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文档简介

1、姓名 学号 学院 专业 座位号 ( 密 封 线 内 不 答 题 )密封线线_ _ 华南理工大学2010数学竞赛试卷注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚； 2. 所有答案请直接答在试卷上； 3考试形式：闭卷； 4. 本试卷共 8 大题，满分100分，考试时间120分钟。一、计算下列各题 （每小题6分，本大题共36分）. 求极限解 原式. 求极限解 由于故 ,从而由夹逼准则. 求极限,其中为不超过的最大整数.解 由于故由夹逼准则. 在原点附近,试用一个二次多项式近似代替函数解 由于从而可用泰勒多项式近似为. 计算解 由可得. 计算,其中为球面与平面的交线解 ,由曲线的轮换对称性可得二、（本题8

2、分）设在点附近有定义，且在点可导,求。解：原式三、（本题10分）证明满足关系式证 设,则两边再求阶导数,得从而因为故四、（本题10分）设函数在上连续，在内可微, 且。证明：(1)存在使得; (2)存在使得证 (1)设,则在上连续，且,从而有零点定理,存在使得; (2)设,则在上连续，在内可微, 且由罗尔定理,存在使得,即五、（本题10分）已知满足,求解 从而, 从而代入,解之得六、（本题10分）设在区域上有连续偏导数,且满足关系式, 证明：（1）等式成立，其中曲线为区域的边界，为的外法线方向；（2）若在上恒等于零，则在区域内也恒等于零证 （1）设单位切向量为，则外法线单位法向量为，从而等式左边由格林公式，等式左边再由已知可得，左边=右边（2）由已知从而为常数，再由于边界上，因此七、（本题8分）计算。其中是的上侧解 取下侧则 原式七、（本题8分）假定一个半径为的雪球，其融化时体积的变化率正比于雪球的表面积，比例常数为。已知两小时内融化其体积的四分之一，问剩余部分需要多少小时才能全部融化。解 由已知，令时，则由

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