求不定方程整数解的方法浅析

1、求不定方程整数解的方法浅析摘要：第1章 ：引言 所谓不定方程，是指未知数的个数多于独立方程式的个数的方程或方程组.因此，要求一个不定方程的全部的解抑或是其全部整数解都是相当困难的，有时甚至是不可能的或不现实的.然而，在现实生活中，特别是一些具体的生活实例中，它的应用又是非常的广泛的；另外，不定方程的重要性在数学竞赛中也得到了充分体现，每年世界各地的数学竞赛中，不定方程问题都占有一席之地；它也是培养和考查学生数学思维的好材料，数学竞赛中的不定方程问题，不仅要求选手对初等数论的一般理论、方法要有一定的了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性的解决相关问题.数千年来，不定方程问题一直是一些数学家

2、甚至草根阶级的数学爱好者研究的热点问题，仿佛它是一块资源丰富的土地，每个人都能有希望在这占有自己的一席之地.也正是由于它具有这样一个特点，不定方程的类型，以及解各类不定方程的各种方法层出不穷，求解各类不定方程也几乎毫无固定章法可循，而本文，只针对于不定方程整数解问题做一个初步的探索，归纳提炼出一些解这类题的常规方法和技巧，对解不定方程具有一定的指导意义；并且着重针对中学数学竞赛中的不定方程整数解问题进行分析，研究其方法，思想，具有一定的教学意义；另外，还根据自己的积累，总结，发掘出一些新的方法，技巧，具有创新和学习的意义.第二章：解决某些不规则类不定方程的常规思想方法1、 不等式分析法 其一般

3、操作步骤： 想办法通过构造不等式求出其中某个（某些）变量的范围； 根据该变量的范围求出该变量的整数解； 分情况讨论该变量分别取某个整数解时其他变量的取值. 常见的构造不等式的技巧： 注意题中的隐含条件，常见的如： 1）若给出的是对称形式的不定方程，解题是可增加一个 “不妨设”的条件. 2）若题目要求是正整数解，则有“” 若要求是相异的正整数，则有“” 利用基本不等式求变元范围，常见的如“” 分离变量：可将某个变量分离出来，并通过该变量的范围求 其他变量的范围. 可利用二次方程有整数解的条件，即“”，或更强点的 “ 为完全平方数”.常规应用： 一般在某些对称式中能用到此方法进行放缩估值； 在具体

4、的限制某个（或某些）变量的范围时，可分离变量利 用此方法对其他变量进行估值； 对于方程“（其中u,v,w是常数或者是含其他变 量的式子）”可利用关于x的方程有整数根的条件，即“”， 或更强点的“ 为完全平方数”对其他变量进行估值； 具体能通过变形转化为关于某些整体的表达式，再利用常规 不等式进行估值，比如”转化为关于x+y与xy的表达式， 用等“ 例1：求不定方程的正整数解. 解： 方法1： 由于此不定方程是对称的，这里不妨设， 则 1）当x=1时， 经检验：不满足方程；2） 当x=2时， 经检验：满足方程， 满足方程；3） 当x=3时， 经检验：不满足方程， 不满足方程， 不满足方程；综上所

5、述：取消不妨设，由对称性知： 不定方程的正整数解为 方法2： 已知方程化为 令 ， 则 即 利用不等式： 则： 1） 当t=2时， 此方程无正整数解；2） 当t=3时， ， 3） 当t=4时， .综上所述：不定方程的正整数解为例2：求不定方程的整数解. 解：方法1： 已知方程可化为:, 则 此方程可看成关于x的一元二次方程有整数解的情况 =4（1-5y) 则必是一个完全平方数，这里不妨设： 由求根公式： 故方程要有整数根，当且仅当 经检验：符合题意 当时， 当时，综上所述：原方程的整数解为 方法2： 已知方程化为： 分离y: 事实上当y=0时，x= ,不合题意，则有： ，即 (*) i）若 则

6、有： 无解 ii）若 由x为整数则有, 则(*)式化为： 当时，y=-3; 当时，y=-7; 当时， 不合题意舍去; 当时， 不合题意舍去; 综上所述：原方程的整数解为2、同余分析法其一般操作步骤： 方程两边同时取特殊数的模，消去部分未知数，将等式化为 同余式； 由同余式来估计剩下未知数的取值范围（或特征），从而达 到解不定方程的目的. 注意：实现这一过程的关键在于取什么数作为模，这需要较强 的观察力！常规的取模原则： 能消去某些未知数时，取它的系数（或底数）作模； 由费马小定理有“” 频率较高者有模3，模4，模8.常规应用： 事实上，同余理论在证明一个不定方程无整数解时有广泛 而方便的应用；

7、 一般对于某些指数不定方程，或某些系数较大的方程应用 同余理论能起到一个很好的简化作用； 具体的：它能解决“Ax+By=C"型整数解问题.例1：求不定方程7x+19y=213的正整数解. 解：方程两边同时得： 两边同时乘以3： 代入原方程得： （其中k为整数） 令x>0,y>0, 得 ， k=0 ,1. 方程的正整数解为 例2：证明： 无整数解. 证明： （*） 设是方程的整数解， 1）若，则， 2）若，则，故， 从而， 与（*）式矛盾 该方程无整数解.例3：求不定方程的全部正整数解. 解：i）若，则方程两边模4得： ，矛盾； ii）若，则方程两边模3，得： ， y为奇数

8、 若x>1,方程两边模8得： 即 ，又 ，这与y为奇数矛盾 ，从而 综上所述:原方程有唯一的整数解.3、 约数倍数分析法： 此方法经常结合整除理论，是解决不定方程整数解十分有效的 方法，在数学竞赛中也是出现频率高，实用性强的一类方法. 常规的次方法分为两类： 因式分解法： 1）将含未知数的代数式置于方程一边作因式分解； 2）将方程另一边化为常数，并对其做质因数分解； 3）考虑各因数的取值，分解成若干方程（组）来求解. 分离未知量法： 1）将方程的某个（或某些）未知量分离出来，目的是 将其他未知量转化到某个常数的分母位置； 2）将处于分子位置的常数作质因数分解； 3）考虑分母的取值，分解成若干方程（组）来求解部 分未知量. 常规应用： 多半是解决某些能进行因式分解（或部分因式分解）的整 数不定方程问题，并且，有时要求学生因式分解功底十分 扎实； 具体的：它能解决“ ”型不定方 程.例1：一队旅客乘坐汽车，要求每辆汽车的旅客人数相等，起初每辆汽车乘了22人，结果剩下1人未上车；如果有一辆汽车空着开走，那么所有旅客正好能平均分乘到其他各车上，已知每辆汽车最多只能容纳32人，求起初有多少俩汽车？有多少个旅客？解：