北大附中高三数学一轮复习单元综合测试数列

1、北大附中2013届高三数学一轮复习单元综合测试：数列一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，1等比数列an的前n项和为Sn，若S1，S3，S2成等差数列，则an的公比q等于()A1BC D2【答案】C2若是等差数列的前n项和，且，则的值为 ( ）A44B22CD88【答案】A3已知等比数列中，且有，则( )A1B2CD【答案】A4 已知为等差数列，其公差为-2，且的等比中项，的前n项和，则S10的值为( ）A-110B-90C90D110【答案】D5等差数列an满足a2a9a6，则S9()A2B0C1D2【答案】B6在等差数列中，则此数列前13项的和（ ）A13B26C52D15

2、6【答案】B7已知等比数列an中，a12，且a4a64a，则a3()A B1C2D【答案】B8已知数列为等差数列，若且它们的前n项和有最大值，则使得的n的最大值为（ ）A 11B 19C 20D 21【答案】B【解析】由 可得 ，由它们的前n项和Sn有最大可得a100，a11+a100，a110从而有a1+a19=2a100a1+a20=a11+a100，从而可求满足条件的n的值由 可得由它们的前n项和Sn有最大可得数列的d0a100，a11+a100，a110a1+a19=2a100，a1+a20=a11+a100使得Sn0的n的最大值n=19故选B9在正项等比数列an中，a1和a19为方程

3、x210x160的两根，则a8·a10·a12等于()A16B32C64D256【答案】C10在等比数列an中，已知an>0，那么“a2>a4”是“a6>a8”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】C11an为等差数列，若<1，且它的前n项和Sn有最大值，那么Sn取得最小正值时，n的值为()A11B17C19D21【答案】C12一直角三角形三边长成等比数列，则（ ）A三边长之比为3：4：5B三边长之比为3：1C较大锐角的正弦为D较小锐角的正弦为【答案】D二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确

4、答案填在题中横线上)13已知数列为等比数列，且.,则=_.【答案】1614定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和已知数列an是等和数列，且a12，公和为5，那么a18的值为_，且这个数列的前21项的和S21的值为_【答案】3，5215等差数列an的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，给出下列四个命题：数列()an为等比数列；若a2a122，则S133；Snnand；若d>0，则Sn一定有最大值其中真命题的序号是_(写出所有真命题的序号)【答案】16已知an是等差数列，Sn为其前n项和，nN*，若a31

5、6，S2020，则S10的值为_【答案】110三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17 已知数列an的前n项和Snn2，求的值【答案】当n2时，an=Sn-Sn-1=2n-1，当n=1时，a1=S1=1=2´1-1，故an=2n-1(nN*)，an-an-1=2.原式=+=(-)+(-)+(-)=(-)=(-1)18在数列中，若函数在点处切线过点（）(1）求证：数列为等比数列；(2）求数列的通项公式和前n项和公式.【答案】（1）因为，所以切线的斜率为，切点（1，2）， 切线方程为 又因为过点（），所以， 即 所以， 即数列为一等比数列，公比

6、.(2）由（1）得为一公比为的等比数列， 则 ， 19设数列满足(1）求数列的通项公式；(2）设记证明：Sn1.【答案】（1）由题意，当时，两式相减，得所以，当时，当n1时，也满足上式，所求通项公式(2） 1.20已知等差数列an中，公差d>0，其前n项和为Sn，且满足：a2a345，a1a414.(1)求数列an的通项公式；(2)通过公式bn构造一个新的数列bn若bn也是等差数列，并求非零常数c；(3)求f(n)(nN*)的最大值【答案】(1)数列an是等差数列a2a3a1a414.又a2a345，或公差d>0，a25，a39.da3a24，a1a2d1.ana1(n1)d4n3

7、.(2)Snna1n(n1)dn2n(n1)2n2n，bn数列bn是等差数列，2b2b1b3，2·，解得c(c0舍去)bn2n.(3)f(n)即f(n)的最大值为21某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%.(1)求第n年初M的价值an的表达式；(2)设An，若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新证明：须在第9年初对M更新【答案】(1)当n6时，数列an是首项为120，公差为10的等差数列，an12010(n1)13010n；当n

8、6时，数列an是以a6为首项，公比为的等比数列，又a670，所以an70×()n6.因此，第n年初，M的价值an的表达式为an(2)设Sn表示数列an的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得当1n6时，Sn120n5n(n1)，An1205(n1)1255n；当n7时，由于S6570，故SnS6(a7a8an)57070××4×1()n6780210×()n6.An因为an是递减数列，所以An是递减数列又A882>80，A976<80，所以须在第9年初对M更新22设数列的前项和为，且对任意正整数,点在直线上(） 求数列的通项公式；(

9、）是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，则说明理由【答案】（）由题意可得： 时, 得， 是首项为，公比为的等比数列， (）解法一: 若为等差数列，则成等差数列, 得 又时，显然成等差数列，故存在实数，使得数列成等差数列 解法二: 欲使成等差数列,只须即便可 故存在实数，使得数列成等差数列 北大附中2013届高三数学一轮复习单元综合测试：数列一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，1等比数列an的前n项和为Sn，若S1，S3，S2成等差数列，则an的公比q等于()A1BC D2【答案】C2若是等差数列的前n项和，且，则的值为 ( ）A44B22CD88【答案

10、】A3已知等比数列中，且有，则( )A1B2CD【答案】A4 已知为等差数列，其公差为-2，且的等比中项，的前n项和，则S10的值为( ）A-110B-90C90D110【答案】D5等差数列an满足a2a9a6，则S9()A2B0C1D2【答案】B6在等差数列中，则此数列前13项的和（ ）A13B26C52D156【答案】B7已知等比数列an中，a12，且a4a64a，则a3()A B1C2D【答案】B8已知数列为等差数列，若且它们的前n项和有最大值，则使得的n的最大值为（ ）A 11B 19C 20D 21【答案】B【解析】由 可得 ，由它们的前n项和Sn有最大可得a100，a11+a100

11、，a110从而有a1+a19=2a100a1+a20=a11+a100，从而可求满足条件的n的值由 可得由它们的前n项和Sn有最大可得数列的d0a100，a11+a100，a110a1+a19=2a100，a1+a20=a11+a100使得Sn0的n的最大值n=19故选B9在正项等比数列an中，a1和a19为方程x210x160的两根，则a8·a10·a12等于()A16B32C64D256【答案】C10在等比数列an中，已知an>0，那么“a2>a4”是“a6>a8”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】C11an

12、为等差数列，若<1，且它的前n项和Sn有最大值，那么Sn取得最小正值时，n的值为()A11B17C19D21【答案】C12一直角三角形三边长成等比数列，则（ ）A三边长之比为3：4：5B三边长之比为3：1C较大锐角的正弦为D较小锐角的正弦为【答案】D二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13已知数列为等比数列，且.,则=_.【答案】1614定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和已知数列an是等和数列，且a12，公和为5，那么a18的值为_，且这个数列的前21项的和

13、S21的值为_【答案】3，5215等差数列an的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，给出下列四个命题：数列()an为等比数列；若a2a122，则S133；Snnand；若d>0，则Sn一定有最大值其中真命题的序号是_(写出所有真命题的序号)【答案】16已知an是等差数列，Sn为其前n项和，nN*，若a316，S2020，则S10的值为_【答案】110三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17 已知数列an的前n项和Snn2，求的值【答案】当n2时，an=Sn-Sn-1=2n-1，当n=1时，a1=S1=1=2´1-1，故an=2n-1

14、(nN*)，an-an-1=2.原式=+=(-)+(-)+(-)=(-)=(-1)18在数列中，若函数在点处切线过点（）(1）求证：数列为等比数列；(2）求数列的通项公式和前n项和公式.【答案】（1）因为，所以切线的斜率为，切点（1，2）， 切线方程为 又因为过点（），所以， 即 所以， 即数列为一等比数列，公比.(2）由（1）得为一公比为的等比数列， 则 ， 19设数列满足(1）求数列的通项公式；(2）设记证明：Sn1.【答案】（1）由题意，当时，两式相减，得所以，当时，当n1时，也满足上式，所求通项公式(2） 1.20已知等差数列an中，公差d>0，其前n项和为Sn，且满足：a2a3

15、45，a1a414.(1)求数列an的通项公式；(2)通过公式bn构造一个新的数列bn若bn也是等差数列，并求非零常数c；(3)求f(n)(nN*)的最大值【答案】(1)数列an是等差数列a2a3a1a414.又a2a345，或公差d>0，a25，a39.da3a24，a1a2d1.ana1(n1)d4n3.(2)Snna1n(n1)dn2n(n1)2n2n，bn数列bn是等差数列，2b2b1b3，2·，解得c(c0舍去)bn2n.(3)f(n)即f(n)的最大值为21某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少从第2年到第6年，每年初M的价值

16、比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%.(1)求第n年初M的价值an的表达式；(2)设An，若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新证明：须在第9年初对M更新【答案】(1)当n6时，数列an是首项为120，公差为10的等差数列，an12010(n1)13010n；当n6时，数列an是以a6为首项，公比为的等比数列，又a670，所以an70×()n6.因此，第n年初，M的价值an的表达式为an(2)设Sn表示数列an的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得当1n6时，Sn120n5n(n1)，An1205(n1)1255n；当n7时，由于S6570，故SnS6(a7a8an)57070××4×1()n6780210×