数；(型别越高，稳态精度越高，但稳定性能越差，因此，一般系统不超过III型)。（B）增大

9、开环增益。由系统稳定性可知，采取上述措施，稳定性下降，因此调整参数和校正系统必须兼顾上述两方面性能指标。3）若给定的输入信号不是单位信号时，则将系统对单位信号的稳态偏差成比例的增大，就可以得到相应的稳态偏差。若给定输入信号是上述典型信号的线性组合，则系统相应的稳态偏差就由叠加原理求出。例如，若输入信号为则系统的总稳态偏差为注意：偏差系数法适用于三种典型信号及其组合。如果输入量非单位量时，其稳态偏差（误差）按比例增加。4）对于单位负反馈系统，稳态误差等于稳态偏差。对于非单位负反馈系统，有：5）稳态偏差系数 、和 描述了系统对减小和消除稳态偏差的能力，因此，它们是系统稳态特性的一种表示方法。例：系

10、统结构如图3-9所示，求当输入信号r(t)=2t+t2时，系统的稳态偏差ess。首先判别系统的稳定性。由开环传递函数知，闭环特征方程为第一步：根据劳斯判据知闭环系统稳定。第二步，求稳态误差ess，因为系统为型系统，根据线性系统的齐次性和叠加性，有，故系统的稳态误差例：阀控油缸伺服工作台要求定位精度为0.05cm，该工作台最大移动速度vmax =10cm/s。若系统为I型，试求系统开环增益。解：输入为10t时的稳态误差为0.05cm，则输入为t时，其稳态误差为系统的开环增益五、与干扰有关的稳态偏差注意：对扰动下的稳态偏差不能使用偏差系数法，只能使用终值定理或动态系数法。作用在被控对象上的扰动是使

11、输出变化的主要扰动输入，称为主扰动。E(s)令xi(t)=0，考虑单位反馈系统H(s)=1并考虑阶跃干扰的形式，可见，增加放大系数K1、K2对稳态偏差是相反的，增加K1则偏差减小，而增加K2，则偏差更大。但是当K1比较大时，K2对稳态偏差的影响不是太显著，这是可以写成下列近似的式子：结论：1、系统对扰动作用的稳态偏差决定于扰动作用的形式、干扰作用点之前的传递函数的结构及参数有关。【G1(s)中积分环节数和放大系数K1】与G2(s)、H(s)中积分环节数无关。对扰动作用来讲，减小或消除偏差的措施：增大扰动作用点之前的前向通路增益、增大扰动作用点之前的前向通路积分环节数。对于阶跃扰动，偏差为零的条件是扰动作用点之前的前向回路至少含有一个积分环节；对于斜坡扰动，偏差为零的条件是扰动作用点之前的前向回路至少含有两个积分环节；2、扰动引起的输出就是扰动引起的误差。例：已知单位反馈控制系统的开环传递函数为选择参数 K、T以同时满足下列两组指标：1）当r(t)=t，系统稳态误差ess2%2）当r(t)=1(t)，系统的动态性能