大学物理上复习资料

1、容提要-word.zl-位矢：rr(t)x(t)iy(t)jz(t)k位移：r r(t t) r(t) xi yjzk般情况，rr速度:limdrdx.dy .dz,?. i j k xidt dt dt dty j zk加速度：a lim t 0 t 出22d rd x .2-2 idtdt电dt22?d z,?.-2 kxidt2?y j?zk圆周运动角速度：角加速度:d ?dtdd2?dtdt2或用表示角加速度线加速度：aanat2法向加速度：anR2指向圆心Rd切向加速度：atR沿切线方向dt线速率：R弧长：sR容提要动量：pm12冲量：IFdtt1t2t2动量定理：dpFdtpp0F

2、dttit1动量守恒定律：假设FFi0,那么ppi常矢量力矩：MrF质点的角动量动量矩：Lrpmr角动量定理：M外力dL角动量守恒定律：假设 M外力M外力 0,那么LLi常矢量bxByBzB功：dWF?drWabF?dr一般地WABFxdxFydyFzdzAxAyAza动能：Ekm221 o1o动能th理：质点，WABmBmA2 2质点系，W外力W内力EkEk0保守力：做功与路程无关的力。保守力的功：W呆守内力（Ep2Epi）Ep功能原理：W外力W非保守内力EkEp机械能守恒：假设W外力W非保守内力0,那么EkEpEkoEpo容提要转动惯量：离散系统，Jmiri2连续系统，Jr2dm平行轴定理

3、：JJCmd2C刚体定轴转动的角动量：LJ刚体定轴转动的转动定律：MJdtt2刚体定轴转动的角动量定理：MdtLL0ti0力矩的功：WMd力矩的功率：P-dWMdt12转动动能：EkJ221ci刚体定轴转动的动能定理：MdJ2J02022容提要库仑定律：F1q&40r2er电场强度：Eqo带电体的场强：EEidq2eri40r1静电场的图斯定理：二'E?dSqiSF0静电场的环路定理：.E?dl0电势：VE?dlpp带电体的电势：VVi-dq40r导体静电平衡：电场，。1导体场强处处为零；。2导体外表处场强垂直外表电势，O导体是等势体；。2导体外表是等势面电介质中的高斯定理：o

4、D?dSqiS各向同性电介质：D0rEE电容：CU1Q2112电容器的能量：WQUCU22C22容提要毕奥-萨伐尔定律:dB0 Idler磁场高斯定理：:SB?dS0安培环路定理：B?dl0Ii载流长直导线的磁场：B0(cos1cos2)4r无限长直导线的磁场：B吐2rnI载流长直螺线管的磁场：B-0(cos1cos2)2无限长直螺线管的磁场：B0nI洛仑兹力：FqB安培力：dFIdlB磁介质中的高斯定理：入B?dS0S磁介质中的环路定理：H?dlIiLi各向同性磁介质：Br0HH容提要法拉第电磁感应定律:动生电动势：(B)?dlB感生电动势：Ek?dl?dSSdt自感：LI,ll"

5、dt12自感磁能：Wm-LI22互感：2MI1,2Mdt磁能密度：wm2H22BH题7.4:假设电荷Q均匀地分布在长为L的细棒上。求证：1在棒的延长线，且离棒中心为r处的电场强度为2204rL2在棒的垂直平分线上，离棒为r处的电场强度为E1Q2。r2L2假设棒为无限长即L，试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比拟。题7.4分析：这是计算连续分布电荷的电场强度。此时棒的长度不能忽略，因而不能将棒当作点电荷处理。但带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直线上。如下图，在长直线上任意取一线元，其电荷为dq=Qdx/L,它在点P的电场强度为1dqdE2er4or2整个带电体在点P的电场强度EdE

6、接着针对具体问题来处理这个矢量积分。(1) 假设点P在棒的延长线上，带电棒上各电荷元在点P的电场强度方向一样，EdEiL(2) 假设点P在棒的垂直平分线上，那么电场强度E沿x轴方向的分量因对称性叠加为零，因此，点P的电场强度就是ELdEyjLsindEj证：1延长线上一点P的电场强度EdqH，利用几何关系rrx统一积分变量,L40r那么l21Qdx1111QEp-2-2-2-L24°L(rx)4oLrL2rL204rL电场强度的方向沿x轴。(3) 根据以上分析，中垂线上一点P的电场强度E的方向沿y轴，大小为利用几何关系sin dq2-0rsinr/r , r Vr2 x2统一积分变量

7、，那rQ dx Q 1-L222 / 240 L(x r )2 0 r L L 4r当棒长L 时，假设棒单位长度所带电荷为常量，那么P点电场强度E lim L 20r、1 4r2/L220r此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布一样。这说明只要满足r2/L21,带电长直细棒可视为无限长带电直线。题75半径为R的半圆细环上均匀分布电荷Q,求环心处的电场强度题7.5分析：在求环心处的电场强度时，不能将带电半圆环视作点电荷。现将其抽象为带电半圆弧线。在弧线上取线元dl,其电荷此电荷元可视为点电荷dqdl,它在点O的电场R强度dE,粤e,。因圆环上电荷对y轴呈对称性分布，电场分布也是轴对称的，那么有

8、40rLdEx0,点O的合电场强度ELdEyj,统一积分变量可求得E。解：由上述分析，点1EOL 0由几何关系dlsin玉7RdEo方向沿1.sin d0 40y轴负方向。O的电场强度QdlR统一积分变量后，有Q2 2 oR2题76用电场强度叠加原理求证：无限大均匀带电板外一点的电场强度大小为E提20示：把无限大带电平板分解成一个个圆环或一条条细长线，然后进展积分叠加题7.6分析：求点P的电场强度可采用两种方法处理，将无限大平板分别视为由无数同心的细圆环或无数平行细长线元组成，它们的电荷分别为dq2rdr或ddy求出它们在轴线上一点 P的电场强度dE后，再叠加积分，即可求得点P的电场强度了。证

9、1：如下图，在带电板上取同心细圆环为微元，由于 带电平面上同心圆环在点P激发的电场强度dE的方向均一样，因而P处的电场强度1 xdq .2 xrdr22 3 2 i7-22 3 2 i4 0 (r x )4 0(r x )E dEi2 0电场强度E的方向为带电平板外法线方向。P激发的电场强度 dE在Oxy平面且证2:如下图，取无限长带电细线为微元，各微元在点对x轴对称，因此，电场在y轴和z轴方向上的分量之和，即Ey、Ez均为零，那么点P的电场强度应为EExidEcosi积分得E一i20电场强度E的方向为带电平板外法线方向。上述讨论说明，虽然微元割取的方法不同，但结果是一样的。题7.10:设匀强

10、电场的电场强度E与半彳仝为R的半球面的对称轴平行，试计算通过此半球面的电场强度通量。解：作半径为R的平面S与半球面S一起可构成闭合曲面，由于闭合面无电荷，由高斯定理L，-1EgIq00这说明穿过闭合曲面的净通量为零，穿入平面S的电场强度通量在数值上等于穿出半球面S的电场强度通量。因而“EdS:EdSSS依照约定取闭合曲面的外法线方向为面元dS的方向,ER2cosR2E题7.13:设在半径为R的球体，其电荷为对称分布，电荷体密度为kr0rR0rRk为一常量。试用高斯定理求电场强度E与r的函数关系。解：因电荷分布和电场分布均为球对称，球面上各点电场强度的大小为常量，由高斯定律1_,dSdV得球体(

11、0rR)0E(r)4r20kr4r2drr400E(r)e40球体外r>RE(r)4r2okr4r2drR400E(r)kR44°r2er题7.14：一无限大均匀带电薄平板，电荷面密度为，在平板中部有一半径为r的小圆孔。求圆孔中心轴线上与平板相距为x的一点P的电场强度。题7.14分析：用补偿法求解利用高斯定理求解电场强度只适用于几种非常特殊的对称性电场。此题的电场分布虽然不具有这样的对称性，但可以利用具有对称性的无限大带电平面和带电圆盘的电场叠加，求出电场的分布。假设把小圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成、挖去圆孔的带电平板等效于一个完整的带电平板和一个带相反电荷电荷面密度等效

12、于平板和圆盘各自独立在该处激发的电场的矢量和。解：在带电平面附近的圆盘。这样中心轴线上的电场强度Ei2enO0en为沿平面外法线的单位矢量；圆盘激发的电场E2x22.x ren它们的合电场强度为E Ei E2在圆孔中心处xe =" en °2 0 . x2r2x = 0 ,那么在距离圆孔较远时 x>> r,那么2 0 11 r2 x2en上述结果说明，在x>> r时。带电平板上小圆孔对电场分布的影响可以忽略不计。题7.15： 一无限长、半径为R的圆柱体上电荷均匀分布。圆柱体单位长度的电荷为题7.16: 一个外半径分别为 R3的均匀带电球面，斯定理求圆

13、柱体距轴线距离为r处的电场强度。题7.15分析：无限长圆柱体的电荷具有轴对称分布，电场强度也为轴对称分布，且沿径矢方向。取同轴往面为高斯面，电场强度在圆柱侧面上大小相等，且与柱面正交。在圆柱的两个底面上，电场强度与底面平行，EdS0对电场强度通量奉献为零。整个高斯面的电场强度通量为EdSE2rL由于，圆柱体电荷均匀分布，电荷体密度/R2,处于高斯面的总电荷qr2L由高斯定理。EdSq/°可解得电场强度的分布，解：取同轴柱面为高斯面，由上述分析得E2rLr2L2r2L00R2E220R2R为Q和的均匀带电球壳，总电荷为Q1,球壳外同心罩一个半径球面带电荷为Q2o求电场分布。电场强度是否

14、是场点与球心的距离r的连续函数？试分析。题7.16分析：以球心O为原点，球心至场点的距离r为半径，作同心球面为高斯面。由于电荷呈球对称分布，电场强度也为球对称分布，高斯面上电场强度沿径矢方向，且大小相等。因而在确定高斯面的电荷q后,利用高斯定理EdSq0即可求的电场强度的分布由上述分析解：取半径为r的同心球面为高斯面,E4r2q.0r < Ri,该高斯面无电荷,q 0,Ei=0Ri <r < R2,高斯面电荷Qi（r3Ri3）R3Ri3E2R2 <E3E4Qi（r3 R3）4 o（R3 R；）r2r < R3,高斯面电荷为Qi4 or2R3,高斯面电荷为Qi+Qi

15、 Q24 or2Qi,Q2,r = R3的带电电场强度的方向均沿径矢方向，各区域的电场强度分布曲线如下图。在带电球面的两侧，电场强度的左右极限不同，电场强度不连续，而在紧贴球面两侧，电场强度的跃变量Q2EE4E32一40R3o这一跃变是将带电球面的厚度抽象为零的必然结果，且具有普遍性。实际带电球面应是有一定厚度的球壳，壳层外的电场强度也是连续变化的，如此题中带电球壳外的电场，如球壳的厚度变小，E的变化就变陡，最后当厚度趋于零时，E的变化成为一跃变。题7.i7:两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，半径分别为Ri和R2(R2>Ri),单位长度上的电荷为。求离轴线为r处的电场强度：们r&l

16、t;Ri,2Ri<r<R2,3r>R2题7.i7分析：电荷分布在无限长同轴圆拄面上，电场强度也必定呈轴对称分布，沿径矢方向。取同轴圆柱面为高斯面，只有侧面的电场强度通量不为零，且口EdSE2rL,求出不同半径高斯面的电荷q。利用高斯定理可解得各区域电场的分布。解：作同轴圆柱面为高斯面。根据高斯定理E4rLr R,R r R2,r R2，q 0Ei 0q lE22 0rq 0E30在带电面附近, 跃变电场强度大小不连续，电场强度有-word.zl-题7.21：两个同心球面的半径分别为Ri和R2,各自带有电荷Qi和Q2。求：1各区域电势分布，并画出分布曲线；2两球面间的电势差为多

17、少？解1：I由高斯定理可求得电场分布Ei0E2Qi2-e140rrRiRirR2rR2LQiQ2E3-2-er40r由电势VrEdl可求得各区域的电势分布。当rR,时，有RR2ViEidlE2dlE3dlr'Ri"R2cQiiiQiQ2040RiR240R2QiQ240R40R2当RirR2时，有R2V2E2dlE3dlrR2QiIIQiQ240rR240R2QiQ240r40R2当rR2时，有V3rE3dlQiQ2r40R22两个球面间的电势差U12R2RiE2dlQi40RiR2质点刚体质量m转动惯量J=JfJdm第二定律F二川口转动定律力的功心力®的功A=we

18、动能If泮转动动能动能定理朝淀理A=夕一今功率Fy功率动量mv角动量3冲量F出fi冲量矩rMd!h动堂定理J*Fdt=Eg-mDirl角动量定理J1M康=jcjn质点的直域劭与刚体的定轴转勖的对应关系式7、解：设绳子的拉力为T,对辘物而言，根据转动定律,T/RJ1而对一桶水而言，由牛顿第二定律，有mgTma2由于绳子在运动过程中不伸长，因此有aRTT/3联解1、2、3可得桶下落过程中的绳子力为:T.024.5(N)2mM25101.1形直导线载有电流I,矩形线圈与其共面，长L1,长边与长导线平行，线圈共N匝，线圈以速度v垂直长导线向右运动，当AB边与导线相距x时，求线圈宽l2，计算题中感应电动

19、势大小和方向；2）如果上题中线圈保持不变，而长直导线有交变电流I10sint,那么线圈中感应电动势如何?们载有电流为I的长直导线在空间产生的磁场:,方向垂直纸面向里。2 r选顺时针为积分正方向b根据：Ei(vB)dla线段CA中产生的动生电动势:E1 N0 IvL 12 x方向由C至1JA。线段DB中产生的动生电动势:E20IvL1N 02 (x L2),方向由C到A。线圈中感应电动势大小：EiEiE201vLiEi N - N2 x0 1vLi2 (x L2)Ei NSv，其中：S LiL2 ,动生电动势方向为顺时针。2 x（x L2）2如果线圈保持不变，长直导线有交变电流I I。sin t

20、o仍然选取顺时针为回路绕行的正方向，线圈的法线方向垂直纸面向里,通过距离直导线r,面积为dS L1dr的磁通量：d任意时刻穿过一匝线圈的磁x L2VLidr , x 2 r0 I x L2L1 In2x根据法拉第电磁感应定律:EiNdr，Eilnx L2dIEi N0L3 cos2t x-In -L2Li)2.长直导线载有电流I,导线框与其共面，导线ab在线0Xdxhf计算题（2）框上滑动，使ab以匀速度v向右运动，求线框中感应电动势的大小。选取如下图的坐标，顺时针为积分正方向，ab上线元dx产生的电动势为：dEi(vB)dldEiolvdx, EiL0 LL0oIv2 xdx线框中感应电动势的大小01v L0 LEi-ln，方向为逆时针。2L。3.无限长直导线通有稳定电流I,长L的金属棒绕其一端 O在平面顺时针匀速转动，角速O点至导线的垂直距离为b设直导线在金属棒旋转平面，求在下面两种位置时棒-word.zl-感应电动势大小和方向。(1班属棒转至如图OM位置时。(2)金属棒转至如图ON位置时。金属棒转至如图OM位置时,Ei 0 20l )dl , Ei上L240方向沿OM。金属棒转至如图ON位置时Eir0 L 0I(rr0 )drr00Ei(10r°-)dr rEi(L0 ln