哈工大力学习题课下

1、力学部分习题（二）力学部分习题（二）姜桂铖姜桂铖2015.4.102015.4.10刚体的定轴转动 一、描述刚体定轴转动的物理量一、描述刚体定轴转动的物理量2i iiJmr转动惯量转动惯量2Jr dm角位移角位移21角速度角速度ddt角加速度角加速度22dddtdt角量和线量的关系角量和线量的关系2,tnvvr ar avr角动量角动量力矩力矩力矩的功力矩的功21AM d转动动能转动动能212kEJ(1) 转动惯量平行轴定理转动惯量平行轴定理(2)刚体定轴转动定理刚体定轴转动定理2zcJJMhMJ 二二、基本定律基本定律(3) 定轴转动刚体的动能定理定轴转动刚体的动能定理22211122kAE

2、JJ 外0A 内(4) 角动量守恒定律角动量守恒定律 系统所受的对某一固定轴的合外力矩为零时，系统所受的对某一固定轴的合外力矩为零时， 系统对此轴的总角动量保持不变系统对此轴的总角动量保持不变(5) 机械能守恒定律机械能守恒定律 只有保守力做功时，只有保守力做功时，kpEE常量三、题型以及例题三、题型以及例题求特殊形状刚体的转动惯量求特殊形状刚体的转动惯量刚体转动定律以及牛顿第二运动定律的应用刚体转动定律以及牛顿第二运动定律的应用刚体定轴转动的动能定律、机械能守恒以及角动量刚体定轴转动的动能定律、机械能守恒以及角动量守恒的应用守恒的应用作业题：3.7由质点系的功能原理：得：mFmgkx Fmg

3、xkm pFmgEkxk22m1()22 Fmg xkx2mm1()2 Fmgxkm2() pFmgEkxk22m12()2 ? 1. 从一个半径为从一个半径为 R 的均匀薄圆板上挖去一个半径为的均匀薄圆板上挖去一个半径为 R/2 的圆板，所形的圆板，所形成的圆洞的中心在距圆薄板中心成的圆洞的中心在距圆薄板中心 R/2 处，所剩薄板的质量为处，所剩薄板的质量为 m 。求此时薄。求此时薄板对通过圆中心与板面垂直的轴的转动惯量。板对通过圆中心与板面垂直的轴的转动惯量。ORR/2O半径为半径为 R 的圆盘对的圆盘对 O 点的转动惯量为点的转动惯量为211(1)2IM R1(2)3Mmm式中整个圆盘的

4、质量式中整个圆盘的质量由平行轴定理，半径为由平行轴定理，半径为 R/2 的小圆盘对的小圆盘对 O 点的转动惯量为点的转动惯量为222221()()(3)222RRImm式中小圆盘的质量式中小圆盘的质量21(4)3mm总转动惯量总转动惯量2121324IIImRRF2. 均匀圆柱体，在水平恒力 作用下做纯滚动，下列说法正确的是(A)摩擦力一定不为零，解：设静摩擦力的方向如图示cFfma(B)摩擦力一定与 同向，(C)摩擦力一定与 反向， (D)摩擦力的方向无法确定，(E)摩擦力的大小一定等于 。xFFFFfcFxfRJ212camRR2cRma(2 )3F RxfR2Rx 0f 静摩擦力的方向向

5、后（与设定的方向一致）2Rx 0f 静摩擦力的方向向前（与设定的方向相反）2Rx 0f 3. 一长为 质量为 匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动 . 由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转动 .试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度和角速度 .lm 解 细杆受重力和铰链对细杆的约束力作用，由转动定律得NF式中231mlJ ddddddddtt 得3sin2gl由角加速度的定义dsin23dlg代入初始条件积分 得)cos1 (3lg1sin2mglJl4.已知：匀质杆M子弹 m水平速度0v求：从下缘射入

6、不复出解： 对M,m 系统0M轴外系统角动量守恒2201()3mlmlMlv033mmMlv撞击后瞬间匀质杆的质心速度?cv2clv032(3)mmMv设杆长为l系统动量守恒OMm0v?cvc是否动量一定不守恒？有没有特例？?5. 由一根长为由一根长为 l ，质量为，质量为 M 的静止的细长棒，可绕其一端在水平面内转动。的静止的细长棒，可绕其一端在水平面内转动。若以质量为若以质量为 m ，速率为，速率为 的子弹在水平面内沿与棒垂直的方向射向棒的的子弹在水平面内沿与棒垂直的方向射向棒的另一端。另一端。OvlmM碰撞时刻，角动量守恒碰撞时刻，角动量守恒2013mlvJmlvMlmlv03 ()m

7、vvMl（1）若子弹穿棒而过，速度为）若子弹穿棒而过，速度为 ，求棒的旋转角速度，求棒的旋转角速度0以以 m , M 为系统，以为系统，以 O 为参考点。为参考点。（2）若子弹嵌入棒中，求棒的最大旋转角）若子弹嵌入棒中，求棒的最大旋转角碰撞时刻，角动量守恒碰撞时刻，角动量守恒22013mlvJm lMml（2）若子弹嵌入棒中，求棒的最大旋转角）若子弹嵌入棒中，求棒的最大旋转角棒旋转过程，机械能守恒棒旋转过程，机械能守恒221111cos1cos222JmvMglmgl033mvMm l2203cos132m vMmMm gl 222111()222mvm lJ注意：注意：类似的例题类似的例题由

8、一根长为由一根长为 l ，质量为，质量为 M 的静止的细长棒，可绕其一端在的静止的细长棒，可绕其一端在水平面内转动。质量为水平面内转动。质量为m、速率为、速率为 的木块，的木块，水平面内碰水平面内碰竖直杆的另一端再返回，木块碰后速度减少一半。竖直杆的另一端再返回，木块碰后速度减少一半。求棒的求棒的最大旋转角？最大旋转角？lo0v0v1）碰撞时刻，角动量守恒）碰撞时刻，角动量守恒2）棒旋转过程，机械能守恒）棒旋转过程，机械能守恒解：解：两飞轮通过摩擦达到共同速度两飞轮通过摩擦达到共同速度, ,合合外力矩为外力矩为0，系统角动量守恒。，系统角动量守恒。1J2J12)(212211JJJJCL L0

9、212211JJJJ共同角速度共同角速度啮合过程机械能损失：啮合过程机械能损失：EEE06. 6. 两个共轴飞轮转动惯量分别为两个共轴飞轮转动惯量分别为J1、J2，角速度分别，角速度分别为为 1 、2，求两飞轮啮合后共同的角速度，求两飞轮啮合后共同的角速度 。啮合过。啮合过程机械能损失。程机械能损失。221222211)(21)2121(JJJJ)(2)(2122121JJJJ7. 两个同样重的小孩 ，各抓着跨过滑轮绳子的两端。一个孩子用力向上爬，另一个则抓住绳子不动。若滑轮的质量和轴上的摩擦都可忽略，哪一个小孩先到达滑轮处？若两个小孩重量不等，情况又如何？解：把每个小孩看成一个质点，以滑轮的

10、轴为参考点，把两个小孩和滑轮看成系统。规定向里为角动量和力矩的正方向。系统的总角动量为v1 ： 左边小孩向上的速度；v2 ： 右边小孩向上的速度；此系统所受外力矩只有两个小孩所受重力矩，二者大小相等，方向相反，彼此抵消，系统角动量守恒。 hhm1m212LRmvRmvR设两个小孩起初都不动以后，虽然 v1 ,v2 不再为零，但总角动量继续为零（角动量守恒），即 v1 , v2 随时保持相等，所以他们将同时到达滑轮。若两个小孩重量不等，系统所受外力矩系统总角动量仍设起初两个小孩都不动，由角动量定理21)合外（dLMmm gRdt若有轻的升得快10200vv12mm21)合外（Mmm gR1 12

11、2()Lm vm v R10200vv12,0dLmmdt1 12212120,即mam aaavv12,0dLmmdt1 12212120,即mam aaavv有8. 一细杆的质量为m，长为l， 一端支以枢轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放，求：当杆过铅直位置时的角速度。OlmN解一：Cmg1cos2mglM MJ21cos213mglml3 cos2glddtddddtdd3 cos2gl003 cos2gddl 3 singl3gl0,3 / 2/ 2,0gl8. 一细杆的质量为m，长为l， 一端支以枢轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放，求：当杆过铅直位置时的角速度。OlmN解二：C

12、mg1cos2mglM 22001cos22mgllAMddmg力矩 2313mglmglgJlml2201122AJJ力矩2122lmgJ212J8. 一细杆的质量为m，长为l， 一端支以枢轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放，求：当杆过铅直位置时的角速度。OlmN解三：Cmg2211()22cEmghmvJ恒量 21022 lmgJ2313mglmglgJlml9.9. 一个质量为一个质量为 ，长为，长为 的均匀细杆。一端固定于的均匀细杆。一端固定于 水平转轴上，开始使细杆在铅直平面内与铅直方向水平转轴上，开始使细杆在铅直平面内与铅直方向 成成 角，并以角速度角，并以角速度 沿顺时针转动。

13、当细杆沿顺时针转动。当细杆 转到竖直位置时，有一质量转到竖直位置时，有一质量 的细小油灰团以速的细小油灰团以速 度度 水平迎面飞来，并与细杆上端发生完全非弹性水平迎面飞来，并与细杆上端发生完全非弹性 碰撞。碰撞后细杆再次转到与铅直方向成碰撞。碰撞后细杆再次转到与铅直方向成 角时角时 角速度为多大？角速度为多大？ 0601mL00v2m0600v0600O201011cos6022LEJm g2211122LEm gJ2113Jm L由由 得得12EE21032gL0v0600O解：解：整个运动过程可分为三个阶段。第一阶段，细杆由初整个运动过程可分为三个阶段。第一阶段，细杆由初 始位置转到竖直位

14、置时，取细杆和地球为一系统，设始位置转到竖直位置时，取细杆和地球为一系统，设 点为重力势能零点。由于转轴的支持力不做功，点为重力势能零点。由于转轴的支持力不做功， 所以系统的机械能守恒。则有所以系统的机械能守恒。则有O第二阶段，细杆在铅直位置与油灰团发生完全非弹性碰撞。第二阶段，细杆在铅直位置与油灰团发生完全非弹性碰撞。取细杆与油灰团为一系统，在碰撞过程中所受的合外力矩取细杆与油灰团为一系统，在碰撞过程中所受的合外力矩为零，所以系统的角动量守恒。设顺时针方向为正方向，为零，所以系统的角动量守恒。设顺时针方向为正方向，于是有于是有212022()Jm v LJm L120222112.5sJm

15、v LJm L因为因为 ，所以碰撞完毕后两物体，所以碰撞完毕后两物体沿角速度沿角速度 的方向转动。的方向转动。2010v0600O第三阶段，取细杆、油灰团和地球为一系统，因转轴的支第三阶段，取细杆、油灰团和地球为一系统，因转轴的支持力不做功，所以系统的机械能守恒持力不做功，所以系统的机械能守恒222212220023121()221()cos60cos6022LJm Lm gm gLLJm Lm gm gL1313.1s0v0600O 10. 质量为质量为 m，半径为，半径为 R 的均匀圆柱体沿倾角为的均匀圆柱体沿倾角为的粗糙斜的粗糙斜 面，在离地面为面，在离地面为 h0 处从静止开始无滑下滚

16、（处从静止开始无滑下滚（纯滚动纯滚动）。）。 试求：试求： 1 ) 圆柱体下降到高度为圆柱体下降到高度为 h 时它的质心速度时它的质心速度 vc 和转动角速度；和转动角速度； 2）最大静摩擦系数应满足的条件。）最大静摩擦系数应满足的条件。解解: 对圆柱体进行受力分析对圆柱体进行受力分析mcvmgrf ARh0Nxyh选选A为瞬时转动中心，转动惯量为：为瞬时转动中心，转动惯量为：232JmR转动定理：转动定理：23sin2mgRmR由由 A 点瞬时速度为零，对于质心有：点瞬时速度为零，对于质心有：,ccvRaR0,AcR根据质心运动定理根据质心运动定理sinrcmgfma解得解得1sin3rfm

17、g要保证无滑滚动，所需摩擦力要保证无滑滚动，所需摩擦力 f 不能大于最大静摩擦力，即不能大于最大静摩擦力，即cos,11sincos,.33fNm gm gm gtg或圆柱体质心的速度为圆柱体质心的速度为042()3ccva xg hh解得解得2sin3cag11. 质量为质量为 m 的小球，的小球， 以速度以速度 v0 在水平冰面上滑动，撞在与小在水平冰面上滑动，撞在与小球运动方向垂直的一根细木棍的一端，并粘附在木棍上。设木球运动方向垂直的一根细木棍的一端，并粘附在木棍上。设木棍的质量为棍的质量为 M，长度为，长度为 l。试求：（。试求：（1） 忽略冰的摩擦，定量地忽略冰的摩擦，定量地描述小

18、球附在木棍上后，系统的运动情况。（描述小球附在木棍上后，系统的运动情况。（2） 刚刚发生碰撞刚刚发生碰撞之后，木棍上有一点之后，木棍上有一点 p 是瞬时静止的，问该点在何处？是瞬时静止的，问该点在何处？解：解： 棒和球组成的系统为研究对象。棒和球组成的系统为研究对象。 碰撞后系统质心作匀速直线运动，碰撞后系统质心作匀速直线运动，同时系统绕质心作匀速转动。同时系统绕质心作匀速转动。 （1）系统质心位置）系统质心位置 c 距右端距离距右端距离()22()ccclMlMlmllMm由动量守恒求质心平动速度由动量守恒求质心平动速度 vc：00();()ccmvmvMm vvMmcOlMmv0clcv（

19、2）瞬时静止的一点）瞬时静止的一点 p 在质心的左侧，在质心的左侧，p 点绕质心转点绕质心转动相应瞬时向下线速度恰好等于质心平动速度动相应瞬时向下线速度恰好等于质心平动速度 vc, 即即cpcv(4)6 ()cvlmMpcmM由角动量守恒求系统绕质心转动的角速度由角动量守恒求系统绕质心转动的角速度：2220061()122(4)cccvlmmv lmlMlMllm M0()cmvvMm2()cMllMmcvcOcllMmP12. 一质量为一质量为M ，长度为，长度为 L 的均匀细杆，放在光滑的水平桌面上，可绕通过其中点的均匀细杆，放在光滑的水平桌面上，可绕通过其中点 O 的光滑固定竖直轴转动，

20、开始时静止。一质量为的光滑固定竖直轴转动，开始时静止。一质量为 m 的（的（m M）子弹以速度）子弹以速度 v0 垂直击中杆的一端，撞击后从杆的一端打下质量也为垂直击中杆的一端，撞击后从杆的一端打下质量也为m 的一段（可视为质点），与的一段（可视为质点），与子弹结合在一起以子弹结合在一起以 v0/ 8 的速度沿垂直于杆的方向飞出，如图。求的速度沿垂直于杆的方向飞出，如图。求(1)撞击后瞬间杆撞击后瞬间杆转动的角速度转动的角速度(2)撞击过程中的机械能损失。撞击过程中的机械能损失。v08v0OlmMmv)3(290 解：由角动量守恒解：由角动量守恒 Jlvmlmv 8)2(2121002241121mlMlJ 2)3(121lmM （2）损失的机械能）损失的机械能v08v0OlmMmv)3(290 21)8(2212122020 JvmmvEk )316273231(2120mMmmv 2220222020)3(481)3(24164121lmMvmlmMmvmv 13. 有两个质量为有两个质量为m的质点，由长度为的质点，由长度为a的一根轻质硬杆连结的一根轻质硬杆连结在一起，在自由空间二者质心静止，但杆以角速度在一起，在自由空间二者质心静止，但杆以