大学物理电磁学第二章导体周围的静电场

1、第二章第二章 有导体时的静电场有导体时的静电场 简单介绍静电的应用。简单介绍静电的应用。本章主要内容：本章主要内容：导体的静电平衡及静电平衡条件，静电场中导体导体的静电平衡及静电平衡条件，静电场中导体的电学性质；的电学性质；电容器及其联接；电容器及其联接；电场的能量；电场的能量；2.1 2.1 静电场中的导体静电场中的导体2.1.1 静电平衡静电平衡 静电感应现象：静电感应现象：在外电场作用下，引起导体中电荷重在外电场作用下，引起导体中电荷重新分布而呈现出的带电现象。新分布而呈现出的带电现象。 本节讨论的导体主要是指金属导体，金属导体内部有大量本节讨论的导体主要是指金属导体，金属导体内部有大量

2、的自由电子，自由电子时刻作无规则的热运动。的自由电子，自由电子时刻作无规则的热运动。导体刚放入电场导体刚放入电场导体达静电平衡，导体达静电平衡，导体内场强为零导体内场强为零导体内场强不为零导体内场强不为零 导体静电平衡：导体静电平衡：导体内（包括导体表面）没有导体内（包括导体表面）没有电荷作定向运动。电荷作定向运动。静电平衡的必要条件静电平衡的必要条件：导体内部电场强度为零导体内部电场强度为零。 1.导体为一个等势体，导体表面为一等势面。导体为一个等势体，导体表面为一等势面。导体在静电平衡时的性质：导体在静电平衡时的性质：AB 证明：在导体内任意选两点并被一条在证明：在导体内任意选两点并被一条

3、在导体内部的连续曲线所联结，由于连线上各导体内部的连续曲线所联结，由于连线上各点场强为零，故有点场强为零，故有BAABl dEU02.导体内部电荷体密度为零，导体内部电荷体密度为零，电荷只能分布在导体表面。电荷只能分布在导体表面。+高斯面 证明：在导体内任意选取一高斯证明：在导体内任意选取一高斯面，由于在静电平衡时，导体内的场面，由于在静电平衡时，导体内的场强强E E为零，所以为零，所以0ssdE由高斯定理可知：导体内由高斯定理可知：导体内0iq 3. 在导体外部，在导体外部，紧靠导体表面的点的紧靠导体表面的点的场强方向与导体表面场强方向与导体表面垂直，场强大小与导垂直，场强大小与导体表面对应

4、点的电荷体表面对应点的电荷面密度成正比。面密度成正比。 220nePPE+B B+B BA A 金属导体表面的金属导体表面的及其附近的场强及其附近的场强E一同一同受外界影响，但两者受外界影响，但两者关系不变。即关系不变。即 En=/02.1.2 带电导体所受的静电力带电导体所受的静电力PP1S 设设S是导体表面含是导体表面含P点的小面元，点的小面元，是是P点的电荷面密度，则点的电荷面密度，则S所受的静电力为所受的静电力为 SPEF/E/(P)是除是除S外所有电荷在外所有电荷在P点贡献的场强。点贡献的场强。 nePE01分解为两部分分解为两部分 421/101PEPEePESnP1任意靠近任意靠

5、近P，对它而言，对它而言S可视为均匀无限大带电平面，所可视为均匀无限大带电平面，所以以 nePE201由式由式(2-4)便得便得 nePE201/由于激发分场由于激发分场E/的电荷已不含的电荷已不含S的电荷，且点的电荷，且点P和和P1极近，所极近，所以以 nePEPE201/52202neSF因此有因此有把上式沿导体表面作积分便可求得整个导体所受的静电力。把上式沿导体表面作积分便可求得整个导体所受的静电力。 带电导体达到静电平衡后导体表面的电荷分布情况：与带电导体达到静电平衡后导体表面的电荷分布情况：与导体本身的形状及导体周围的环境有关。对于孤立导体，一导体本身的形状及导体周围的环境有关。对于

6、孤立导体，一般的分布情况为曲率半径较小处，其电荷面密度较太，曲率般的分布情况为曲率半径较小处，其电荷面密度较太，曲率半径较大处，其电荷面密度较小。半径较大处，其电荷面密度较小。由由2、3可解释尖端放电现象可解释尖端放电现象+2.1.3 弧立导体形状对电荷分布的影响弧立导体形状对电荷分布的影响2.1.4 导体静电平衡问题的讨论方法导体静电平衡问题的讨论方法 本课程定性讨论静电平衡问题的主要方法：本课程定性讨论静电平衡问题的主要方法：从静电平衡从静电平衡的性质出发，利用某些解题技巧，必要时加上电场的性质出发，利用某些解题技巧，必要时加上电场线这一形象工具。线这一形象工具。AB 例例1 A为点电荷，

7、为点电荷，B为中性导体，为中性导体，试证试证B左端的感生负电荷绝对值左端的感生负电荷绝对值q/小于小于或等于施感电荷或等于施感电荷q。B+-(2)一条电场线不一条电场线不能起止于同一导能起止于同一导体体 证：根据电场线的性质证：根据电场线的性质1，导体，导体B左左端的负电荷处一定有电场线终止。端的负电荷处一定有电场线终止。 其来源只有三种可能其来源只有三种可能：(1)A上的正上的正电荷，电荷，(2)B右端的正电荷，右端的正电荷，(3)无限远。无限远。用反证法可排除后两种可能用反证法可排除后两种可能。(3)违反导体的静电平衡条件违反导体的静电平衡条件(导体等势导体等势)AB 根据电场线的性质根据

8、电场线的性质1的定量表述，的定量表述，止于止于B左端的场线条数正比于左端的场线条数正比于q/，发，发自自A的场线条数正比于的场线条数正比于q，而终止的，而终止的条数小于或等于发出条数，因此条数小于或等于发出条数，因此 q/qq。 施感电荷发出的场线通常有一些不终止于施感电荷发出的场线通常有一些不终止于B的左端，故的左端，故往往有往往有q/q。只有在特殊的条件下，才出现感生电荷。只有在特殊的条件下，才出现感生电荷(绝对绝对值值)等于施感电荷的情况等于施感电荷的情况(如例如例2和和6)。q例例2qq例例6例例4 求金属球的电势。求金属球的电势。 qQORlS 解：因金属球是等势体，解：因金属球是等

9、势体，只需求得球心只需求得球心O的电势的电势VO。以。以S代表球面，代表球面，代表代表S上的电荷上的电荷面密度面密度(可随点而变可随点而变)，则，则RQlqdSRlqRdSlqVSoSO00004141444qq/ORlS例例5 求金属球的感生电荷。求金属球的感生电荷。 仿上题解题技巧，可得仿上题解题技巧，可得qlRqRqlqV/000412.1.5 平行板导体组例题平行板导体组例题P1P2ABqA1234qB例例1 求每板表面的电荷密度求每板表面的电荷密度解解:根据静电平衡条件有根据静电平衡条件有:在在A内内:3124000002222在在B内内:3124000002222123401234

10、012AqSS34BqSS1423 两式相加减两式相加减:142ABqqS232ABqqS 142ABqqS232ABqqS 几种电荷分布情况几种电荷分布情况ABqq 1140232ABqqqSS (平板电容平板电容)2ABqq14AqS230 电荷只分布在相对的两面电荷只分布在相对的两面,且等量异号且等量异号.电荷只分布在外两面电荷只分布在外两面,且等量同号且等量同号.3一般情况一般情况142ABqqS232ABqqS 142ABqqS2-2 封闭金属壳内外的静电场封闭金属壳内外的静电场 1 壳内空间无带电体的情况壳内空间无带电体的情况 用反证法可以证明，用反证法可以证明，不论壳外不论壳外(

11、 (包括壳的外壁包括壳的外壁) )带电情况如何，壳内带电情况如何，壳内空间各点的电场强度处处为零，且壳空间各点的电场强度处处为零，且壳内壁处处有内壁处处有=0=0。 2 壳内空间有带电体的情况壳内空间有带电体的情况2.2.1 壳内空间的场壳内空间的场P-+ 壳内空间将因壳内带电体的存在壳内空间将因壳内带电体的存在而出现电场，壳的内壁也会出现电荷分而出现电场，壳的内壁也会出现电荷分布。但是可以证明，壳内电场只由壳内布。但是可以证明，壳内电场只由壳内带电体及壳的内壁形状决定而与壳外电带电体及壳的内壁形状决定而与壳外电荷分布情况无关。荷分布情况无关。+-a a-b b 1） 金属壳不接地的情况，由于

12、金属壳不接地的情况，由于静电感应，电场线分布如图静电感应，电场线分布如图a a，壳外，壳外空间存在电场，它是壳内电荷间接引空间存在电场，它是壳内电荷间接引起的。起的。 2） 金属壳接地的情况，由于静金属壳接地的情况，由于静电感应，电场线分布如图电感应，电场线分布如图b b，壳外空，壳外空间不存在场线。间不存在场线。2.2.2 壳外空间的场壳外空间的场1 壳外空间无带电体的情况壳外空间无带电体的情况壳内空间有带电体时，两种情况：壳内空间有带电体时，两种情况：2 壳外空间有带电体的情况壳外空间有带电体的情况接地的金属壳外壁电荷并不处处为零。接地的金属壳外壁电荷并不处处为零。 接地壳保证壳外电场不受

13、壳内电荷的影响，即壳外电场接地壳保证壳外电场不受壳内电荷的影响，即壳外电场只由壳外情况决定。只由壳外情况决定。 综上所述，综上所述，封闭导体壳（不论接地与否）内部静电场不受封闭导体壳（不论接地与否）内部静电场不受壳外电荷的影响，而接地封闭导体壳外部静电场将不受壳内壳外电荷的影响，而接地封闭导体壳外部静电场将不受壳内电荷影响。电荷影响。这种现象叫做静电屏蔽。静电屏蔽。一个明确的结论一个明确的结论：q1q2q3q4 金属壳内空间电荷为金属壳内空间电荷为q1，壳内壁电，壳内壁电荷为荷为q2(q2=-q1)，壳外壁电荷为，壳外壁电荷为q3，壳外空间电荷为壳外空间电荷为q4，则，则不论壳是否接地，不论壳

14、是否接地，q q1 1、q q2 2在壳内壁之外任一点的合场强为在壳内壁之外任一点的合场强为零，零，q q3 3、q q4 4在壳外壁之内任一点的合场在壳外壁之内任一点的合场强为零。强为零。 球壳球壳外部无带外部无带电体电体的情况下，的情况下，不论壳内部点电不论壳内部点电荷位置如何，壳荷位置如何，壳外电场都一样，外电场都一样，壳外壁的电荷都壳外壁的电荷都均匀分布均匀分布。2.2.3 范德格拉夫起动机范德格拉夫起动机静电加速器静电加速器2-3 2-3 电容电容 电容器电容器电容是电学中一个重要的物理量，它反映了导体的容电本领。电容是电学中一个重要的物理量，它反映了导体的容电本领。2.3.1 孤立

15、导体的电容孤立导体的电容以一半径为以一半径为R R，电荷为，电荷为Q Q的孤立球形导体为例的孤立球形导体为例球形导体的电势为球形导体的电势为13. 2410RQV从上式可看出，当从上式可看出，当V V一定时，一定时，R R越大，它所带电荷越大，它所带电荷Q Q也越多；而当也越多；而当R R一定时，一定时，Q Q增倍，增倍，V V也增倍，但也增倍，但Q/VQ/V却是一个常量。这一结果虽却是一个常量。这一结果虽然是对然是对孤立导体球孤立导体球而言的，但对任意孤立导体也是如此。于是，而言的，但对任意孤立导体也是如此。于是，我们它我们它孤立导体所带电荷孤立导体所带电荷Q Q与其电势与其电势V V的比值

16、的比值叫做叫做孤立导体的电孤立导体的电容容，电容的符号为，电容的符号为C C，有，有14. 2VQC 球形孤立导体的电容为球形孤立导体的电容为RVQC04SI制中，制中，电容的单位电容的单位：法拉，符号为法拉，符号为F。实际应用常用微法微法（F）、皮法皮法（F）。1F=101F=106 6F=10F=101212F F2.3.2 电容器及其电容电容器及其电容 实际上，孤立导体是不存在的，周围总会有别的导体，当有其他导体实际上，孤立导体是不存在的，周围总会有别的导体，当有其他导体存在时，则会因静电感应而改变原来电场的分布，其中任一导体，其电势存在时，则会因静电感应而改变原来电场的分布，其中任一导

17、体，其电势与所带电荷不再成正比关系，即与所带电荷不再成正比关系，即Q/VQ/V不再是常数。不再是常数。 事实上，可以用静电屏蔽的方法使一个导体周围的电场不受其他导体事实上，可以用静电屏蔽的方法使一个导体周围的电场不受其他导体的存在而受影响。的存在而受影响。 人们一般把两个导体所组成的系统，叫做电容器。电人们一般把两个导体所组成的系统，叫做电容器。电容器可以储存电荷和能量。容器可以储存电荷和能量。 常见的电容器有圆柱形电容器和平常见的电容器有圆柱形电容器和平板电容器，而严格满足要求的电容器是板电容器，而严格满足要求的电容器是球形电容器。球形电容器。1、 球形电容器球形电容器 (1) 电荷在内球外

18、壁电荷在内球外壁及外球内壁均匀分布，两及外球内壁均匀分布，两壁电荷等值异号。壁电荷等值异号。+-R1R2r球壳间rerQE420 (2) 两球间的电势差两球间的电势差(电压电压)绝绝对值与球形电容器的电荷对值与球形电容器的电荷Q成正比，成正比，证明如下。证明如下。21020114421RRQrdrQURR2、平行板电容器、平行板电容器d+-ABSSSQdEdl dEUSQEAB000 (1) 电荷在两平板相对面内电荷在两平板相对面内均匀分布，两面电荷等值异号。均匀分布，两面电荷等值异号。 (2) 两枝间的电压与板内壁的两枝间的电压与板内壁的电荷电荷Q成正比，证明如下。成正比，证明如下。ABRA

19、RBrl-+-3、 圆柱形电容器圆柱形电容器ABRRRRlQrdrlQUrlQrEBAln221220000UQC （2.18）上述三种电容器中，电容器极板电荷与极板间电压的比值只与上述三种电容器中，电容器极板电荷与极板间电压的比值只与电容器自身条件有关。这个比值就是描述电容器本身性质的物电容器自身条件有关。这个比值就是描述电容器本身性质的物理量，叫做理量，叫做电容器的电容电容器的电容，记作记作C，即，即球形电容球形电容器器122104RRRRC平板电容平板电容器器dSC0圆柱形电容圆柱形电容器器120ln2RRLC2.3.3 电容器的联接电容器的联接电容器的并联电容器的并联+-+Q+Q1 1

20、+Q+Q2 2+Q+Q-Q-Q1 1-Q-Q1 1-Q-QC C1 1C C2 2C CUCCQQQUCQUCQ)(,21212211总电荷总电荷21,CCCUQC等效电容等效电容（2.22）并联电容器组等效电容等于组内各个电容之和，但各电容器的电压相等。并联电容器组等效电容等于组内各个电容之和，但各电容器的电压相等。电容器的串联电容器的串联12+Q+Q1-Q-Q1+Q+Q2-Q-Q2+Q+Q-Q-QC C1C C2C C 串联电容器组中每个电容器极板上所带的串联电容器组中每个电容器极板上所带的电荷是相等的。电荷是相等的。2121212121221111111,CCCCCCCCCQUQCCUU

21、UCQUCQU（2.23）串联电容器组等效电容的倒数等于电容器组中各电串联电容器组等效电容的倒数等于电容器组中各电容倒数之和，但每个电容器上的电压小于总电压。容倒数之和，但每个电容器上的电压小于总电压。练习：习题2.3.4.（1）（2）ABBkBkABAkAkABABCdSCCdSCdSC2;2;000A/ABkABB/ABkAB/A/A/kBA ABBKAKBKAKABCCCCCCC21 ABAKABCCCC322-5 带电体系的静能量带电体系的静能量 2.5.1 带电体系的静能量带电体系的静能量1、静能量静能量(静电势能静电势能)回顾回顾：势能概念势能是属于物体系统的。势能是属于物体系统的

22、。只有受保守内力相互作用的物体系统才可以引入势能概念。只有受保守内力相互作用的物体系统才可以引入势能概念。势能的定义势能的定义：AWP保保 静电体系之间的相互作用力静电体系之间的相互作用力(静电力静电力)也是保守力，因此也是保守力，因此对静电体系也可以引入静电势能对静电体系也可以引入静电势能(静电能静电能)的概念。的概念。静电能的定义：静电能的定义：q1q2r1状态1q1q2r2状态2 设两个点电荷设两个点电荷q1、q2构成的静电体系由状态构成的静电体系由状态1逐逐渐运动到状态渐运动到状态2，则电场力，则电场力在这个过程中做了功。在这个过程中做了功。 仿照电势概念的定义方法，静电力仿照电势概念

23、的定义方法，静电力(电场力电场力)所作的功定义为所作的功定义为体系在新旧两种状态中的静电体系在新旧两种状态中的静电(势势)能之差，即能之差，即AWWWP12电电 如果约定如果约定q1、q2处于无限远离的静电状态时的静电能为零，处于无限远离的静电状态时的静电能为零，则它们处于任意静电状态的静电能等于让两者从该状态运动到则它们处于任意静电状态的静电能等于让两者从该状态运动到无限远离状态的过程中电场力的功。无限远离状态的过程中电场力的功。 一个带电体的静电能一个带电体的静电能(自能自能)：使组成带电体的无限多小：使组成带电体的无限多小块无限远离时电场力的功。块无限远离时电场力的功。带电体系的静能量带电体系的静能量互能互能(各个带电体无限远离时电各个带电体